一、單選題
1．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
2．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
3．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
4．設(shè)，且是第二象限的角，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
5．函數(shù)和的圖像在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】B
6．已知函數(shù)滿足，，則等于（ ）
A．0B．2C．8D．不確定
【答案】C
7．已知等比數(shù)列滿足，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
8．已知，若在區(qū)間上單調(diào)時(shí)，的取值集合為，對(duì)不等式恒成立時(shí)，的取值集合為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，、是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．-2B．0C．-3D．-4
【答案】C
10．等差數(shù)列的公差不為0，是其前項(xiàng)和，給出下列命題：
①若，且，則和都是中的最大項(xiàng)；
②給定，對(duì)一切，都有；
③若，則中一定有最小項(xiàng)；
④存在，使得和同號(hào).
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
11．已知函數(shù)滿足，且，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．0個(gè)
【答案】B
12．中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.如圖，是利用算籌表示1-9的一種方法.則據(jù)此，3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1-9這9數(shù)字表示的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．13C．16D．18
【答案】C
二、填空題
13．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_______.
【答案】5
14．如圖，在等腰梯形中，，，于點(diǎn)，如果選擇向量與作基底，則可用該基底表示為_(kāi)_____.
【答案】
15．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得份量成等差數(shù)列，且較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為_(kāi)__.
【答案】
16．已知常數(shù)，函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，，若，則的值是______.
【答案】
三、解答題
17．已知函數(shù)，.
（1）若是第二象限角，且，求的值；
（2）求的最大值，及最大值對(duì)應(yīng)的的取值.
【答案】（1）（2）的最大值為3，此時(shí)
（1）
，
，
則，則，
∵是第二象限角，∴，
∴.
（2）
.
當(dāng)時(shí)，取得最大值3，
此時(shí)，即.
18．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）判斷函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性；并求出函數(shù)在上的最大值.
【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（1），
，，切點(diǎn)，
所以切線方程為.
（2），令得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；且，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
19．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）如圖，圓內(nèi)接四邊形的四個(gè)內(nèi)角分別為、、、.若，，，.求的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）
（1）證明.
（2）因?yàn)闉閳A的內(nèi)接四邊形，所以，，，，由此可知：
連接、，設(shè)，由余弦定理可得：
，，
，，
解得，，
那么，，
，.
所以原式.
20．已知函數(shù)，若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，而且.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：.
【答案】(1) (2)見(jiàn)證明
（1）因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，
所以在上有兩個(gè)根，，且，
即在上有兩個(gè)不相等的根，.
所以，
解得，即的取值范圍為.
（2）證明：由題可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，
所以，其中.
故
，
令，其中.故，
所以在上單調(diào)遞減，則，即.
21．給定無(wú)窮數(shù)列，若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，則稱與“接近”.
（1）設(shè)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，判斷數(shù)列是否與接近，并說(shuō)明理由；
（2）已知是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿足：與接近，且在這100個(gè)值中，至少有一半是正數(shù)，求的取值范圍.
【答案】（1）數(shù)列與是接近的，詳見(jiàn)解析（2）
（1）數(shù)列與是接近的.理由如下：
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以，
，所以，，
即數(shù)列與是接近的.
（2）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，若存在數(shù)列滿足：與是接近的，
可得，
①若公差，可取，可得，
則中有100個(gè)正數(shù)，符合題意；
②若公差，取，則，，
，
則中有100個(gè)正數(shù)，符合題意；
③若公差，可令，，
，
則中有50個(gè)正數(shù)，符合題意；
④若公整，若存在數(shù)列滿足：與是接近的，
即為，，
可得，
則中無(wú)正數(shù)，不符合題意；
綜上：的取值范圍是.
22．在極坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直.
（1）設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，用表示；
（2）在以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸的直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若曲線與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的極坐標(biāo)及線段的長(zhǎng)度.
【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析
（1）由已知條件可得：
直線的極坐標(biāo)方程為：，
∵動(dòng)點(diǎn)在直線上，
∴，
∴.
（2）曲線的極坐標(biāo)方程為：，
聯(lián)立曲線與直線解得：或，
∴①當(dāng)時(shí)：，
②當(dāng)時(shí)：.
∴或.
23．已知函數(shù).
(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；
(2)記(1)中的最大值為，正實(shí)數(shù)，滿足，證明: .
【答案】(1)2；(2)詳見(jiàn)解析.
(1)由
得，要使恒成立，只要，
即，實(shí)數(shù)的最大值為；
(2)由(1)知，又
故，
，
，
.

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