2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學一模試卷（含解析）

這是一份2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學一模試卷（含解析），共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，計算題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.下列各數(shù)為無理數(shù)的是( )
A. 3B. 3.14C. 2 2D. 237
2.如圖，表示互為相反數(shù)的兩個點是( )
A. 點A與點BB. 點A與點DC. 點C與點BD. 點C與點D
3.12位參加歌唱比賽的同學的成績各不相同，按成績?nèi)∏?名進入決賽，如果小粉知道了自己的成績后，要判斷能否進入決賽，小粉需要知道這12位同學的成績的
( )
A. 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 眾數(shù)D. 方差
4.下列運算正確的是( )
A. a+ b= a+bB. 2 a×3 b=5 ab
C. 5+ 3=5 3D. 20? 5= 5
5.分式方程2x?3=1x的解是( )
A. x=1B. x=?1C. x=3D. x=?3
6.在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AD=5，AC=10，BD=6，△BOC的周長為( )
A. 13B. 16C. 18D. 21
7.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上的一點，ED⊥AB，垂足為D，若AD=4，則BE的長為( )
A. 3 5
B. 3 6
C. 185
D. 3
8.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點D的坐標為(4,3)，將菱形ABCD向右平移m個單位，使點D剛好落在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，則m的值為( )
A. 5B. 6C. 203D. 323
9.如圖，在塔前的平地上選擇一點A，由A點看塔頂?shù)难鼋鞘铅?，在A點和塔之間選擇一點B，由B點看塔頂?shù)难鼋鞘铅?若測量者的眼睛距離地面的高度為1.5m，AB=9m，α=45°，β=50°，則塔的高度大約為m．( )
(參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)
A. 55.5
B. 54
C. 46.5
D. 45
10.已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0，c>1)，經(jīng)過點(2,0)，其對稱軸是直線x=12.則下列結論：①abc0時，y隨x增大而減??；④a+b=0.其中正確的結論有個．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
11.代數(shù)式 x+42在實數(shù)范圍內(nèi)有意義時，x應滿足的條件是______．
12.因式分解：4x3?x=______．
13.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，∠B=30°，若CD=3cm，則BD=______cm．
14.關于x的一元二次方程(k?1)x2?2x+3=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
15.如圖，?ABCD繞點A逆時針旋轉30°，得到?AB′C′D′(點B與點B′是對應點，點C與點C′是對應點，點D與點D′是對應點)，此時，點B′恰好落在BC邊上，則∠C= ______．
16.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，F(xiàn)是AD邊上的一個動點，連接EF，將△AEF沿EF折疊得△HEF，若延長FH交邊BC于點M，則DH的取值范圍是______．
三、計算題：本大題共1小題，共4分。
17.解方程：x2+6x+5=0．
四、解答題：本題共8小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
18.(本小題4分)
如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC.求證：AD=CD，AB=CB．
19.(本小題6分)
已知T=aa2?1?1a+1．
(1)化簡T；
(2)已知反比例函數(shù)y= 2x的圖象經(jīng)過點A(a?1,a+1)，求T的值．
20.(本小題6分)
“2023廣州黃埔馬拉松”比賽當天，某校玩轉數(shù)學小組針對其中一個項目“半程馬拉松”(21.0975公里)進行調(diào)查．
(1)為估算本次參加“半程馬拉松”的人數(shù)，調(diào)查如下：
已知共有20000人參與“2023廣州黃埔馬拉松”比賽，請估算本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為______人；
(2)本賽事某崗位還需要2名志愿者參與服務工作，共有4人參加了志愿者遴選，其中初中生2名，高中生1名，大學生1名，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好錄取2名初中生志愿者的概率．
21.(本小題8分)
某文具店準備購進甲、乙兩種圓規(guī)，若購進甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)30個，需要340元；若購進甲種圓規(guī)30個，乙種圓規(guī)50個，需要700元．
(1)求購進甲、乙兩種圓規(guī)的單價各是多少元；
(2)文具店購進甲、乙兩種圓規(guī)共100個，每個甲種圓規(guī)的售價為15元，每個乙種圓規(guī)的售價為12元，銷售這兩種圓規(guī)的總利潤不低于480元，那么這個文具店至少購進甲種圓規(guī)多少個？
22.(本小題10分)
如圖，二次函數(shù)y=?14(x+a)(x?3a)(a>0)的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右側)，與y軸交于點E．
(1)尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交x軸于點D，并標記拋物線的頂點C，連接AE，且AE與對稱軸相交于點F；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)所作的圖形中，若AO=2OE，求∠CAD的大小及AF的值．
23.(本小題10分)
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，CO的延長線交AB于點D．
(1)求證：AO平分∠BAC；
(2)若BC=12，sin∠BAC=35，求AC和CD的長．
24.(本小題12分)
如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB= 3AD，AG= 3AE.矩形AGFE繞著點A旋轉，連接BG，CF，AC，AF．
