浙江省三鋒教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份浙江省三鋒教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共15頁。試卷主要包含了考試結(jié)束后，只需上交答題紙等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考生須知：
1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 函數(shù)在點處的切線方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為,所以，所以，
所以在點處的切線方程為，即，
故選：B.
2. 已知，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，所以，
又因為，
所以，
所以，
故選：A.
3. 已知今天星期三，則經(jīng)過天后是（ ）
A. 星期四B. 星期五C. 星期六D. 星期日
【答案】C
【解析】由，
由于能被7整除，
所以除以7余，故經(jīng)過天后是是星期六；
故選：C
4. 在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：，
所以，
所以，
因為滿足條件的有兩個，所以，即，所以的取值范圍是
故選：D
5. 某校高二數(shù)學(xué)期末考試成績近似服從正態(tài)分布，且已知該校高二數(shù)學(xué)期末考試成績超過80分的人數(shù)有420人，則（ ）
A. 估計該校高二學(xué)生人數(shù)為520.
B. 估計該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為280.
C. 估計該校高二學(xué)生中成績介于80到95分之間的人數(shù)為170.
D. 在該校高二學(xué)生中任取1人，其成績低于70分的概率大于超過120分的概率.
【答案】C
【解析】因為近似服從正態(tài)分布，所以，
又因為，則，
A.估計該校高二學(xué)生人數(shù)為，故錯誤；
B.估計該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為，故錯誤；
C. 由，則成績介于80到95分之間的人數(shù)為，
故正確；
D.因為，所以，故錯誤；
故選：C
6. 由未來科學(xué)大獎聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點燃青春：未來科學(xué)大獎獲獎?wù)邔υ捛嗌倌昊顒佑?023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行.現(xiàn)有某市組織5名獲獎?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€不同的會場與學(xué)生進行對話活動，要求每個會場至多派兩名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€會場，則不同的派出方法有（ ）
A. 60種B. 90種C. 150種D. 180種
【答案】B
【解析】要求每個會場至多派兩名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€會場，則不同的派出方法有
種.
故選：B.
7. 若函數(shù)在區(qū)間恰存在三個零點，兩個最值點，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】當(dāng)，則，
依題意可得，解得，
即的取值范圍是.
故選：A.
8. 已知函數(shù)在上有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函數(shù)在上有且僅有一個零點.
則方程在上有且僅有一個實數(shù)根.
令函數(shù)
即直線與函數(shù)在上有且僅有一個交點.
令，得
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
則，即.
故選：C
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 在單調(diào)遞減
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
D. 若，則的最小值為
【答案】CD
【解析】由函數(shù)的圖象，
可得，所以，所以，
又由，即，可得，
所以，因為，所以，所以，
對于A中，由，所以A錯誤；
對于B中，令，解得，
所以在單調(diào)遞增，所以B錯誤；
對于C中，將圖象上的所有點沿軸向右平移個單位長度后，
得到的圖象，次數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以C正確；
對于D中，由函數(shù)，可得，
使得成立，則，
因為函數(shù)的最小正周期為，所以的最小值為，所以D正確.
故選：CD.
10. 某中藥材盒中共有包裝相同的7袋藥材，其中黨參有3袋，黃芪有4袋，從中取出兩袋，下列說法正確的是（ ）
A. 若有放回抽取，則取出一袋黨參一袋黃芪的概率為
B. 若有放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，第2次取出黨參的概率為
C. 若不放回抽取，則第2次取到黨參的概率算法可以是
D. 若不放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為
【答案】ABD
【解析】對于選項A，因為是有放回抽取，抽到一袋黨參的概率為，
抽到一袋黃芪的概率為，
所以取出一袋黨參一袋黃芪的概率為，故選項A的正確，
對選項B，第二次抽到黨參的概率為，至少抽到一袋黨參的概率為，
所以所求概率為，故選項B正確，
對于選項C，因為不放回抽取，抽兩次有種取法，第二次抽到黨參的取法為，所以C選項的算法是錯誤的，故選項C錯誤，
對于選項D，至少取出一袋黨參的的概率為，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為，所以在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為概率為，故選項D正確，
故選：ABD.
11. 已知展開式的二項式系數(shù)和為512，，下列選項正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由展開式的二項式系數(shù)和為512，
可得，解得，所以.
A：在中，
令，得，令，得，
所以，故A錯誤；
B：，
等式兩邊同時求導(dǎo)，得，
令，得，故B正確；
C：∵，
∴，故C錯誤；
D：，
兩式相加得，兩式相減得.
又展開式的通項公式為（），
則當(dāng)為奇數(shù)時，為負(fù)，當(dāng)為偶數(shù)時，為正，
所以
，故D正確.
