一、單項選擇題
1. 已知全集，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式，得或，于是，，
由，得，解得，則，
所以.故選：B
2. 已知，則的虛部為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由，
則，的虛部為2.故選：D.
3. 雙曲線：的左，右頂點分別為，曲線上的一點關于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，不妨設，則，
依題意，，因點在雙曲線上，故有，
于是，.
故選：B.
4. 我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
【答案】C
【解析】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，
因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，
則盆中水的體積為立方寸，
所以平地降雨量等于寸.故選：C.
5. 質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)，我們把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”，如：3和5，5和7……，在不超過20的正整數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在不超過20的正整數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)有對組合，
在不超過20的正整數(shù)中有共個數(shù)，
所以，
所以任取兩個素數(shù)共有個對組合，
其中是“孿生素數(shù)”有，，，共對，
所以這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)的共有對，
所以，所以.
故選：A
6. 在中，角所對應的邊為,，，，是外接圓上一點，則的最大值是（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】A
【解析】如圖，設的外心為，則點是的中點，
由，
因，故,而，
故當且僅當與同向時取等號.故選：A.
7. 第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：
，
因為是10的倍數(shù)，
所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，
由可得，末尾數(shù)字為5.
故選：C
8. 已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（ ）
A. 有且只有一個極值點B. 在上單調(diào)遞增
C. 存在實數(shù)，使得D. 有最小值
【答案】C
【解析】由得，令，
則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)，
因為為增函數(shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，
由得，
列表如下：
由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在時，取得極小值（最小值），
所以在上單調(diào)遞增，即B正確；
在時，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯誤.
故選：C.
二、多項選擇題
9. 下列說法中，正確是（ ）
A. 一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12
B. 兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則
C. 已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D. 已知一系列樣本點（）的回歸方程為，若樣本點與的殘差（殘差＝實際值－模型預測值）相等，則
【答案】BC
【解析】A選項，，故從小到大從第4個和第5個數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯誤；
B選項，，，
因為，（），
故，
故，
，
故，B正確；
C選項，因為，，
關于對稱，所以，C正確；
D選項，由題意得，整理得，D錯誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記.若函數(shù)與均為偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖象關于點對稱
C.
D.
【答案】ABD
【解析】對于選項A，因為為偶函數(shù)，可得：，
即，∴，即，故選項A正確；
對于選項B，因為為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，且
，則的圖象關于點對稱，故選項B正確；
對于選項C，為偶函數(shù)，其導函數(shù)為奇函數(shù)，可得：，即，
得，
所以，即，
則，可知的周期為4，
故選項C錯誤；
對于選項D，因為為奇函數(shù)，
將代入，得，得，
因為為偶函數(shù)，可得：關于對稱，
由且關于對稱，知，
又的周期為4，可得（），
選項C中有等式，即，
則有（）成立，
∴，故選項D正確；故選：ABD.
11. 布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（ ）

A.
B. 若為線段上的一個動點，則的最大值為3
C. 點到直線的距離是
D. 直線與平面所成角正弦值的最大值為
【答案】BD
【解析】對于A項，因為
，
所以，故A項錯誤；
對于B項，如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，

