云南省紅河哈尼族彝族自治州蒙自市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的考號(hào)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)、班級(jí)在答題卡上填寫清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試卷上作答無(wú)效.
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集概念以及區(qū)間的表示即可得解.
【詳解】集合，，則.
故選：D.
2. 函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到的圖象，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換求解即可.
【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到的圖象.
故選：C.
3. 下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，最小正周期為且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：為最小正周期為的奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：為最小正周期為的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；
對(duì)于C：令，則，，
所以為偶函數(shù)，
又的圖象是由的圖象將軸下方部分關(guān)于軸對(duì)稱上去，軸及軸上方部分不變，
最小正周期為，且在上單調(diào)遞減且函數(shù)值為正，
所以的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：為最小正周期為的奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B
4. 已知函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，則的值為（）
A. －2B. －1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得在上單調(diào)遞增，且，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，
且，，即，
由零點(diǎn)存在定理可得，的零點(diǎn)區(qū)間為，所以.
故選：B
5. 在一個(gè)空房間中大聲講話會(huì)產(chǎn)生回音，這個(gè)現(xiàn)象叫做“混響”．用聲強(qiáng)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過(guò)秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)?，其中是一個(gè)常數(shù)．把混響時(shí)間定義為聲音的聲強(qiáng)衰減到原來(lái)的所需的時(shí)間，則約為（參考數(shù)據(jù)：）（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】由題意，，即，等號(hào)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得
，即，所以．
故選：C．
6. 棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由棣莫弗公式化簡(jiǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.
【詳解】，
在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.
故選：B.
7. 在中，若，且，那么一定是（）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等邊三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由兩角和的正弦公式并結(jié)合正弦定理可得，即，又由化簡(jiǎn)可得，得，從而可求解.
【詳解】，則，
因?yàn)椋?，則，
又因?yàn)?，，則，
則，即，
即，又因?yàn)?，則，
所以，即.
即一定是等邊三角形，故D正確.
故選：D.
8. 設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù).若，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)周期，利用周期化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】由為奇函數(shù)，得，
得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.
又因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，，
所以的周期為4，
所以.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，高為2cm的和圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，高為4cm，兩種情況分別由體積公式即可求解.
【詳解】側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)4cm，寬2cm的矩形，
若圓柱的底面周長(zhǎng)為4cm，則底面半徑，，
此時(shí)圓柱的體積
若圓柱的底面周長(zhǎng)為2cm，則底面半徑，，
此時(shí)圓柱的體積
故選：BD
10. 已知向量，，則（）
A. 若與垂直，則B. 若，則的值為-5
C. 若，則D. 若，則與夾角為60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由向量垂直得數(shù)量積為0，列方程即可驗(yàn)算；對(duì)于B，先由向量平行列方程得參數(shù)，再由數(shù)量積驗(yàn)算即可；對(duì)于C，由向量線性運(yùn)算、模的坐標(biāo)運(yùn)算公式驗(yàn)算即可；對(duì)于D，由向量模的夾角的余弦坐標(biāo)公式驗(yàn)算即可.
【詳解】對(duì)于A，若與垂直，則，解得，故A正確；
對(duì)于B，若，則，解得，此時(shí)，故B正確；
對(duì)于C，若，則，故C正確；
對(duì)于D，若，則，注意到此時(shí)，
與的夾角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）
A. 在區(qū)間單調(diào)遞增
B. 函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線
C. 函數(shù)在有5個(gè)零點(diǎn)
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)條件得，再利用的圖象與性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.
【詳解】，其圖象如圖，
對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，易知在區(qū)間單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，而的對(duì)稱軸也是，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，又偶函?shù)在遞減，所以，故選項(xiàng)D正確，
故選：BD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)體積公式和面積公式列式計(jì)算.
【詳解】設(shè)此球的半徑為，則，
解得.
故答案為：.
13. 已知非零向量滿足，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則得三角形為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的幾何特征進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】如圖當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，
則為線段的長(zhǎng)度，
所以.
故答案為：.

14. 在中，，，其面積為，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得，結(jié)合正弦定理求得正確答案.
【詳解】依題意，，
由余弦定理得，，
由正弦定理得.
故答案為：
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知不等式，的解集是．
（1）求常數(shù)的值；
（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得和為關(guān)于的方程的兩根且，利用韋達(dá)定理得到方程，求出的值；
（2）依題意可得關(guān)于的不等式的解集為，則，即可求出的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈慕饧牵?br>所以和為關(guān)于的方程的兩根且，
所以，解得.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得關(guān)于的不等式的解集為，
所以，解得，
即的取值范圍為.
16. 已知，.
（1）若，且、、三點(diǎn)共線，求的值.
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，與垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由、、C三點(diǎn)共線，可得與共線，列出方程即可得到的值；
（2）根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，代入公式，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，，
且、、三點(diǎn)共線，則可得，
即，
解得；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可得，，
因?yàn)榕c垂直，則可得,
解得.
17. 在中，已知．
（1）求的大??；
（2）請(qǐng)從條件①：，條件②：，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求和的值．
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分
【答案】（1）或
（2）選條件①，，，選條件②，，
【解析】
【分析】（1）先用正弦定理求出角A；
（2）選條件①：先判斷出，分別求出，利用兩角和的余弦公式即可求出，再用余弦定理求出a；選條件②：先判斷出，分別求出，利用兩角和的余弦公式即可求出，再用正弦定理求出a．
【小問(wèn)1詳解】
中，因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得：，所以，
且，所以或.
【小問(wèn)2詳解】
選條件①：，則，所以（舍去）.
此時(shí)，，，，
所以
.
即，
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
選條件②：.
因?yàn)?，所以，所以（舍去?
此時(shí)，，，，
所以
，
即.所以，
由正弦定理得：，
即，即.
18. 如圖，已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)沿方向在該正方形上運(yùn)動(dòng)，直至它們首次相遇為止．已知質(zhì)點(diǎn)的速度為，質(zhì)點(diǎn)的速度為．
（1）請(qǐng)將表示為時(shí)間（單位：）的函數(shù)______；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分，與，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求出的表達(dá)式，
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及分段函數(shù)分段處理，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，解得，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
則，
綜上，
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)由（1）知單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；
當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為0．
綜上的最小值為．
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：
已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；
（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
【小問(wèn)1詳解】
由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小問(wèn)2詳解】
由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，，，由
得：，整理得，
則

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