注意事項：
1．本卷為試題卷，考生必須在答題卡上解題作答，答案應(yīng)書寫在答題卡的相應(yīng)位置上，在試題卷、草稿紙上作答無效．
2．考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（本大題共15小題，每小題只有一個正確選項，每小題2分，共30分）
1. 《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù)，若表示零上20度，則零下9度記作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查運用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示兩個相反意義的量，零上和零下相對，如果零上為正，那么零下就為負(fù)即可求解，正確理解正、負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：表示零上20度，則零下9度記作，
故選：C．
2. 剪紙藝術(shù)是中國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化．在下列剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是中心對稱圖形的識別．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】解：選項A、B、C中的圖形，都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意．
選項D中的圖形，能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意．
故選：D．
3. 2024 年 3 月 12 日是我國第 46 個植樹節(jié)，昆明市綠化委員會辦公室將緊緊圍繞綠美城市、綠美社區(qū)、綠美鄉(xiāng)鎮(zhèn)、綠美村莊、綠美交通、綠美河湖、綠美校園、綠美園區(qū)、綠美景區(qū)等9個主題組織開展義務(wù)植樹活動，今年全市計劃實施全民義務(wù)植樹11500 000株．?dāng)?shù)據(jù)11 500 000用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，掌握科學(xué)記數(shù)法的形式是解題的關(guān)鍵．
用科學(xué)記數(shù)法表示較大數(shù)時的形式為，其中 ，n為正整數(shù)，確定a的值時，把小數(shù)點放在原數(shù)從左起第一個不是0的數(shù)字后面即可，確定n的值時，n比這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)小1，據(jù)此求解即可．
【詳解】，
故選：B．
4. 如圖，已知，點A，B在直線上，點C在直線b上，，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答．先求出，進(jìn)而利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠2即可．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
5. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，完全平方公式，根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，完全平方公式逐項分析即可.
【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，故選項A不符合題意；
B、，故選項B不符合題意；
C、，故選項C符合題意；
D、，故選項D不符合題意；
故選：C．
6. 如圖，在中，D，E分別為，的中點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，根據(jù)已知得是三角形的中位線，從而可得到，進(jìn)一步得出，從而可出．
【詳解】解：∵D，E分別為，的中點
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
7. 若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)有意義的條件為，列不等式求解，即可解題．
【詳解】解：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，解得，
故選：B．
8. 如圖是一個長方體的主視圖和左視圖，則這個長方體俯視圖的面積為（ ）

A. 6B. 8C. 12D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識．主視圖的矩形的兩邊長表示長方體的長為3，高為4；左視圖的矩形的兩邊長表示長方體的寬為2，高為4；那么俯視圖的矩形的兩邊長表示長方體的長與寬，那么求面積即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，正方體的俯視圖是矩形，它的長是3cm，寬是2cm，
面積，
故選：A．
9. 若正多邊形的一個外角是45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A. 540°B. 720°C. 900°D. 1080°
【答案】D
【解析】
【分析】利用多邊形外角求得該多邊形的邊數(shù)，再利用多邊形內(nèi)角和公式即可解答．
【詳解】解：∵多邊形外角和為360°，一個外角是45°，
∴該正多邊形的邊數(shù)為360°÷45°=8，
多邊形內(nèi)角和為：（n-2）×180°=（8-2）×180°=1080°，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵．
10. 按一定規(guī)律排列的多項式： 第n個多項式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，找出次數(shù)和系數(shù)變化的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)所給多項式次數(shù)和系數(shù)總結(jié)出次數(shù)和系數(shù)變化的規(guī)律求解即可．
【詳解】解：多項式的x項的次數(shù)依次為1，2，3，…，
第n個多項式的x項次數(shù)為n，
多項式的y項的系數(shù)依次為1，3，5，…，
第n個多項式的y項系數(shù)為，
第n個多項式為，
故選：B．
11. 如圖，是的直徑，是的弦，于點，若，，則等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出的長是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)直徑，可得的長度，再利用垂徑定理求得的長度，根據(jù)勾股定理求出的長度，進(jìn)而求得的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，且為的直徑，，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
12. 關(guān)于一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（ ）
A. 有兩個不等的實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 無實數(shù)根D. 無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程沒有實數(shù)根．求出根的判別式即可求解．
【詳解】解：∵，
∴方程沒有實數(shù)根．
故選：C．
13. 人世間的一切幸福都需要靠辛勤的勞動來創(chuàng)造，某校立足學(xué)校實際，為全面提升中學(xué)生勞動素質(zhì)，把勞動教育納入人才培養(yǎng)全過程，貫穿家庭、學(xué)校、社會各方面．為了解七年級學(xué)生每周參加家庭勞動時間的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將勞動實踐單位：小時分為如下組：；：；：；：；：進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
下列選項中正確的是( )
A. 本次調(diào)查的樣本容量是45
B. 扇形統(tǒng)計圖中A組對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)為85.4°
C. 本次調(diào)查中，每周家庭勞動時間不少于2小時的學(xué)生有4人
D. 學(xué)校計劃將每周家庭勞動時間不少于2小時的學(xué)生培養(yǎng)成勞動教育宣講員，在全校進(jìn)行宣講，估計七年級650名學(xué)生中勞動教育宣講員的人數(shù)約為39人
