A卷
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．-2023的絕對值是（ ）
A．B．C．2023D．-2023
【答案】C
【分析】直接利用絕對值的定義得出答案．
【詳解】解：-2023的絕對值是2023．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對值，正確掌握負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．我國倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國與世界一些國家的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝跒?400000000人，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】絕對值大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示一般形式為，n為整數(shù)位數(shù)減1，據(jù)此即可解答．
【詳解】解：
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的數(shù)，一般形式為，其中，n為整數(shù)位數(shù)減1，熟知科學(xué)記數(shù)法的一般形式，準(zhǔn)確確定a、n的值是解題關(guān)鍵．
3．下列各式計(jì)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式，完全平方公進(jìn)行計(jì)算可得出答案．
【詳解】解：A、，原計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，原計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，原計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則和乘法公式是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，是線段上一點(diǎn)，分別以、為邊長在同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，聯(lián)結(jié)，分別交于M，交于．若，則（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】證明△BCE≌△ACD得出，然后證明△CME≌△CND得出，即可求解．
【詳解】解：∵等邊三角形和等邊三角形
∴，，，
∴，
∴,
∴，
∵，，
∴△CME≌△CND ，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
5．小明為了解本班同學(xué)一周的課外閱讀量，隨機(jī)抽取班上15名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖），則下列說法正確的是（ ）
A．中位數(shù)是3B．眾數(shù)是6C．平均數(shù)是D．方差是
【答案】D
【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，求出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，方差，即可做出判斷．
【詳解】解：15名同學(xué)一周的課外閱讀量為0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
中位數(shù)為2本；
平均數(shù)為（本）；
眾數(shù)為2本；
方差為：；
∴A，B，C不符合題意，D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的含義與計(jì)算，熟記概念與計(jì)算方法是解本題的關(guān)鍵．
6．如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，是的直徑，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，先得出，再求出的度數(shù)的度數(shù)，從而得出的度數(shù)，即可求解．
【詳解】解：連接，
是直徑，
，
五邊形是的內(nèi)接正五邊形，
的度數(shù)的度數(shù)，
，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角相等，直徑所對的圓周角為直角．
7．《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思是：走路快的人走100步時，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？設(shè)走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人走了y步，則可列方程組為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)設(shè)走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人又走了y步，根據(jù)走路快的人走100步的時候，走路慢的才走了60步可得走路快的人與走路慢的人速度比為100：60，利用走路快的人追上走路慢的人時，兩人所走的步數(shù)相等列出方程組，然后根據(jù)等式的性質(zhì)變形即可求解．
【詳解】解：設(shè)走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此時走路慢的人又走了y步，
根據(jù)題意，得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是理解題意找到等量關(guān)系．
8．如圖為二次函數(shù)（）的圖象，則下列說法：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的開口方向確定a的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸的位置判斷②；根據(jù)時對應(yīng)y的符號判斷③；根據(jù)二次函數(shù)圖象落在x軸上方的部分對應(yīng)的自變量x的取值，判斷④．
【詳解】解：①圖象開口向下，可知 ，故①正確；
②對稱軸在y軸右側(cè)， ，則有，即，故②正確；
③當(dāng)時，，則，故③正確；
④由圖可知，當(dāng)，，故④正確．
