1.角的關(guān)系
2.正弦定理
為的外接圓的直徑）.
正弦定理的應(yīng)用：
已知兩角及一邊求解三角形.
②已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一對(duì)角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（銳角）.
3.余弦定理
（已知兩邊a,b及夾角Ｃ求第三邊c）
（已知三邊求角）.
余弦定理的應(yīng)用：
①已知兩邊及夾角求解第三邊；
已知三邊求角；
③已知兩邊及一邊對(duì)角未知第三邊.
4.三角形面積公式
【典型例題】
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且滿足，則該三角形的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
例3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.且， 在①的周長(zhǎng)為6；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并解答下列問(wèn)題.
（1）求；
（2）求的面積.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答﹐按第一個(gè)解答計(jì)分.
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
例5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在BC邊上，且，，
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求的值.
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別是a，b，c，若角C為銳角，，且，求面積的最大值．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，則等于（ ）
A．或B．或C．D．
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，為武漢市地標(biāo)建筑.某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為的建筑物在它們之間的地面上的點(diǎn)三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂?樓頂?shù)难鼋欠謩e是和在樓頂處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫椋瑒t估算黃鶴樓的高度為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，若a=1，b=，B=60°，則A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，，，，則（ ）
A．B．或C．D．或
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，已知的外接圓半徑為的周長(zhǎng)為則（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，.則的面積為（ ）
A．B．6C．D．
10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，使得三角形有兩解的條件是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A、、所對(duì)的邊分別為、、，其中，，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，，．則( )
A．B．C．D．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，，則的面積為( )
A．B．C．4D．
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，則的面積為（ ）
A．B．1C．2D．4
16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)，若，，則的面積是（ ）
A．3B．C．D．
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，的面積為，則（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則最小內(nèi)角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，則角的大小為（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A，B(如圖)，要測(cè)量A，B兩點(diǎn)的距離，測(cè)量人員在岸邊定出基線BC，測(cè)得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為（ ）．
A．20 mB．30 mC．40 mD．50 m
二、多選題
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列在解三角形的過(guò)程中，只能有1個(gè)解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，則角（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，，，則___________
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_______．
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，的面積，則的外接圓的面積為_(kāi)_________．
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，，則外接圓的面積為_(kāi)_________.
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知外接圓的直徑為d，，，，則___________.
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則最大角等于_________．
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則的面積為_(kāi)_____.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則c的值等于__________
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，，則________.
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為_(kāi)_______.
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為測(cè)量山高.選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得N點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得.已知山高米.則所求山高為_(kāi)__________米.
四、解答題
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中， 分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且
（Ⅰ）求的大??；
（Ⅱ）若，試判斷 的形狀．
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，a＝8，b＝6，csA，求：
（1）角B；
（2）BC邊上的高．
36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，分別為角的對(duì)邊，且.
（1）求；
（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.
38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知角，，所對(duì)邊分別為，，，.
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍.
39．（2022·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知
（1）若，求角A的大??；
（2）若，求的面積．
40．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，且
（1）求的值；
（2）若，，求B和c.
41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從①，②，③，這個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．
問(wèn)題：在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，______．
（1）求；
（2）若，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，滿足為的平分線，且，求的長(zhǎng)．
43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在鈍角中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，.
（1）求的值.
（2）若，，求的面積.
44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面積，，求.
45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B的大??；
（2）從條件①；條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中，，點(diǎn)在邊上，平分.
（1）若，求；
（2）若，且的面積為，求.
47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且滿足，若
（1）求角B；
（2）若周長(zhǎng)為6，求的面積.
48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，.
（1）求；
（2）若，求的面積.
49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面積為，求邊b．
50．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△中，角的對(duì)邊分別為，.
（1）求；
（2）是邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).
51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）若，求的取值范圍．
52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，.
（1）求；
（2）求.
53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形，，為邊上的一點(diǎn)，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為已知，求的面積及的長(zhǎng)．
條件①；條件②；條件③．
54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
55．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，且為的角平分線，，．
（1）求；
（2）若，求四邊形的面積．
56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，中，角成等差數(shù)列，，，為的中點(diǎn).
（1）若，求；
（2）若，記，且，求的值．
57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四邊形ABCD的面積．
58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與現(xiàn)測(cè)得，，米，又在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.
第22講 解三角形
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
1.角的關(guān)系
2.正弦定理
為的外接圓的直徑）.
正弦定理的應(yīng)用：
已知兩角及一邊求解三角形.
②已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一對(duì)角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（銳角）.
3.余弦定理
（已知兩邊a,b及夾角Ｃ求第三邊c）
（已知三邊求角）.
余弦定理的應(yīng)用：
①已知兩邊及夾角求解第三邊；
已知三邊求角；
③已知兩邊及一邊對(duì)角未知第三邊.
4.三角形面積公式
【典型例題】
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，，若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)檫@個(gè)三角形有兩解，故滿足，
即，解得.
故選：B
例2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且滿足，則該三角形的形狀是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】C
【詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以或，
即(舍去)或，
故為直角三角形，
故選：C
例3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.且， 在①的周長(zhǎng)為6；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并解答下列問(wèn)題.
（1）求；
（2）求的面積.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答﹐按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】
（1）由正弦定理及
得，即，
由余弦定理得，
由于，所以
（2）選①:由的周長(zhǎng)為，得，
由（1）得
所以，
所以的面積為.
選②:由正弦定理及得，
由余弦定理得，，即，解得
所以，
所以的面積為.
選③:由正弦定理及，得，
因?yàn)椋裕?br>所以，即，整理可得，
因?yàn)?，則，所以為等邊三角形，
所以的面積為.
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【詳解】
（1）由角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，．
例5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在BC邊上，且，，
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求的值.
【詳解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由題意可得，
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別是a，b，c，若角C為銳角，，且，求面積的最大值．
【詳解】
解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函數(shù)的值域?yàn)椋?
（Ⅱ）由，有，
為銳角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
當(dāng)，即為正三角形時(shí)，的面積有最大值．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知條件，結(jié)合正弦定理得，有或，即可知正確選項(xiàng).
【詳解】
由知：，即，
∴，即或，
∴或，
故選：D
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)面積公式及余弦定理求出，以及根據(jù)正弦定理變形，進(jìn)一步求出答案.
【詳解】
∴
∴，
∴
∴.
故選：A.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.
【詳解】
由題，,
又，，，
故選：A.
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，則等于（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【詳解】
由正弦定理知，
∴，
∵，，∴或.
故選：A.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，為武漢市地標(biāo)建筑.某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為的建筑物在它們之間的地面上的點(diǎn)三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂?樓頂?shù)难鼋欠謩e是和在樓頂處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則估算黃鶴樓的高度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分別在，及應(yīng)用正弦定理求解.
【詳解】
在中，則
在中，因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)椋?，?
故選：C.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，若a=1，b=，B=60°，則A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【答案】A
【分析】
根據(jù)正弦定理的式子，代入題中數(shù)據(jù)算出，結(jié)合△ABC中A

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新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第19講復(fù)數(shù)(原卷版+解析)

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新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義第01講集合(原卷版+解析)

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第22講 解三角形-2023年新高考藝術(shù)生突破數(shù)學(xué)90分講義

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