浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2022-2023學年高一數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題（Word版附解析）

這是一份浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2022-2023學年高一數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題（Word版附解析），共22頁。試卷主要包含了考試結(jié)束后，只需上交答題紙， 下列命題是真命題的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022學年第二學期寧波三鋒教研聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 已知向量，，若，則等于（    ）A. 2 B.  C. 3 D. 【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐標表示計算．【詳解】由題意，．故選：C．2. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理可得答案.【詳解】由正弦定理得，.故選：D.3. 設(shè)，是兩個非零向量，則“”是“”成立的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的意義，向量的夾角公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】由，又，所以當且僅當時，成立．充分性：由，得或，則不一定成立，所以充分性不成立；必要性：由，得，則，所以必要性成立．所以“”是“”成立的必要不充分條件．故選：B．4. 若直線不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（    ）A. 平面內(nèi)的所有直線都與直線異面B. 平面內(nèi)不存在與直線平行的直線C. 平面內(nèi)的直線都與直線相交D. 直線與平面有公共點【答案】D【解析】【分析】直線不平行于平面，可得或與平面相交．據(jù)此可判斷出結(jié)論．【詳解】解：直線不平行于平面，可得或與平面相交．對于A：直線與平面內(nèi)的直線相交、平行或為異面直線，故A錯誤；對于B：當時，平面內(nèi)存在與直線平行的直線，故B錯誤；對于C：當時，的直線可能與平行，故C錯誤；對于D：直線與平面有公共點，故D正確．故選：D．5. 如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若，則等于（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運算及平面向量基本定理求解即可.【詳解】由題意知，因為，所以，，.故選：B.6. 在中，，，以所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，作出幾何體，再根據(jù)圓錐的體積公式求解即可.【詳解】解：因為在中，，過作的垂線，垂足為，則，，以所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體特征為圓錐中挖去圓錐，所以，該幾何體的體積為.故選：C 7. 已知中，是BC的中點，且，，則向量在上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件可知，從而推得為等邊三角形，最后結(jié)合投影向量的定義即可求解.【詳解】因為，則，所以，則，因為是BC的中點，所以，又因為，所以為等邊三角形，故點作交于點，則為中點，所以向量在向量上的投影向量為．故選：A.8. 如圖，已知長方體，，，E、F分別是棱、的中點，點為底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點的軌跡長度為（        ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接.證明出面面，得到點的軌跡為線段.求出的長度，即可得到答案.【詳解】如圖所示：取的中點，連接.在長方體，分別是棱、的中點，所以.因為且,分別是中點，所以且,所以四邊形為平行四邊形，所以.因為，面，面，所以面.同理可證：面.因為面，面，面,面,,所以面面.因為點為底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動點，且直線與平面BEF無公共點，面.所以點軌跡為線段.已知長方體，，，為的中點,所以，所以.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9. 下列命題是真命題的是（    ）A. 平行于同一直線兩條直線平行 B. 平行于同一平面的兩條直線平行C. 平行于同一直線的兩個平面平行 D. 平行于同一平面的兩個平面平行【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)結(jié)合空間中線面關(guān)系逐項分析判斷.【詳解】對于A：根據(jù)平行線的傳遞性可知平行于同一直線的兩條直線平行，故A為真命題；對于B：平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故B為假命題；對于C：平行于同一直線的兩個平面的位置關(guān)系有：平行或相交，故C為假命題；對于D：根據(jù)空間中面面的位置關(guān)系可知平行于同一平面的兩個平面平行，故D為真命題；故選：AD.10. 在平面直角坐標系中，已知點，，，則（    ）A. B. 是直角三角形C. 以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的頂點的坐標為D. 與垂直的單位向量的坐標為或【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量模的坐標表示求出可判斷A；求出向量，以及的模，根據(jù)勾股定理逆定理可判斷B；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標表示求出與垂直的單位向量可判斷D.【詳解】對于A，由依題意得，所以，故A正確；對于B，由題意得，，則，，所以結(jié)合A選項得，所以，即為直角三角形，故B正確；對于C，結(jié)合B選項得，則頂點的坐標為，故C錯誤；對于D，結(jié)合B選項得，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，故與垂直的單位向量的坐標為或，故D正確．故選：ABD．11. 如圖，空間四邊形中，分別是邊，的中點，分別在線段上，且滿足，，，則下列說法正確的是（    ）A. 當時，四邊形是矩形B. 當時，四邊形是梯形C. 當時，四邊形是空間四邊形D. 當時，直線相交于一點【答案】BC【解析】【分析】利用三角形的中位線和相似比結(jié)合平行四邊形和梯形的判定判斷AB，利用異面直線的概念判斷C，假設(shè)直線相交于一點，利用線面平行的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】選項A：在中，因為分別是邊，的中點，所以且，當時，分別為中點，所以在中可得且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，又分別為中點，所以，又，當時有，平行四邊形為矩形，所以四邊形不一定是矩形，A錯誤；選項B：當時，，所以，且，則由A可知且，所以四邊形是梯形，B正確；選項C：當時，不平行于，又因為平面，平面，所以是異面直線，四邊形是空間四邊形，C正確；選項D：不妨設(shè)直線相交于一點，因為，平面，平面，所以平面，又因為直線相交于點，所以平面，因為平面平面，所以，所以可得，矛盾，D錯誤；故選：BC12. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的有（    ）A.  