綜上可知正確的有4個，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷出對稱軸的位置是解題的關(guān)鍵．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
9．若是一個完全平方式，則_________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出的值．
【詳解】解：∵
∴
即
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)D，與直角邊相交于點(diǎn)C．若的面積為6，則k的值為______．
【答案】4
【分析】過D點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于E點(diǎn)，可得到四邊形和的面積相等，通過面積轉(zhuǎn)化，可求出k的值．
【詳解】解：過D點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于E點(diǎn)，
∵△ODE的面積和△OAC的面積相等．
∴的面積和四邊形的面積相等且為6．
設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)就為，
∵D為的中點(diǎn)．
∴，
∴四邊形的面積可表示為：，
∴．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．
11．如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，面積比為，，，，則點(diǎn)C坐標(biāo)為______．
【答案】
【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得出，利用直角三角形斜邊的中線性質(zhì)求出，進(jìn)而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵△OAB與△OCD位似，，面積比為，
∴，
∴，，
∴．
連接，
∵，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．
12．若關(guān)于的方程有增根，則的值是______．
【答案】2
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．
【詳解】解：分式方程變形得：，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
13．如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，分別交邊、于點(diǎn)、；②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心、大于一半的長為半徑作圓弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)；③作射線交邊于點(diǎn)．若，則的大小為______度．
【答案】30
【分析】先判斷，再證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】解：由題意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的作圖，相似三角形的性質(zhì)，熟悉角平分線的作圖步驟與相似三角形的對應(yīng)角相等是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共5個小題，共48分）
14．（12分）（1）計(jì)算：．
【答案】3
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角度的三角函數(shù)值，絕對值化簡規(guī)則依次計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：原式
【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角銳角函數(shù)值的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（2）求不等式組的正整數(shù)解．
【答案】正整數(shù)解：1，2，3，4，5
【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法可進(jìn)行求解．
【詳解】解：
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式組的解集為；
∴該不等式組的正整數(shù)解為1，2，3，4，5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．
15．（8分）2022年10月12日下午，宇宙最牛網(wǎng)課“天宮課堂”上線了，新晉“太空講師”陳冬，劉洋，蔡旭哲為廣大青少年帶來一場精彩的太空科普課．這是中國航天員首次在問天實(shí)驗(yàn)艙內(nèi)進(jìn)行授課．某中學(xué)為了解學(xué)生對“航空航天知識”的掌握情況，從七，八年級兩個年級各隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，將學(xué)生成績（單位：分）分為5組（A．；B．；C．；D．；E．），并對成績進(jìn)行整理，分析，部分信息如下：
七年級航空航天知識測試成績扇形統(tǒng)計(jì)圖
八年級航空航天知識測試成績頻數(shù)分布表
將八年級在B組的得分按從小到大的順序排列，前10個數(shù)據(jù)如下：
81，81，81，82，82，83，83，83，83，83
七，八年級航空航天知識測試成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如下表：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)__________，__________；
(2)八年級小宇同學(xué)的測試成績是81分．小凡說：“小宇的成績高于平均分，所以小宇的成績高于一半學(xué)生的成績．”你認(rèn)為小凡的說法正確嗎？請說明理由；
(3)心夢同學(xué)是八年級四名滿分的學(xué)生中的一位，學(xué)校將從滿分的學(xué)生中任選2人，參加區(qū)舉辦的知識競賽，請用列表法或畫樹狀圖，求心夢同學(xué)被選中參加區(qū)知識競賽的概率．
【答案】(1)18，82.5;(2)不正確，理由見解析;