(1)求證：△ABG∽△ACF；
(2)當CE的長度最大時，
①求BG的長度；
②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得CP+AP+ 3PF的值最??？若存在，求CP+AP+ 3PF的最小值；若不存在，請說明理由．
25.(本小題12分)
已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c圖象與x軸交于點A和點B(?3,0)，與y軸交于點C(0,3)．
(1)求點A的坐標；
(2)若點D是直線BC上方的拋物線上的一點，過點D作DE/?/y軸交射線AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，求3 2DF?DE的最大值及此時點D坐標；
(3)在(2)的條件下，若點P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個動點，并且這兩個點滿足∠PBQ=90°，試求點D到直線PQ的最大距離．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：3是整數(shù)，3.14，237是分數(shù)，它們都不是無理數(shù)；
2 2是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；
故選：C．
無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行判斷即可．
本題考查無理數(shù)的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
2.【答案】B
【解析】解：3和?3互為相反數(shù)，則點A與點D表示互為相反數(shù)的兩個點．
故選：B．
根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“?”號，求解即可．
本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“?”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆．
3.【答案】B
【解析】解：由于總共有12個人，且他們的分數(shù)互不相同，要判斷是否進入前6名，只要把自己的成績與中位數(shù)進行大小比較．故應知道中位數(shù)的多少．
故選：B．
由題意，只需要了解自己的成績與全部成績的中位數(shù)的大小即可．
本題主要考查統(tǒng)計的有關知識，屬于基礎題．
4.【答案】D
【解析】解：A． a與 b不能合并，所以A選項不符合題意；
B.2 a×3 b=6 ab，所以B選項不符合題意；
C.5與 3不能合并，所以C選項不符合題意；
D. 20? 5=2 5? 5= 5，所以D選項符合題意．
故選：D．
根據(jù)二次根式的加法運算對A選項、C選項進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B選項進行判斷；根據(jù)二次根式的減法運算對D選項進行判斷．
本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論是解題的關鍵．
將分式方程轉化為整式方程，求出x的值，檢驗即可得出答案．
【解答】
解：2x?3=1x，
方程兩邊都乘x(x?3)得：2x=x?3，
解得：x=?3，
檢驗：當x=?3時，x(x?3)≠0，
∴x=?3是原方程的解．
故選：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵?ABCD的兩條對角線交于點0，AC=10，BD=6，AD=5，
∴BO=DO=3，AO=CO=5，BC=AD=5
∴△BOC的周長為：BO+CO+BC=3+5+3=13．
故選：A．
利用平行四邊形的性質(zhì)對角線互相平分，進而得出BO，CO的長，即可得出△BOC的周長．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)：對邊相等、對角線互相平分，得出BO，CO的長是解題關鍵．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC= AB2?AC2= 102?82=6，
∵ED⊥AB于點D，AD=4，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=ADAC=48=12，
∴AE=12AB=12×10=5，
∴CE=AC?AE=8?5=3，
∴BE= BC2+CE2= 62+32=3 5，
故選：A．
由∠C=90°，AB=10，AC=8，求得BC=6，由∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A，證明△AED∽△ABC，則AEAB=ADAC，求得AE=5，則CE=AC?AE=3，即可根據(jù)勾股定理求得BE= BC2+CE2=3 5，于是得到問題的答案．
此題重點考查勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△AED∽△ABC是解題的關鍵．
8.【答案】C
【解析】解：(1)作DE⊥BO，DF⊥x軸于點F，
∵點D的坐標為(4,3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A點坐標為：(4,8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
(2)將菱形ABCD向右平移m個單位長度，得到點D′的坐標為(4+m,3)．
代入y=32x，得到3=32m+4，解得m=203．
即菱形ABCD平移的距離為=203個單位長度．
故選：C．
將菱形ABCD向右平移m個單位長度，得到點D′的坐標為(4+m,3)，由D′在反比例函數(shù)圖象上，將點D′代入反比例函數(shù)解析式，求出m的值，問題可解．
本題考查了反比例函數(shù)圖象和菱形性質(zhì)的應用，解答此題的關鍵是知道反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
9.【答案】A
【解析】解：如圖：由題意得ED=BF=AG=1.5m，
∵α=45°，CE⊥EG，
∴∠ECG=α=45°，
∴CE=GE，
設CE=GE=x m，
則EF=(x?9)m，
在Rt△CEF中，tanβ=tan50°=CEEF=xx?9，
即xx?9≈1.2，
解得x=54，
∴CD=CE+ED=54+1.5=55.5(m)，
答：塔的高度大約為55.5m．
故選：A．
首先證明CE=EG，再利用tan50°=CEEF即可求出答案．
本題考查解直角三角形的應用?俯角仰角問題，解決本題的關鍵是能借助俯角、仰角構造直角三角形并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．
10.【答案】B
【解析】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=12，
∴點(2,0)關于直線x=12的對稱點的坐標為(?1,0)，
∵c>1，
∴拋物線開口向下，
∴a0，
∴abc