B. C. 的最小值為 D. 的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】對于A：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可；對于B：利用余弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可；對于C：根據(jù)題意利用三角恒等變換整理得，結(jié)合基本不等式分析運算；對于D：根據(jù)題意利用正弦定理整理可得，分析運算即可.【詳解】對于A：∵，由正弦定理可得，即，則，注意到，則，可得，則，所以或（舍去），即，故A正確；對于B：由選項A可得，則，由正弦定理可得，由余弦定理可得，整理得，故B錯誤；對于D：∵，則，解得，可得，由正弦定理可得：，∵，則，可得，故D錯誤；對于C：∵，則，即，當且僅當，即時等號成立，故C正確；故選：AC【點睛】方法定睛：與解三角形有關(guān)的交匯問題的關(guān)注點(1)根據(jù)條件恰當選擇正弦、余弦定理完成邊角互化．(2)結(jié)合內(nèi)角和定理、面積公式等，靈活運用三角恒等變換公式．非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13. 《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了：已知三角形三邊、、求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即：.即有滿足，，，且的面積__________.【答案】##【解析】【分析】將、、代入公式計算.【詳解】因為，，，則.故答案為：.14. 長方體的所有頂點都在一個球面上，長、寬、高分別為3，2，1，則該球的表面積是__________.【答案】【解析】【分析】先通過長方體的體對角線求出外接球的半徑，再用球的表面積公式求解即可.【詳解】由已知可得長方體的外接球半徑為，則該球的表面積是.故答案為：.15. 如圖，一座垂直建于地面的信號發(fā)射塔CD的高度為，地面上一人在A點觀察該信號塔頂部，仰角為，沿直線步行后在點觀察塔頂，仰角為，若，此人的身高忽略不計，則他的步行速度為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，在中，利用余弦定理求，即可得結(jié)果.【詳解】在Rt中，，則；在Rt中，，則；在中，由余弦定理，可得，所以步行速度為為.故答案為：.16. 在銳角中，，，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】以為原點，建立平面直角坐標系，根據(jù)題意得到，設(shè)，由，求得，且，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：以為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，且，即，即，可得，設(shè)，因為為銳角三角形，所以，所以，過點作，且若，可得，即，即點在線段上（不包含端點），即，又由，所以，即的取值范圍為.故答案：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知向量，，.（1）求的值；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的運算展開計算即可；（2）先通過，求出，，然后代入計算即可.【小問1詳解】，，，；【小問2詳解】，，.18. 已知三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求角A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）通過條件得到，再通過向量的坐標運算計算，然后利用正弦定理邊化角整理可得答案；（2）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面積公式求面積.【小問1詳解】，，，，由正弦定理得，又，，，又，；【小問2詳解】由余弦定理，解得，負值舍去，.19. 如圖，在三棱柱中，若G，H分別是線段AC，DF的中點.  （1）求證：；（2）在線段CD上是否存在一點，使得平面平面BCF，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見詳解    （2）存在，P是線段CD的中點，【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合線面、面面平行的判定定理分析證明.【小問1詳解】連接，∵為平行四邊形，由題意可得：G是線段BD的中點，則G，H分別是線段BD，DF的中點，故.【小問2詳解】存在，P是線段CD的中點，理由如下：由（1）可知：，平面，平面，∴平面，連接，∵P、H分別是線段CD、DF的中點，則，平面，平面，∴平面，，面，故平面平面BCF.20. 如圖，直角梯形ABCD中，，，，，.且，.（1）若是MN的中點，證明：A，G，C三點共線；（2）若P為CB邊上的動點（包括端點），求的最小值.【答案】（1）證明見詳解    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合向量共線的判定定理分析證明；（2）建系，根據(jù)平面向量的坐標運算整理得，再結(jié)合二次函數(shù)求最值.【小問1詳解】以為基底向量，則，∵是MN的中點，則，可得，故A，G，C三點共線【小問2詳解】過作，垂足為，則為矩形，由題意可得，如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，設(shè)，可得，則，可得，∵開口向上，對稱軸，注意到，∴當時，取到最小值，故的最小值.21. 如圖，在棱長為2的正方體中，P，Q分別是棱，的中點.（1）若為棱上靠近點的四等分點，求證：平面PQC；（2）若平面PQC與直線交于點，求平面PRQC將正方體分割成的上、下兩部分的體積之比.（不必說明畫法與理由）.【答案】（1）證明見詳解    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得滿足，再結(jié)合臺體體積公式運算求解.【小問1詳解】取的中點，連接，設(shè)，連接，由題意可得：，且，則為的中點，可得，且，即，且，∵Q是棱的中點，則，且，可得，且，∴為平行四邊形，則，平面PQC，平面PQC，故平面PQC.【小問2詳解】取的中點，連接，∵P，F分別是棱，的中點，則，且，又∵，且，則，且，即為平行四邊形，則，∵平面平面，且平面平面，平面平面，則，故，又∵Q是棱的中點，則為的中點，即，由題意可知：為臺體，可得，則臺體的體積為，正方體的體積，故平面PRQC將正方體分割成的上、下兩部分的體積之比.22. 在①，②，③，三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.）在銳角中，的面積為S，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且選條件：________.（1）求角A的大小；（2）作（A，D位于直線BC異側(cè)），使得四邊形ABDC滿足，，求AC的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）選①可根據(jù)正弦定理邊化角和三角形中的誘導公式化簡計算；選②可根據(jù)正弦定理角化邊和余弦定理化簡計算；選③根據(jù)向量乘積展開式和正弦定理的面積公式進行化簡計算；（2）設(shè)，將所有未知角用表示，再用正弦定理將AC表示出來進行化簡，最后根據(jù)的范圍求出AC的最大值.【小問1詳解】選①根據(jù)正弦定理可知：，展開化簡得，故，即；選②根據(jù)正弦定理可得：，根據(jù)余弦定理可得：，即；選③根據(jù)向量點乘運算可得：，即.【小問2詳解】如圖，設(shè)，則，在中，由正弦定理得可得，，在中，由正弦定理得：可得，，因為是銳角三角形，所以所以當時，可得的最大值是.