(3)心夢同學(xué)被選中參加區(qū)知識競賽的概率為，圖見解析
【分析】（1）根據(jù)百分比之和為1可得的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值；
（2）根據(jù)小宇的成績與中位數(shù)的大小關(guān)系即可得到答案；
（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖，由圖可知共有12種等可能的情況，其中心夢被選中參加區(qū)知識競賽的有6種，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
由中位數(shù)的定義可知，，
故答案為：18，82.5；
（2）解：小凡的說法不正確，
理由：因?yàn)榘四昙壭∮畹某煽兪?1分低于中位數(shù)82.5分，
所以小宇的成績不可能高于一半學(xué)生的成績；
（3）解：心夢用A表示，其他3名同學(xué)分別用B，C，D表示，
根據(jù)題意畫圖如下：
共有12種等可能的情況，其中心夢被選中參加區(qū)知識競賽的有6種，
則心夢被選中參加區(qū)知識競賽的概率是．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表、求中位數(shù)以及中位數(shù)的意義、用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握中位數(shù)的求法及其意義，畫出樹狀圖找出所有等可能的結(jié)果以及滿足條件的結(jié)果從而求概率，是解題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用能力．
16．（8分）為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，他們在河南岸的點(diǎn)處測得河北岸的樹恰好在的正北方向．測量方案與數(shù)據(jù)如下表：
(1)哪個小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算出河寬？
(2)請選擇其中一個方案及其數(shù)據(jù)求出河寬（精確到）；（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
(3)計(jì)算的結(jié)果和實(shí)際河寬有誤差，請?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理化建議．
【答案】(1)第二組
(2)第一個小組的解法，河寬約為；第三個小組的解法：河寬為；
(3)①在測量前先校準(zhǔn)測量儀器，消除測量系統(tǒng)誤差；②注意測量儀器的使用環(huán)境要求，如溫度、濕度、氣壓等等。確保測量在最佳環(huán)境下進(jìn)行；③確保測量過程和數(shù)據(jù)讀取的正確，應(yīng)嚴(yán)格遵循測量標(biāo)準(zhǔn)或測量儀器的要求；④對每個數(shù)據(jù)應(yīng)多次測量，并求平均值和方差，減小測量過程中的隨機(jī)誤差．
【分析】（1）第二個小組的數(shù)據(jù)無法計(jì)算河寬；根據(jù)中，由，可求∠AHB，只有角之間關(guān)系，沒有線段的長度，而且與沒有聯(lián)系可得無法求出河寬；
（2）第一個小組的解法，在中， ，在中，，根據(jù)列方程即可求解；
第三個小組：在中，，在中，，根據(jù)，構(gòu)建方程求解即可．
（3）①在測量前先校準(zhǔn)測量儀器，消除測量系統(tǒng)誤差；
②注意測量儀器的使用環(huán)境要求，如溫度、濕度、氣壓等等。確保測量在最佳環(huán)境下進(jìn)行；
③確保測量過程和數(shù)據(jù)讀取的正確，應(yīng)嚴(yán)格遵循測量標(biāo)準(zhǔn)或測量儀器的要求；
④對每個數(shù)據(jù)應(yīng)多次測量，并求平均值和方差，減小測量過程中的隨機(jī)誤差
【詳解】（1）解：第二小組，∵中，由，可求，只有角之間關(guān)系，沒有線段的關(guān)系量，無具體長度，而且與沒有聯(lián)系，無法求出河寬；
（2）第一個小組的解法，
在中， ，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：河寬約為；
第三個小組的解法：
∵，
∴在中，，在中，，
∵，
∴，即，
解得，
答：河寬為；
（3）①在測量前先校準(zhǔn)測量儀器，消除測量系統(tǒng)誤差；
②注意測量儀器的使用環(huán)境要求，如溫度、濕度、氣壓等等。確保測量在最佳環(huán)境下進(jìn)行；
③確保測量過程和數(shù)據(jù)讀取的正確，應(yīng)嚴(yán)格遵循測量標(biāo)準(zhǔn)或測量儀器的要求；
④對每個數(shù)據(jù)應(yīng)多次測量，并求平均值和方差，減小測量過程中的隨機(jī)誤差．
【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解直角三角形的的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
17．（18分）如圖，菱形，為對角線，過A、B、C三個頂點(diǎn)作⊙O，邊與⊙O相切于A，直徑交于G，延長交于F，連接交于M．
(1)求證：與⊙O相切；(2)求的值．
【答案】(1)見解析；(2)
【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，即，由菱形的性質(zhì)可得，從而可得，由圓的性質(zhì)可得，從而可得，可得，即，即可證明；
（2）由切線的性質(zhì)可得，由菱形性質(zhì)可得，從而可得，即，可得，可證得，可得，即為等邊三角形，可得，由圓周角定理可得，可得，由菱形性質(zhì)可得，從而可得，可得，從而可得，可證得，，可得，設(shè)，可得，，從而可得，，，即可求得．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵邊與⊙O相切于A，
∴，
即，
∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵為半徑，
∴與⊙O相切；
（2）∵邊與⊙O相切于A，
∴，
∵四邊形為菱形，
∴，，，
∴，
即，
∵為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
設(shè)，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練利用各個知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性．
