本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）兩部分，共4頁(yè)時(shí)間120分鐘.滿分150分.
第Ⅰ卷 選擇題
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上.
1.已知全集，，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知，則的虛部為（ ）
A.B.C.D.2
3.雙曲線：的左，右頂點(diǎn)分別為，，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A.3B.C.D.
4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）
A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸
5.質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)，我們把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”，如：3和5，5和7……，在不超過(guò)20的正整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件：這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)；事件：這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)，則（ ）
A.B.C.D.
6.在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊為，，，，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A.4B.C.3D.
7.第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國(guó)古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會(huì)議計(jì)劃召開(kāi)的年份，那么八進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（ ）
A.1B.3C.5D.7
8.已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（ ）
A.有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B.在上單調(diào)遞增
C.存在實(shí)數(shù)，使得D.有最小值
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12
B.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則
C.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
D.已知一系列樣本點(diǎn)（）的回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差（殘差＝實(shí)際值－模型預(yù)測(cè)值）相等，則
10.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若函數(shù)與均為偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C.D.
11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（ ）
圖1 圖2 圖3
A.
B.若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為3
C.點(diǎn)到直線的距離是
D.直線與平面所成角正弦值的最大值為
第Ⅱ卷 非選擇題
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，且，則______.
13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______.
14.已知拋物線：，定點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的兩條切線，，，是切點(diǎn)，則面積的最小值為_(kāi)_____.
四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足.
（1）求證：；
（2）求的最小值.
16.（15分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，底面為等邊三角形.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
17.（15分）等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個(gè)變量的數(shù)據(jù)并進(jìn)行比較，這種類型圖表將多個(gè)條形圖堆積在一起并用顏色進(jìn)行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個(gè)條形圖的高度表示對(duì)應(yīng)變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個(gè)變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛(ài)的醫(yī)務(wù)工作者們?cè)诙拘袆?dòng)會(huì)更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對(duì)附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結(jié)晶試驗(yàn)，得到如下等高堆積條形圖.
單位：次
（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫(xiě)列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；
（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個(gè)環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬(wàn)元，若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù)，第三環(huán)節(jié)的修復(fù)費(fèi)用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為2000元.試問(wèn)如何定價(jià)（單位：萬(wàn)元），才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬(wàn)元的目標(biāo)？（精確到0.001）
附：，其中.
18.（17分）設(shè)橢圓：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率，直線：垂直軸交軸于，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，，.
（1）求橢圓的方程：
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，.
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）如圖：過(guò)作軸的垂線，過(guò)作的平行線分別交，于，，求的值.
19.（17分）“讓式子丟掉次數(shù)”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)分析不等式中最常見(jiàn)的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布.伯努利提出，是最早使用“積分”和“極坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)家之一.貝努利不等式表述為：對(duì)實(shí)數(shù)，在時(shí)，有不等式成立；在時(shí)，有不等式成立.
（1）證明：當(dāng)，時(shí)，不等式成立，并指明取等號(hào)的條件；
（2）已知，，，…，（）是大于的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明：
（3）求證：.
鷹潭市2024屆高三第二次模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、單選題：
1–4BDBC 5–8AACC
6.【詳解】設(shè)的外心為，
則
當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào).
7.【詳解】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：
，
因?yàn)槭?0的倍數(shù)，
所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，
由可得，末尾數(shù)字為5.
8.【詳解】由得，令，
則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，
由得，列表如下：
由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以，在上單調(diào)遞增，即B正確；
在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.
二、多選題：
9. BC 10. ABD 11. BD
10.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得：，
即，∴，即，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，且
，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，為偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，可得：，即，得，
所以，即，
則，可知的周期為4，
選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，將代入，得，
得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得：關(guān)于對(duì)稱，
由且關(guān)于對(duì)稱，知，又的周期為4，可得
（）.選項(xiàng)C中有等式，即，
則有（）成立，∴選項(xiàng)D正確；
11.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?br>，
所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)點(diǎn)，使，，
則，故，則
，
因，則時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值3，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，因，，，則，，
故得：，，
則點(diǎn)到直線的距離為：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，取平面的法向量，則，
由且
知，D項(xiàng)正確.
三、填空題：
12.【答案】
13.【答案】（）
14.【答案】
14.【詳解】設(shè)，：且，
即：，
直線恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立
得，∴，，
即
∴
四、解答題：
15.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）
【詳解】（1）由知，
即，∴
∴，即，得證.
（2）由（1）知，
∴
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值
16.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）平面與平面的夾角的余弦值為
【詳解】（1）取，的中點(diǎn)為，，連接，，，
由于側(cè)面為矩形，所以，∵，∴，
由于底面為等邊三角形，所以，，，平面，
所以平面，
由于，，故四邊形為平行四邊形，
故平面，故，
又是中點(diǎn)，所以，由于，，是中點(diǎn)，
所以，，
又且，所以，
由于，，
故為的平面角，
由于，所以，
故平面平面；
（2）由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
由于平面的法向量為，
故
故平面與平面的夾角的余弦值為.
17.【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)，
（2）石墨烯發(fā)熱膜的定價(jià)至少為2.233萬(wàn)元/噸，才能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤(rùn)目標(biāo).
【詳解】（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如下：
計(jì)算可得.
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有99.9%的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān).
（2）設(shè)生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜所需的修復(fù)費(fèi)用為萬(wàn)元.
易知的可能取值為0，0.2，0.4，0.6，0.8
，，
，，
則的分布列為
修復(fù)費(fèi)用的期望
所以石墨烯發(fā)熱膜的定價(jià)至少為萬(wàn)元/噸，才能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤(rùn)目標(biāo).
18.解：（1）由題意知：，
即，，
所以橢圓的方程為
（2）方法一：（?。┮字?，，，，
設(shè)直線的方程為，由直線過(guò)知，
聯(lián)立方程，
得，
變形得：，
即.
（ⅱ）設(shè)直線，的傾斜角分別為，，則，，
，，，
在中，
在中，
所以
由知，即，故
（2）方法二：（?。┮字?，，，，
設(shè)，，直線的方程為，
則……（*）
聯(lián)立方程，得，
∴，……（1）
將（1）式代入（*）得：
（ⅱ）由（ⅰ）知，
：即……（2）
：即……（3）
聯(lián)立（2），（3）得即
∴
即為的中點(diǎn)，故
19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，，或，（2）證明見(jiàn)解析，（3）證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，我們需證，
設(shè)（，），注意到，，令得，即，
令，則，所以單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即恒成立，.不等式對(duì)，成立，得證
不等式取等號(hào)的條件是，或
（2）當(dāng)時(shí)，原不等式即，顯然成立
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列：
，
則，
若（），由上式易得，即；
若（），則，
所以，
故，即此時(shí)也成立.
所以當(dāng)時(shí)，
由于，所以（），
故原不等式成立.
（3）證明：要證，
只需證
由（2）知
又
∴，得證.材料
材料
合計(jì)
試驗(yàn)成功
試驗(yàn)失敗
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
－
0
＋
材料
材料
合計(jì)
試驗(yàn)成功
45
30
75
試驗(yàn)失敗
5
20
25
合計(jì)
50
50
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8

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