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖的相關(guān)知識，根據(jù)頻數(shù)、頻率和總數(shù)之間的關(guān)系，求圓心角的度數(shù)和樣本估計總體等知識即可判斷各選項
【詳解】解：A．本次調(diào)查的樣本容量是1人，選項錯誤，不符合題意．
B．A組對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是：，選項錯誤，不符合題意．
C．每周家庭勞動時間不少于2小時的學(xué)生人，選項錯誤，不符合題意．
D．估計七年級650名學(xué)生中勞動教育宣講員的人數(shù)約有，選項正確，符合題意．
故選：D．
14. 如圖，在矩形中，分別以點B，D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點M，N，作直線與分別交于點E，F(xiàn)，連接，已知，，則的長為（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，直線為線段的垂直平分線，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∵．
∴，
解得，
故選：A．
15. 黃金分割是一個跨越數(shù)學(xué)、自然、藝術(shù)和設(shè)計領(lǐng)域的概念，各個領(lǐng)域中無處不在．黃金分割是指將一個整體分為兩部分，其中較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，通常人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)．請估計的值在（ ）
A. 0和之間B. 和1之間C. 1和之間D. 和2之間
【答案】B
【解析】
【分析】先估算在哪兩個整數(shù)之間，再利用不等式基本性質(zhì)即可得出的范圍．本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，掌握用夾逼法估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，，，
，
，
，
，
∴在和1之間．
故選：B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）
16. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解．一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖像經(jīng)過點和，則m的值為_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像上的點的兩個坐標(biāo)的積等于定值k，得，解答即可．本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)，并列出等式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵函數(shù)圖像經(jīng)過點和，
，
，
故答案為：1．
18. 2024年3月14日是第五個“國際數(shù)學(xué)日”，為慶祝這個專屬于數(shù)學(xué)的節(jié)日，某校開展主題為“浸潤數(shù)學(xué)文化”的演講比賽，七位評委為某位同學(xué)打出的分?jǐn)?shù)如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，9.7，9.0（單位：分）．若去掉一個最高分和一個最低分，則去掉前與去掉后沒有改變的統(tǒng)計量是 ________．（填“平均數(shù)”、“中位數(shù)”、“眾數(shù)”、“方差”中的一項）
【答案】中位數(shù)
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)的定義．根據(jù)中位數(shù)的定義即可得．
【詳解】解：原來7個數(shù)據(jù)，從小到大排列處在中間位置的那個數(shù)與去掉一個最高和一個最低后剩下的5個數(shù)中間位置的那個數(shù)是相同的，
因此中位數(shù)不變，
故答案為：中位數(shù)．
19. 已知圓錐的母線長為，側(cè)面積為，則這個圓錐的高是_______．
【答案】15
【解析】
【分析】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵．
圓錐的側(cè)面積底面半徑母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求得圓錐的底面半徑，從而利用勾股定理求得圓錐的高．
【詳解】解：設(shè)底面半徑為
則，
解得，
圓錐的高為．
故答案：15．
三、解答題（本大題共8小題，共62分）
20. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，實數(shù)的性質(zhì)，特殊角的三角函值化簡，再算加減即可．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函值是解答本題的關(guān)鍵．
21. 如圖，．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關(guān)鍵．根據(jù)證明即可證明結(jié)論成立．
【詳解】證明：在與中，
，
∴，
∴．
22. 數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活．在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用．為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校計劃購進(jìn)甲、乙兩種與數(shù)學(xué)有關(guān)的科普書若干本，已知用1800元單獨購進(jìn)甲種科普書的數(shù)量比用同等金額購進(jìn)乙種科普書的數(shù)量少25本，且甲種科普書的單價是乙種科普書單價的1.5倍．求甲、乙兩種科普書的單價．
【答案】甲種科普書的單價為36元，乙種科普書的單價為24元
【解析】
【分析】本題考查了不等式和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系，列出不等式求解．根據(jù)1800元單獨購進(jìn)甲種科普書的數(shù)量比用同等金額購進(jìn)乙種科普書的數(shù)量少25本列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)乙種科普書的單價為x元，則甲種科普書的單價為元，
由題意等：，
解得，，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
∴，
答：甲種科普書的單價為36元，乙種科普書的單價為24元．
23. 某同學(xué)用計算機(jī)從3，4，5，x這四個數(shù)中，隨機(jī)同時抽取兩個數(shù)，多次重復(fù)實驗后的數(shù)據(jù)記錄如下：
（1）隨著實驗次數(shù)的增加，出現(xiàn)“和為8”的頻率將越來越穩(wěn)定于它的概率附近．由此可以估計出現(xiàn)“和為8”的概率是 ；
（2）當(dāng)時，請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求“兩數(shù)之和為8”的概率．
【答案】（1）0.33
（2）“和為8”的概率是
【解析】
【分析】本題考查利用頻率估計概率．大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
（1）根據(jù)實驗次數(shù)越大越接近實際概率求出出現(xiàn)“和為8”的概率即可；
（2）根據(jù)小球分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5、，用列表法或畫樹狀圖法說明當(dāng)時，得出“和為8”概率，即可得出答案．
【小問1詳解】
解：利用圖表得出：
實驗次數(shù)越大越接近實際概率，所以出現(xiàn)“和為8”概率是0.33．
故答案為：0.33；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，列表如下：
共有12種等可能的情況數(shù)，其中“和為8”的有2種，
則“和為8”的概率是．
24. 如圖，在中，，是邊上的中線，E是的中點，過點A作的平行線交的延長線于點F，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，平行線與間的距離為，求菱形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）菱形的面積是32
【解析】
【分析】（1）用一組對邊平行且相等來得出四邊形為平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可證明四邊形是菱形；
（2）作于點G，則，證明是等邊三角形可得，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而可求出菱形的面積.