18．（10分）如圖，直線與雙曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為C．
(1)求直線和雙曲線的解析式；
(2)連接，求的面積．
(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使的值最大，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；(2)；(3)
【分析】（1）把點(diǎn)代入反比例函數(shù)，求出反比例函數(shù)解析式，把代入反比例函數(shù)解析式求出n，再將A、B代入一次函數(shù)解析式，解方程求出解析式即可；
（2）根據(jù)題意求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式求解即可；
（3）作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，,根據(jù)對稱性和三角形三邊
的關(guān)系可知當(dāng)A、、P三點(diǎn)共線時，有最大值，利用A、坐標(biāo)求出直線解析式，求出x軸交點(diǎn)，即為所求．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入
得：，
∴，
∴雙曲線的解析式為，
把點(diǎn)代入得，，
∴，
把A，B代入得
，
解得：，，
∴直線的解析式為；
（2）解：作軸，交延長線于D，
∵，軸，垂足為C
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴．
∵，
∴
∴的面積．
（3）解：如圖：在x軸上任取一點(diǎn)P，
作點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，
連接，，
根據(jù)對稱性和三角形三邊的關(guān)系得：
當(dāng)A、、P三點(diǎn)共線時，
有最大值，為：
設(shè)過、的直線解析式為：
，
則：
，
解得：
直線的解析式為；
當(dāng)時解得：
，
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比函數(shù)得交點(diǎn)與解析式問題，還考查了三角形三邊之間的關(guān)系；利用代入法正確求函數(shù)解析式、根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出點(diǎn)的位置是解題得關(guān)鍵．
B卷
一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
19．已知，且，則的值為 _____．
【答案】
【分析】利用完全平方公式，得，利用這個公式變形即可得出答案．
【詳解】解：由，去分母，得
，
則
∵
∴原式
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，熟記公式的幾個變形公式是解題的關(guān)鍵．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，則k的值是_____．
【答案】-2或
【分析】先由x12-2x1+2x2=x1x2，得出x1-2=0或x1-x2=0，再分兩種情況進(jìn)行討論：①如果x1-2=0，將x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，解方程求出k=-2；②如果x1-x2=0，那么△=0，解方程即可求解．
【詳解】∵x12-2x1+2x2=x1x2，
x12-2x1+2x2-x1x2=0，
x1（x1-2）-x2（x1-2）=0，
（x1-2）（x1-x2）=0，
∴x1-2=0或x1-x2=0．
①如果x1-2=0，那么x1=2，
將x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，
得4+2（2k+1）+k2-2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=-2；
②如果x1-x2=0，
則△=（2k+1）2-4（k2-2）=0．
解得： ，
∴k的值為-2或．
故答案為：-2或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，注意在利用根與系數(shù)的關(guān)系時，需用判別式進(jìn)行檢驗(yàn)．
21．如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形．連結(jié)交、于點(diǎn)、．若平分，現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為________．
【答案】
【分析】求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，即可得到針尖落在陰影區(qū)域的概率．
【詳解】解：如圖，連接EG交BD于點(diǎn)P，
∵平分，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四邊形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可證△BGC≌△BGN（ASA），
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
設(shè)EM＝EP＝x，則EG＝2EP＝2x
在Rt△EFG中，∠EFG＝45°，
∴FG＝EG×sin45°＝
∵△BFA≌△AED≌△CGB
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED，
在Rt△BCG中，
∴＝
∴
∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的面積、直角三角形的面積等知識點(diǎn)，求出陰影面積與正方形的面積的比是解答此題的關(guān)鍵．
22．如圖，是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖，水面寬與橋長均為，在距離點(diǎn)的處，測得橋面到橋拱的距離為，以橋拱頂點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面為軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖，橋面上方有根高度均為的支柱、、，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為，下面結(jié)論正確的是______填寫正確結(jié)論序號．