故選：BD
12. 對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和
B. 當(dāng)時，
C. 若方程有6個不等實數(shù)根，則
D. 設(shè)，若對，使得成立，則
【答案】ACD
【解析】對于選項A，易知定義域為，又，
由，得到，所以且，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以選項A正確，
選項B，令，則，當(dāng)時，，
即當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即，所以選項B錯誤，
選項C，易知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，
由選項A知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，增區(qū)間為，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，
所以函數(shù)的圖象如圖所示，
直線與函數(shù)有6個不同交點，則，所以選項C正確，

對于選項D，易知的值域為，而由選項C知函數(shù)的域，
由題意函數(shù)值域是函數(shù)值域的子集，則，所以選項D正確，故選：ACD.
非選擇題部分
三?填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）
13. 已知隨機變量滿足，若，則__________.
【答案】
【解析】由，得，由，得，
所以.
故答案為：8
14. 已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，且，則________.
【答案】
【解析】因為，所以，
得到，所以，
故，所以，
故答案為：.
15. 小明的生日是07年10月27日，他打算從這六個數(shù)字的所有不同排列中任選一種設(shè)置為自己的6位數(shù)手機密碼，其中數(shù)字1，2不相鄰，則他可設(shè)置的密碼有__________種.
【答案】
【解析】因為數(shù)字1，2不相鄰，所以先排列，再將1，2進行插空，
所以共有種情況.
故答案為：120.
16. 人間四月天，正是春游好時節(jié).某學(xué)校組織高二學(xué)生去遠(yuǎn)足，該遠(yuǎn)足路線會經(jīng)過一處瀑布.有一個學(xué)生為了測量該瀑布的實際高度，記錄了如下測量數(shù)據(jù)：先沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿著山道繼續(xù)走，測得瀑布頂端仰角正切值為，已知該同學(xué)沿山道行進方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為.根據(jù)該同學(xué)的測量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為__________.
【答案】
【解析】如圖，設(shè)瀑布頂端為，底端為，高為，
該同學(xué)第一次測量位置為，第二次測量的位置為，
則，
由題得，
在中，由余弦定理可知：
，
解得.故答案為：50m.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 已知的展開式中，第二項系數(shù)與第三項系數(shù)之比為，
（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）求展開式中所有的有理項.
解：（1）展開式中第項為，
，解得
由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，
即.
（2）由（1）知，，
又，由可得，
故展開式中的有理項為：
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且函數(shù)在上的最大值為，求的值.
解：（1）當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2），
若，令得（舍負(fù)），
當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，得；
當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞減，上遞增，
則，
如若可以，只能，則（舍）；
當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞減，
則（舍）.綜上可知，.
19. 袋中有大小相同的小球10個，其中黑球3個，紅球個，白球個，.從中任取2個球，至少有1個紅球的概率為.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1個紅球得2分，取到1個白球得0分，取到1個黑球得分，求總得分的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
解：（1），得,
故黑球3個，紅球5個，白球2個，
事件：取出的3球中恰有2球同色，
則
（2）.
的概率分布列
.
20. 已知銳角的內(nèi)角，所對的邊分別為，且.
（1）求角；
（2）若，求的周長的取值范圍.
解：（1）因為
所以，.
即，由正弦定理得，
顯然，
所以，所以，
因為，所以.
（2）由正弦定理得，
即，
則.
，.
因為，解得，得，
所以，
得.
21. 某校團委組織學(xué)生開展了“全民迎亞運，學(xué)習(xí)當(dāng)達人”知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了100名，競賽成績（單位：分）分布如下：
（1）求抽取的100名學(xué)生競賽成績的平均分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（2）在參加該活動的學(xué)生中隨機選取5名學(xué)生，求選取的5名學(xué)生中恰有3名學(xué)生競賽成績在區(qū)間內(nèi)的概率；
（3）以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生競賽成績近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均分近似為樣本方差，按比例前的參賽學(xué)生可獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號，已知甲同學(xué)競賽成績86分，試問他能否獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號.
參考數(shù)據(jù)：若，則，
.
解：（1）；
（2）100個學(xué)生競賽成績在區(qū)間內(nèi)的共有個，
因此從100個學(xué)生中抽取一個學(xué)生，成績在內(nèi)的概率為，
事件A：競賽成績在區(qū)間內(nèi)且恰有3名學(xué)生，
；
（3）
.
因為
所以甲同學(xué)能獲得“學(xué)習(xí)達人”稱號.
22. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，證明：.
解：（1）令得，
設(shè).
要求的零點個數(shù)，即求直線與函數(shù)的交點個數(shù).
則由得，由得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，
當(dāng)且無限趨近于0時，；
當(dāng)趨向于正無窮時，且無限接近于0.
故當(dāng)或即或時，函數(shù)只有一個零點；
當(dāng)即時，函數(shù)有兩個零點；
當(dāng)時，函數(shù)沒有零點.
（2）函數(shù)有兩個極值點.
方程有兩個不相同的正根，
不妨設(shè)，則有.
要證明，
只需證明
將式兩式相加整理得，
將式兩式相減整理得，
則，即，
令，則有.
只需證明，
即證
令，則恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)成立.
故原不等式成立.
-2
-1
0
1
2
4
成績（分）
人數(shù)
6
28
30
32
4