則，，，
設點，使，，
則，故，
則，
因，則時，即點與點重合時，取得最大值3，
故B項正確；
對于C項，又，則，，
故得：，，
則點到直線的距離為：，故C項錯誤；
對于D項，設平面的一個法向量為，
所以，取，所以
由，則，
由，
又，當且僅當時，取等號
知，D項正確.
故選：BD
第Ⅱ卷 非選擇題
三、填空題
12. 已知，且，則______.
【答案】
【解析】因為，所以，又，
所以，
所以
.
故答案為：
13. 設數(shù)列的前項和為，，，，則______.
【答案】（）
【解析】因為，當時，，
兩式相減可得，即，
所以，又，所以，
所以，所以，且也符合上式，
所以，所以，.
故答案為：（）
14. 已知拋物線：，定點，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，，，是切點，則面積的最小值為______.
【答案】
【解析】設，的斜率分別為，且，過點M的切線方程為，聯(lián)立，
解得，
所以，即，
所以，
設切點，由導數(shù)幾何意義知，
所以，，
所以直線，即：且，
所以：，
直線恒過定點，其到的距離為1，聯(lián)立，
得，∴，，
即，
∴，故答案為：.
四、解答題
15. 的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.
（1）求證：；
（2）求的最小值.
（1）證明：由，可得且，
所以，
因為為三角形的內(nèi)角，可得，即，得證.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，
當且僅當時，等號成立，所以取最小值
16. 如圖，三棱柱中，側面為矩形，，，底面為等邊三角形.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
（1）證明：取，的中點為，，連接，，，
由于側面為矩形，所以，∵，∴，
由于底面為等邊三角形，所以，，，平面，
所以平面，
由于，，故四邊形為平行四邊形，
故平面，故，
又是中點，所以，
由于，，所以，，
又，所以，
由于，，
故為的平面角，
由于，所以，
故平面平面；
（2）解：由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，，
則，，
設平面的法向量為，
則，取，則，
由于平面的法向量為，故
故平面與平面的夾角的余弦值為.
17. 等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個變量的數(shù)據(jù)并進行比較，這種類型圖表將多個條形圖堆積在一起并用顏色進行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個條形圖的高度表示對應變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛的醫(yī)務工作者們在冬季行動會更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結晶試驗，得到如下等高堆積條形圖.

單位：次
（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為試驗的結果與材料有關；
（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產(chǎn)不合格還需進行修復，第三環(huán)節(jié)的修復費用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復費用均為2000元.試問如何定價（單位：萬元），才能實現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬元的目標？（精確到0.001）附：，其中.
解：（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如下：
計算可得，
依據(jù)的獨立性檢驗，有的把握認為試驗的結果與材料有關.
（2）設生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜所需的修復費用為萬元，
易知的可能取值為，，，，，
，
，
，，
則的分布列為
修復費用的期望，
所以石墨烯發(fā)熱膜的定價至少為萬元/噸，才能實現(xiàn)預期的利潤目標.
18. 設橢圓：（）經(jīng)過點，且離心率，直線：垂直軸交軸于，過的直線交橢圓于，兩點，連接，，.

（1）求橢圓的方程：
（2）設直線，的斜率分別為，.
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）如圖：過作軸的垂線，過作的平行線分別交，于，，求的值.
解：（1）由題意知：，
即，，
所以橢圓的方程為；

（2）方法一：（?。┮字?，，，，
設直線的方程為，由直線過知，
聯(lián)立方程，
得，
變形得：，即.
（ⅱ）設直線，的傾斜角分別為，，則，，
，，，
在中，
所以
由知，即，故.
方法二：（?。┮字?，，，，
設，，直線的方程為，
則……（*）
聯(lián)立方程，得，
∴，……（1）
將（1）式代入（*）得：
（ⅱ）由（?。┲?，
：即……（2）
：即……（3）
聯(lián)立（2），（3）得，即
∴
即為的中點，故
19. “讓式子丟掉次數(shù)”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學家雅各布.伯努利提出，是最早使用“積分”和“極坐標”的數(shù)學家之一.貝努利不等式表述為：對實數(shù)，在時，有不等式成立；在時，有不等式成立.
（1）證明：當，時，不等式成立，并指明取等號的條件；
（2）已知，…，（）是大于的實數(shù)（全部同號），證明：
（3）求證：.
（1）解：當時，，則，當時，，
當時，我們需證，
設，，
注意到，，
令得，即，
令，則，
所以在單調(diào)遞增，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，即恒成立，
.不等式對，成立，得證，
不等式取等號的條件是，或.
（2）證明：當時，原不等式即，顯然成立，
當時，構造數(shù)列，
，
則，
若（），
由上式易得，即；
若（），
則，
所以，
故，
即此時也成立，
所以當時，，
由于，
所以（），
故原不等式成立.
（3）證明：要證，
只需證
由（2）知
又
∴，
得證.
－
0
＋
材料
材料
合計
試驗成功
試驗失敗
合計
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10.828
材料
材料
合計
試驗成功
45
30
75
試驗失敗
5
20
25
合計
50
50
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8

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