①圖拋物線型拱橋的函數(shù)表達(dá)式．
②圖右邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
③圖左邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
④圖在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，彩帶長度的最小值是．
【答案】①②③④
【分析】①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算求解；②由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；③用與②相同的方法即可求出函數(shù)解析式；④彩帶的長度為，利用，由函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達(dá)式為：，
將代入有：，
解得，
，故正確；
由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)其表達(dá)式為，
將代入其表達(dá)式有：，
解得，
右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：，故正確；
同理可知，正確；
設(shè)彩帶的長度為，
則．
，
當(dāng)時，最小，最小值為．故正確．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解決此類型題一般先根據(jù)題意設(shè)出適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)表達(dá)式（一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式），再結(jié)合實(shí)際和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．
23．如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，M、N為、上的動點(diǎn)，且，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】先將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，得到，可證得，然后將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，，可證得，從而得解．
【詳解】解：如圖1，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，則， ，
，，
是等邊三角形，，，
，
，
，
如圖2，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，則，，
，，
是等邊三角形，，
，
，
則的最小值為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)，兩次利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
二、解答題（本大題共3個小題，共30分）
24．（8分）我校八年級組織“義賣活動”，某班計(jì)劃從批發(fā)店購進(jìn)甲、乙兩種盲盒，已知甲盲盒每件進(jìn)價比乙盲盒少5元，若購進(jìn)甲盲盒30件，乙盲盒20件，則費(fèi)用為600元．
(1)求甲、乙兩種盲盒的每件進(jìn)價分別是多少元？
(2)該班計(jì)劃購進(jìn)盲盒總費(fèi)用不超過2200元，且甲、乙盲盒每件售價分別為18元和25元．
①若準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種盲盒共200件，且全部售出，則甲盲盒為多少件時，所獲得總利潤最大？最大利潤為多少元？
②因批發(fā)店庫存有限（如下表），商家推薦進(jìn)價為12元的丙盲盒可供選擇．經(jīng)討論，該班決定購進(jìn)三種盲盒，其中庫存的甲盲盒全部購進(jìn)，并將丙盲盒的每件售價定為22元．請你結(jié)合方案評價表給出一種乙、丙盲盒購進(jìn)數(shù)量方案．
【答案】(1)甲盲盒的每件進(jìn)價是10元，乙盲盒的每件進(jìn)價是15元
(2)①當(dāng)甲盲盒為160件時，所獲得總利潤最大，最大利潤為1680元 ②6，92
【分析】（1）設(shè)甲盲盒的每件進(jìn)價是x元，則乙盲盒的每件進(jìn)價是（x+5）元，根據(jù)題意可得，求解即可得甲、乙兩種盲盒每件進(jìn)價；
（2）①設(shè)購進(jìn)甲盲盒m件（），則購進(jìn)乙盲盒（200-m）件，售出所得利潤為元，根據(jù)購進(jìn)盲盒總費(fèi)用不超過2200元，列不等式并求解可得，則盲盒售出后總利潤，由一次函數(shù)的性質(zhì)即可獲得答案；②設(shè)購進(jìn)乙盲盒a件 ，購進(jìn)丙盲盒b件，根據(jù)購進(jìn)盲盒總費(fèi)用不超過2200元，可得 ，設(shè)全部售出所獲得利潤為元，則，即可獲得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)甲盲盒的每件進(jìn)價是x元，則乙盲盒的每件進(jìn)價是（x+5）元，
根據(jù)題意，可得 ，
解得元，則元，
所以，甲盲盒的每件進(jìn)價是10元，乙盲盒的每件進(jìn)價是15元；
（2）解：①設(shè)購進(jìn)甲盲盒m件（），則購進(jìn)乙盲盒（200-m）件，售出所得利潤為元，
根據(jù)題意，購進(jìn)盲盒總費(fèi)用不超過2200元，
可得 ，
解得 ，
∴，
∵甲、乙盲盒每件售價分別為18元和25元，
∴，
∵，
∴隨m的增大而減小，
∴當(dāng)時，有元，
答：當(dāng)甲盲盒為160件時，所獲得總利潤最大，最大利潤,1680元；
②設(shè)購進(jìn)乙盲盒a件 ，購進(jìn)丙盲盒b件，
根據(jù)題意，購進(jìn)盲盒總費(fèi)用不超過2200元，
∴，
∴，
設(shè)全部售出所獲得利潤為元，
則，
∴，
∴當(dāng)時，可取最大值，，
此時，，
∴，
∵a為正整數(shù)，
∴，
∴購進(jìn)乙盲盒6件，購進(jìn)丙盲盒92件時，盲盒全部售出所得利潤最大，且購進(jìn)費(fèi)用相對最少．
故答案為：6，92．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確列出所需方程、不等式以及函數(shù)關(guān)系式．
