數(shù)學(xué)試題（高2025屆）
【命題學(xué)校：潼南中學(xué)命題人：李倩審題人：龍希勝、徐厚燕】
（本試卷共4頁，總分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號及科類名稱。
2．請將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi)。
3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚。
4．請按題號順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．c．D．1
2．為了了解全國觀眾對2024年春晚語言類節(jié)目的滿意度，某網(wǎng)站對2024年春晚的3000名觀眾，按性別比例分層隨機抽樣的方法進(jìn)行抽樣調(diào)查，已知這3000名觀眾中男。女人數(shù)之比為，若樣本容量為300，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
4，現(xiàn)有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．20B．15C．6D．3
6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．現(xiàn)將《論語》、《孟子》、《大學(xué)》、《中庸》、《詩經(jīng)》5本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《論語》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（ ）
A．50B．80C．120D．150
8．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．甲、乙、丙等5人排成一列，下列說法正確的有（ ）
A．若甲和乙相鄰，共有48種排法B．若甲不排第一個共有96種排法
C．若甲與丙不相鄰，共有36種排法D．若甲在乙的前面，共有60種排法
10．小明在超市購買大米，共有包裝相同的10袋大米，其中一級大米有4袋，二級大米有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一級大米”，用B表示事件“第二次取到二級大米”，則（ ）
A．B．
C．D．事件相互獨立
11．定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”。根據(jù)定義可得（ ）
A．在上是“弱減函數(shù)”
B．在上是“弱減函數(shù)”
C．若在上是“弱減函數(shù)”，則
D．若在上是“弱減函數(shù)”，則
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．除以7余數(shù)是______．
13．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次擲出的點數(shù)小于3”，事件“兩次點數(shù)之和大于4”，則______．
14．已知對任意，且當(dāng)時，都有：，則的取值范圍是______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
已知展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)比為．
（1）求的值；
（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）
16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)在時取得極值．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
17．（本小題滿分15分）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中男子100米比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．
（1）甲、乙、丙三人中，哪個人進(jìn)入決賽的可能性更大？
（2）在的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．
18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求的值．
19．（本小題滿分17分）設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）當(dāng)時，設(shè)，且軸，求兩點間的最短距離；
（3）若時，函數(shù)的圖像恒在的圖像上方，求實數(shù)的取值范圍．
重慶市名校聯(lián)盟2023～2024學(xué)年度第二期期中聯(lián)考
數(shù)學(xué)試題參考答案（高2025屆）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。
1—8 CBDBB AAB
8．解析：設(shè)，因為，所以，
對函數(shù)求導(dǎo)，得，因為，所以，
所以函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，
因此由．故選B
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。
9．ABD 10．AC 11．ACD
11．解析：對于A，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增，故A正確；
對于B，在上單調(diào)遞減，不單調(diào)，故B錯誤；
對于C，若在單調(diào)遞減，由，得，
在單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，在上單調(diào)遞減，
在上恒成立，
令，令，
，
在上單調(diào)遞減，，
在上單調(diào)遞減，，
，
在上單調(diào)遞增，
在上恒成立，
，
令，
在上單調(diào)遞增，，
，
綜上：，故D正確．
故選：ACD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．1 13． 14．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。
15．（1）依題意，展開式的通項公式，顯然第三項的二項式系數(shù)為，第四項的二項式系數(shù)系數(shù)為，
因此，解得，
所以的值為6
（2）由（1）知，當(dāng)時，對應(yīng)的項是有理項，
當(dāng)時，展開式中對應(yīng)的有理項為；
當(dāng)時，展開式中對應(yīng)的有理項為
當(dāng)時，展開式中對應(yīng)的有理項為
所以展開式中有理項的系數(shù)之和為
16．（1）易知，
依題意，解得，
此時，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在時取得極值，
所以．
（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍為
17．（1）甲進(jìn)入決賽的概率為，乙進(jìn)入決賽的概率為，
丙進(jìn)入決賽的概率為，
因為，所以，
顯然，乙進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大．
（2）當(dāng)時，丙進(jìn)入決賽的概率為，
所以甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的概率分布為，
根據(jù)題意，得到隨機變量的可能取值為0，1，2，3，
可得；
，
，
則，
所以隨機變量的分布列為：
18．（1）由已知，因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點，
所以解得，
所以實數(shù)的取值范圍為；
（2）由（1）得，
即兩個極值點為方程的兩根，
則，
所以
代入得
，其中，
則，得，
設(shè)，
則，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞增，又，
所以．
19．（1）當(dāng)時，，則
，則
所以函數(shù)在點處的切線方程為
（2）當(dāng)時，且軸，由
得：，
所以．
令，當(dāng)?shù)臅r恒成立．
所以時，的最小值為
所以
（3）令
因為在時恒成立
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增
所以在上恒成立
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立
當(dāng)時在上單調(diào)遞增，即
故當(dāng)時，恒成立
當(dāng)時，，又因為在上單調(diào)遞增，總存在
使得在區(qū)間上，導(dǎo)致在上單調(diào)遞減，而
所以當(dāng)時，，這與在恒成立矛盾，
所以不符合題意
綜上所述，的取值范圍是．1
2
3
0
1
2
3

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