注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號涂寫在答題卡上．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．
2．回答第Ⅰ卷時選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
3．答題Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4，考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，且，則（ ）
A．0或1B．C．0或D．0
3．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知南方某個地區(qū)的居民身高大致服從正態(tài)分布，單位．若身高在的概率為0.6，則從該地區(qū)任選一人，其身高高于166的概率為（ ）
A．0.1B．0.2C．0.35D．0.15
5．函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．0C．D．
7．已知向量滿足，且，則向量的夾角為（ ）
A．B．C．D．
8．1024的所有正因數(shù)之和為（ ）
A．1023B．1024C．2047D．2048
9．如圖所示的曲線為函數(shù)的部分圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個單位長度．得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
10．設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
11．在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
12．若在上恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題-21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22題-第23題為選考題，考生根據(jù)需求作答．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設(shè)，則______．
14．若的展開式中的系數(shù)為40，則實數(shù)______．
15．在平面直角坐標系內(nèi)，若直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．
16．《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如下圖，羨除中，底面是正方形，平面和均為等邊三角形，且，則該幾何體外接球的體積為______．
三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（一）必考題：共60分．
17．已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，是公比為3的等比數(shù)列，且．
（1）求和的通項公式；
（2）記為數(shù)列的前項和，，求的前項和．
18．對于函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱為的不動點．已知函數(shù)．
（1）當時，求證：；
（2）當時，求函數(shù)的不動點的個數(shù)．
19．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是正方形，為的中點，二面角的大小是．
（1）求證：平面平面；
（2）線段上是否存在一個點，使直線與平面所成角的正弦值為．若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
20．某游戲公司設(shè)計了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如下表：
計算得到一些統(tǒng)計量的值為：，其中．
（1）若用模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的回歸方程；
（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過，可獲得3分并進入下一關(guān)，否則獲得-1分且該輪游戲結(jié)束．甲通過練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面3關(guān)能在平均時間內(nèi)通過的概率均為，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為．
21．已知分別是橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩個不同的點與不重合．
（1）求橢圓的焦距和離心率；
（2）若點在以線段為直徑的圓上，求的值；
（3）若，設(shè)為坐標原點，直線分別交軸于點，當且時，求的取值范圍．
（二）選考題：共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做第一題計分．
22．在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，已知曲線，過點的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點．
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）若成等比數(shù)列，求的值．
23．已知函數(shù)．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
關(guān)卡
1
2
3
4
5
6
平均過關(guān)時間（單位：秒）
50
78
124
121
137
352
高三二模理數(shù) 參考答案
一、選擇題
二、填空題
13． 14．3 15． 16．
三、解答題
17．（1）
解得
（2）
18．（1）當時，
（當且僅當，即時取等號）．
在上單調(diào)遞增
（2）當時，
由題知，即
設(shè)，則
，
在上有唯一零點
又
在有唯一零點
綜上所述，有兩個不動點
19．（1）為的中點，
又
又平面
又平面平面平面
（2）存在點，證明如下．
以為原點，為軸，為軸，過點且與平面垂直的射線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
設(shè)，平面的法向量為，
則
解得或（舍）
，即點存在，且為的中點
20．（1），即
，即
（2）可取8，11，14，18
，
，
故“甲獲得的積分”的分布列為：
故“甲獲得的積分”的期望為：
21．（1）焦距，離心率
（2）令且
聯(lián)立得：
由韋達定理得：
由題知
又當時，過右頂點，故舍去，所以
（3）由（2）可知：
（*）
代入（*）得：
22．（1）C：
（2）直線的標準參數(shù)方程為：（為參數(shù)）
代入曲線的直線坐標方程得：
由韋達定理得：
成等比數(shù)列
，即，解得：
23．（1）
①當時，
②當時，
③當時，
綜上所述：
（2）由題知，即在上恒成立
，即，即在上恒成立．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
B
A
C
A
C
D
D
B
C
-
0
+
8
11
14
18

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