25．（10分）已知：如圖，拋物線（）交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若為拋物線上一點(diǎn)，連接、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），的面積為，求與函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是第二象限拋物線上一點(diǎn)，，
，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1);(2);(3)
【分析】（1）先求出一次函數(shù)解析式，再將E點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m即可；
（2）利用梯形的面積減去兩個直角三角形的面積即可；
（3）先求出直線AQ的解析式，再設(shè)出M、N的坐標(biāo)，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
∴，
將代入中得，
∴
∵，
將代入得，
解得：，
∴拋物線的解析式為：．
（2）∵，
∴，，
∴
如圖，過Q點(diǎn)作于B，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
， 即．
（3）當(dāng)時，，
∴（正值舍去）
當(dāng)時，，
∴，
設(shè)直線AQ的解析式為：，
∴，∴，
∴，
如圖，分別過Q點(diǎn)、N點(diǎn)作x軸的垂線，分別與過A點(diǎn)、M點(diǎn)作的x軸的平行線分別交于點(diǎn)K、點(diǎn)H，過M點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)，，
∴，
，
，
，
∴，
∴（負(fù)值舍去），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)、三角形面積問題等知識，設(shè)計(jì)到了全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、二元一次方程組等知識，解題關(guān)鍵是理解圖形、能構(gòu)造全等三角形．
26．（12分）[發(fā)現(xiàn)]如圖，在中，，，點(diǎn)在斜邊上、點(diǎn)在直角邊上，若．求證：；
探究如圖．在矩形中，，．點(diǎn)在上，連接，過點(diǎn)作交（或的延長線）于點(diǎn)．
（1）若．求的長；
（2）若點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，求的長；
拓展如圖，在矩形中，，．點(diǎn)在上，且．已知，將繞點(diǎn)從在上時開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)．交邊（或）于點(diǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)至上時，的旋轉(zhuǎn)隨即停止，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是請說明理由．

【答案】發(fā)現(xiàn)：見解析；探究：（1）；（2）的長或；拓展：的值是定值，，理由見解析
【分析】發(fā)現(xiàn)：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)的得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可證明；
探究：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而證明，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可得出；
（2）若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合，即，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出方程，解方程即可求解；
拓展：①當(dāng)交于，交于時，過點(diǎn)作于，證明，②當(dāng)交于，交于時，過點(diǎn)作于，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：∵在中，，
∴，
∵ ，，
又，
∴，
∴，
探究：（1）∵在矩形中，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，，
即，
∴；
（2）若點(diǎn)F恰好與點(diǎn)D重合，即，
∴，
設(shè)，則，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴BE的長或．
拓展：的值是定值．
①當(dāng)交于，交于時，過點(diǎn)作于，則，
∵，，
∴由（2）證明過程可得，
∴；
②當(dāng)交于，交于時，過點(diǎn)作于，則，
同理可證，
∴，
∴的值是定值，且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵，還考查了解一元二次方程．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
A
D
B
A
D
組別
A
B
C
D
E
成績（分）
頻數(shù)
15
30
10
5
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
75
79
80
八年級
78
83
課題
測量河流寬度
測量工具
測量角度的儀器，皮尺等
測量小組
第一小組
第二小組
第三小組
測量方案示意圖
說明
點(diǎn)，在點(diǎn)的正東方向
點(diǎn)，在點(diǎn)的正東方向
點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正西方向
測量數(shù)據(jù)
，，．
，，．
，，．
方案評價表
方案等級
評價標(biāo)準(zhǔn)
評分
合格方案
僅滿足購進(jìn)費(fèi)用不超額
1分
良好方案
盲盒全部售出所得利潤最大，且購進(jìn)費(fèi)用不超額
3分
優(yōu)秀方案
盲盒全部售出所得利潤最大，且購進(jìn)費(fèi)用相對最少
4分
盲盒類型
甲
乙
丙
批發(fā)店的庫存量（件）
100
78
92
進(jìn)貨量（件）
100
___________
___________

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