一．選擇題（共10小題）
1．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
2．式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是
A．B．x≥1C．x≤﹣1D．x＜﹣1
。3．下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三角形的是
A．3，4，5B．4，5，6C．5，12，13D．9，12，15
。4．下列計(jì)算正確的是
A．B．C．D．
5．圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長(zhǎng)為，則圖中、兩個(gè)正方形的面積之和為
A．B．C．D．
6．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
D．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形
.7．如圖，平行四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是
A．5B．10C．15D．20
8．如圖，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為
A．1B．2C．3D．4
9．已知，，將沿著某直線折疊后如圖所示，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A．（0.4，0）B．（0.5，0）C．（0.6，0）D．（0.7，0）
10．圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個(gè)銳角為，將各三角形較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”．已知，則圖中陰影部分的面積為
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題）
11．比較大?。? 2（選填“”、“ ”、“ ” ．
12．中，，則 ．
13．寫(xiě)出命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的逆命題： ．
14．計(jì)算： （x＞5）
15．如圖，中，，，，點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，弧與數(shù)軸的正半軸交點(diǎn)所表示的數(shù)是 ．
16．如圖，∠ABC=90°，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為 ．
三．解答題（共9小題）
17.計(jì)算；
（1） （2）
18．如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；

19．一根竹子高1丈，折斷后頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題．其中丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）