【小問1詳解】
∵是的中點，
∴．
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵是邊中線，，
∴，
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
【小問2詳解】
作于點G，則，
∵，
∴是等邊三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面積是．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
25. 目前，云南省有130多種水果資源，約占全國的．第十六屆亞洲果蔬產(chǎn)業(yè)博覽會是中國領(lǐng)先的水果產(chǎn)業(yè)鏈貿(mào)易盛會，此次博覽會，云南出產(chǎn)的蘋果、藍(lán)莓、冰糖橙、甜柿、草莓、石榴等品種深受全國經(jīng)銷商們青睞．某果園今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市15天全部售罄，該果園果農(nóng)對銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，在該草莓上市第x天時，日銷售量P（單位：千克）與之間的函數(shù)關(guān)系為，草莓單價y（單位：元/千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）當(dāng)時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)日銷售額為W元，當(dāng)時，求W的最大值．
【答案】（1）
（2）最大值為800
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：
（1）依據(jù)題意，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，用待定系數(shù)法求解析式；
（2）依據(jù)題意，分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情形進(jìn)行計算可以得解．
【小問1詳解】
解：由題意，當(dāng)時，；
當(dāng)時，設(shè)函數(shù)解析式為，
又圖象過，，
∴．
∴．
∴此時函數(shù)解析式為．
綜上，當(dāng)時，．
【小問2詳解】
解：由題意，結(jié)合（1）當(dāng)時，單價為，
此時銷量，
∴日銷售額為．
當(dāng)時，銷量，單價為，
∴日銷售額為
．
又，
∴當(dāng)時，W隨x的增大而增大．
∴當(dāng)時，當(dāng)時，W取最大值，最大值為800．
綜上，當(dāng)時，當(dāng)時，W取最大值，最大值為800元．
26. 設(shè)二次函數(shù)，（,是常數(shù)，）．
（1）當(dāng)，時，求該二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)和對稱軸；
（2）若，點在該二次函數(shù)圖象上，試判斷該二次函數(shù)圖象的開口方向，并說明理由．
【答案】（1）函數(shù)與軸交點坐標(biāo)為，，函數(shù)的對稱軸為；
（2）二次函數(shù)圖象的開口方向向下，理由見解析
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）將，代入中，令解出即可得到答案；
（2）將點坐標(biāo)代入到并且根據(jù)得到關(guān)于，的不等式，之后與聯(lián)立，即可求得的范圍，即可得到答案．
【小問1詳解】
解：將，代入中，得
，
令即，解得或，
故函數(shù)與軸交點坐標(biāo)為，，
函數(shù)的對稱軸為；
【小問2詳解】
解；點坐標(biāo)代入到，
，
，
，
，
，
，
，
，
二次函數(shù)圖象的開口方向向下．
27. 如圖，是的外接圓，為的直徑，的平分線交于點，過點D作，交的延長線于點E．
（1）求證：直線是的切線；
（2）求證：；
（3）若，求的長（用含m，n的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）連接，利用圓周角定理，角平分線的定義得到，再利用平行線的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；
（2）利用角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用（2）的結(jié)論和等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，最后利用算術(shù)平方根的意義解答即可．
【小問1詳解】
連接，如圖，
∵為的直徑，
∴．
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵為半徑，
∴直線是的切線；
【小問2詳解】
∵是的平分線，
∴，
∴，
∴．
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
由（2）知：為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
由（2）知：，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，圓的切線的判定定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
實驗總次數(shù)
10
50
100
500
1000
2000
5000
10000
20000
50000
“和為8”的次數(shù)
2
25
43
191
334
619
1608
3397
6622
16499
“和為8”的頻率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
0.20
0.50
0.43
0.38
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
3
4
5
6
3
4
5
6

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