一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若向量與向量是共線向量，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A.2B.C.D.0
2.復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A.B.C.D.
3.已知全集，集合，，則等于（ ）
A.B.C.D.
4.已知函數(shù)，則的值為（ ）
A.B.C.D.
5.三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四條棱中，棱長最大值為（ ）
A.B.C.D.2
6.已知，則（ ）
A.3B.C.或0D.3或0
7.已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點(diǎn)到直線的距離等于”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要
8.有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
附：（）.
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A.甲班人數(shù)少于乙班人數(shù)
B.甲班的優(yōu)秀率高于乙班的優(yōu)秀率
C.表中的值為15，的值為50
D.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”
9.若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A.B.C.D.
10.已知函數(shù)，若，則（ ）
A.B.C.D.0
11.已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于3，則下列說法正確的是（ ）
A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為
C.若，則的面積為D.以為圓心，為半徑的圓與漸近線相切
12.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）
A.B.4C.D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.
13.某班男女生的比例為3:2，全班的平均身高為，若女生的平均身高為，則男生的平均身高為______.
14.拋物線（）的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（在第一象限），分別過，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若，則直線的傾斜角等于______.
15.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則______.
16.在三棱柱中，平面，，，是矩形內(nèi)一動點(diǎn)，滿足，則三棱錐外接球體積為______.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
某保險公司為了給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計(jì)了一款針對該疾病的保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，這100個樣本按年齡段，，，，分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，
每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表格所示.（保費(fèi)：元）據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為該項(xiàng)保險支出的各種費(fèi)用為一百萬元.
（Ⅰ）用樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，為使公司不虧本，則保費(fèi)至少為多少元？（精確到整數(shù)）
（Ⅱ）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的中年人對該疾病的防范意識還比較弱，為加強(qiáng)宣傳，按分層抽樣的方法從年齡在和的中年人中選取6人進(jìn)行教育宣講，再從選取的6人中隨機(jī)選取2人，被選中的2人免一年的保險費(fèi)，求被免去的保費(fèi)超過150元的概率.
18.（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19.（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且.
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若四棱錐的體積等于1，判斷平面與平面是否垂直，并說明理由.
20.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)的圖像與軸相切于原點(diǎn).
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）若，證明：當(dāng)時，.
21.（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，籿圓（）過點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率為時，直線的傾斜角等于
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn).線段，的中點(diǎn)為，若的縱坐標(biāo)為定值，判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由.
請考生在第22，23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑.
22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線相交于兩點(diǎn).
（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).
23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù).
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)的最小值為，正數(shù)，滿足，證明：.
成都七中高2024屆三診模擬考試數(shù)學(xué)試題
（文科參考答案）
一、選擇題：
C B B C A D A D C B D A
二、填空題：
13. 174 14. 15. 16.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.解：（Ⅰ），解得
保險公司每年收取的保費(fèi)為：
所以要使公司不虧本，則，即，
解得，即保費(fèi)元；
（Ⅱ）選取的6人中，有2人來自年齡在，記這2人分別為，，
有4人來自年齡在，記這4人分別為，，，，
從這6人中任取2人的所有基本事件有：
，，，，，，，，，
，，，，，共15種，
其中保費(fèi)超過150元的有，，，，，共6種，
所以被免去保費(fèi)超過150元的概率為.
18.解：（Ⅰ）∵，
∴，（），
相減得，即，
所以數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，
又，
所以.
（Ⅱ）∵，
，
∴.
19.解：（Ⅰ）∵面，∴，
又∵，
∴平面，∴，
又∵，，
∴平面，∴，
由，得：為棱的中點(diǎn)，
連接交于，連接交于，連接，
在中，交，
∴，平面，
∴平面；
（Ⅱ）設(shè)，
四棱錐的體積為，
解得，.
∵，
∴，
取的中點(diǎn)，則，，且，.
所以平面，且平面，
所以平面平面.
20.解：（Ⅰ），
∵，∴
又函數(shù)的圖像與軸相切于原點(diǎn)，
∴，即，
∴，；
（Ⅱ）當(dāng)時，不等式等價于，
，令函數(shù)，
則，
∵，∴，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
∴在上恒成立，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以時，不等式成立.
21.解：（Ⅰ）由已知得，
設(shè)，，中點(diǎn)為
由相減得，
得∴，即.
所以橢圓方程為.
（Ⅱ）設(shè)，，
所以：，即，
∴，同理，
設(shè)直線過點(diǎn)，∴，是方程的兩根.
即，
整理得，
∴，，
∴，
∴，
所以直線過點(diǎn).
22.解：（Ⅰ）由得，
即直線的普通方程為，.
由得：，
∵，，∴，
即曲線的直角坐標(biāo)方程為；
（Ⅱ）設(shè)直線的參數(shù)方程為，代入得：
，整理得，
設(shè)點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，
，，且.
解得，，或者，
所以求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為或.
（或者利用普通方程求出，的坐標(biāo)，從而求出的坐標(biāo)）
23.解：（Ⅰ）不等式等價于，
當(dāng)時，得，
當(dāng)時，得，此時無解，
當(dāng)時，得，
綜上，不等式的解集為；
（Ⅱ），
當(dāng)時取等號，
∴，即，
∵，，
相加得，
∴.
所以不等式成立.優(yōu)秀
非優(yōu)秀
甲班
10
乙班
30
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
年齡
保費(fèi)

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