第Ⅰ卷的注釋
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上．(共8題；共40分)
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1. 若復(fù)數(shù)滿足 ， 則（ ）
A . B . C . D .
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2. 已知集合 ， 集合 ， 若 ， 則的取值范圍為（ ）
A . B . C . D .
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3. 南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（Flrence Nightingale）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大小．某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A . 2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量先增加后減少 B . 2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2022年最多 C . 2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增 D . 2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍
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4. 設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A . 若 ， ， 則 B . 若 ， ， ， 則 C . 若 ， ， 則 D . 若 ， ， 則
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5. 某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從800名職工中抽取了一個(gè)容量為80的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為 ， 則單位職工體重的方差為（ ）
A . 166 B . 167 C . 168 D . 169
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6. 已知 ， ， =（ ）
A . B . C . 3 D .
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7. 已知橢圓：的左焦點(diǎn)為 ， 如圖，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與橢圓交于 ， 兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（ ）
A . B . C . D .
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8. 在滿足 ， 的實(shí)數(shù)對(duì)中，使得成立的正整數(shù)的最大值為（ ）
A . 22 B . 23 C . 30 D . 31
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.(共3題；共18分)
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9. 如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為 ， 為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn) ， 則（ ）
A . B . C . 點(diǎn)的坐標(biāo)為 D . 點(diǎn)的坐標(biāo)為
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10. 中，內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ， 為的面積，且 ， ， 下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A . B . 若 ， 則只有一解 C . 若為銳角三角形，則取值范圍是 D . 若為邊上中點(diǎn)，則的最大值為
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11. 直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4， ， 點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足 ， 則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A . 點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為. B . 直線與平面所成的角為定值． C . 點(diǎn)到平面的距離的最小值為. D . 的最小值為-2．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．(共3題；共15分)
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12. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為．
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13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為 ， 是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為 ， 則的最小值為．
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14. 已知函數(shù) ， 的定義域?yàn)?， 為的導(dǎo)函數(shù)，且 ， ， 若為偶函數(shù)，求=．
四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．(共5題；共77分)
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15. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列．
（1） 求的通項(xiàng)公式；
（2） 令 ， 為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明： ．
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16. 如圖1，已知正三角形邊長(zhǎng)為6，其中 ， ， 現(xiàn)沿著翻折，將點(diǎn)翻折到點(diǎn)處，使得平面平面 ， 為中點(diǎn)，如圖2．
（1） 求異面直線與所成角的余弦值；
（2） 求平面與平面夾角的余弦值．
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17. 2024年春晚為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)精彩紛呈的視覺(jué)盛宴，同時(shí)，也是傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技完美融合的展現(xiàn).魔術(shù)師劉謙為大家呈現(xiàn)了一個(gè)精妙絕倫的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》，小明深受啟發(fā)，在家嘗試對(duì)這個(gè)魔術(shù)進(jìn)行改良，小明準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2，3，4．乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．
（1） 若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；
（2） 若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左右手完成各取兩球?yàn)閮纱稳∏颍┑某晒θ》ù螖?shù)的隨機(jī)變量 ， 求的分布列．
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18. 已知在平面直角坐標(biāo)系中，： ， ： ， 平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn) ， 過(guò)作交于 ， 交于 ， 平行四邊形面積恒為1.
（1） 求點(diǎn)的軌跡方程并說(shuō)明它是什么圖形；
（2） 記的軌跡為曲線 ， ， 當(dāng)在軸右側(cè)且不在軸上時(shí)，在軸右側(cè)的上一點(diǎn)滿足軸平分 ， 且不與軸垂直或是的一條切線，求與 ， 圍成的三角形的面積最小值.
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19. 設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴袛?shù)的符號(hào)，稱為一次“操作”．
（1） 數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過(guò)兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫(xiě)出一種方法即可）：
表1
（2） 數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過(guò)兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值：
表2
（3） 對(duì)由個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的任意一個(gè)數(shù)表A ， 能否經(jīng)過(guò)有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
難度系數(shù)：0.43
第Ⅰ卷 客觀題
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上．
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9 10 11
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12 13 14
第Ⅱ卷 主觀題
四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15 16 17 18 19
1
2
3
1
0
1
a

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