20．已知在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
21．如圖，是的中位線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
22．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，的頂點(diǎn)、、在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）圖1中的周長(zhǎng)為 ．（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)，使、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
（3）在圖2中畫(huà)出以為一邊長(zhǎng)，另外兩邊長(zhǎng)分別為和的格點(diǎn)．
20．材料閱讀
材料一：兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．
例如：，，我們稱(chēng)的一個(gè)有理化因式是的一個(gè)有理化因式是．
材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿印⒎帜竿朔帜傅挠欣砘蚴?，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．
例如：，．
請(qǐng)你仿照材料中的方法探索解決下列問(wèn)題：
（1）填空：的有理化因式是 ．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
（2）化簡(jiǎn)：．
（3）比較與的大小，并說(shuō)明理由．（提示：逆向運(yùn)用分母有理化）
24．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）的長(zhǎng)為 ；
（2）用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；
（3）連接，
①是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好落在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
25．已知在中，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在射線上，連接，作交射線于，．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，時(shí)，求的大??；
（2）當(dāng)，時(shí)，
①如圖2．連接，當(dāng)，求的長(zhǎng)；
②若，求的長(zhǎng)．
莆田文獻(xiàn)中學(xué)2023~2024學(xué)年下學(xué)期期中考試卷
八年級(jí)數(shù)學(xué)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共9小題）
1．.2．.3．4．．5．．6．．7．．8．．9..
10．圖①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個(gè)銳角為，將各三角形較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”．已知，則圖中陰影部分的面積為
A．B．C．D．
【分析】易知，，，設(shè)，由含30度角的直角三角形性質(zhì)得，于是，得到，再利用同底等高的三角形面積關(guān)系得到，進(jìn)而陰影部分的面積為．
【解答】解：如圖，
由題意得，，，，
設(shè)，
在中，，
，即，
解得：，
，
，
陰影部分的面積為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含30度角的直角三角形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、三角形的面積，解題關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等構(gòu)建方程，求出的長(zhǎng)．
二．填空題（共5小題）
11．＞ .12．．13．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．14.x-5.15．．
16．
解答題（共8小題）
17.
18．如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若為的角平分線，且，，求的周長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，再由即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合推出即可得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：為的角平分線，
，
，
，
，
，
，
，
的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．一根竹子高1丈，折斷后頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題．其中丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是尺，則斜邊為尺，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如圖，
設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則斜邊為尺，
由勾股定理得：，
解得：，
答：折斷處離地面的高度為4.55尺．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．
20．已知在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
【分析】先根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而判斷出是直角三角形，最后用面積的和即可求出四邊形的面積．
【解答】解：如圖，連接，
在中，，，
根據(jù)勾股定理得，，
在中，，，，
為直角三角形，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出是直角三角形．
21．如圖，是的中位線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，，求出，根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理求出，可得，，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出即可．
【解答】（1）證明：是的中位線，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：為直角三角形；理由如下：
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是的中位線，
．
，
，，
，
，即，
為直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，的頂點(diǎn)、、在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）圖1中的周長(zhǎng)為 ．（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)，使、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
（3）在圖2中畫(huà)出以為一邊長(zhǎng)，另外兩邊長(zhǎng)分別為和的格點(diǎn)．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出，，的長(zhǎng)，再相加即可；
（2）由題意找出坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再結(jié)合平行四邊形的判定分類(lèi)討論找出點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)，，確定點(diǎn)的位置即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，，，
的周長(zhǎng)為．
故答案為：；
（2）根據(jù)題意可建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
分類(lèi)討論：①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的位置如圖，此時(shí)；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的位置如圖，此時(shí)；
③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的位置如圖，此時(shí)．
綜上可知，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是或或．
故答案為：或或；
（3）如圖或即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
23．材料閱讀
材料一：兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．
例如：，，我們稱(chēng)的一個(gè)有理化因式是的一個(gè)有理化因式是．
材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．
例如：，．
請(qǐng)你仿照材料中的方法探索解決下列問(wèn)題：
（1）填空：的有理化因式是 （答案不唯一） ．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
（2）化簡(jiǎn)：．
（3）比較與的大小，并說(shuō)明理由．（提示：逆向運(yùn)用分母有理化）
【分析】（1）利用有理化因式的定義和平方差公式求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）利用分母有理化得到，，然后比較和的大小即可．
【解答】解：（1）的有理化因式為；
故答案為：；（答案不唯一）
（2）原式
；
（3）．
理由如下：
，
，
，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了分母有理化．
24．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
（1）的長(zhǎng)為 10 ；
（2）用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；
（3）連接，
①是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好落在直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，再由勾股定理求出的長(zhǎng)即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，；
（3）①連接、，若與互相平分，則四邊形是平行四邊形，得，則，解得，不符合題意舍去；②連接、，若與互相平分，則四邊形是平行四邊形，得，則，解得即可；
（4）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好落在點(diǎn)下方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好落在點(diǎn)上方時(shí)，證，求出的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）四邊形是平行四邊形，
，，
，
故答案為：10；
（2）由題意得：，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，；
綜上所述，線段的長(zhǎng)為或；
（3）①不存在，理由如下：
如圖1，連接、，
若與互相平分，則四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
解得：，不符合題意舍去；
②存在，理由如下：
如圖2，連接、，
若與互相平分，則四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，
存在的值，使得與互相平分，的值為；
（4）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好落在點(diǎn)下方時(shí)，如圖3，
由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好落在點(diǎn)上方時(shí)，如圖4，
由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
綜上所述，的值為或2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及分類(lèi)討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
25．已知在中，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在射線上，連接，作交射線于，．
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，時(shí)，求的大小；
（2）當(dāng)，時(shí)，
①如圖2．連接，當(dāng)，求的長(zhǎng)；
②若，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求解，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案；
（2）①證明，可得，再利用勾股定理求解即可；
②如圖，過(guò)作于，當(dāng)在的右邊時(shí)，利用勾股定理，可得，與等面積法可得，可得，，證明，從而可得答案；當(dāng)在的左邊時(shí)，如圖，同理可得答案．
【解答】解：（1），，
，
，，
；
（2）①，，
，
，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（負(fù)根舍去）；
②如圖，過(guò)作于，當(dāng)在的右邊時(shí)，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
而，，
，
，
當(dāng)在的左邊時(shí)，如圖，
同理可得：，，，
；
綜上：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，熟練的證明需要的兩個(gè)三角形全等是解本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/4/18 19:56:33；用戶：Vicky；郵箱：18094001213；學(xué)號(hào)：20327339

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福建省莆田市莆田文獻(xiàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期 九年級(jí)數(shù)學(xué)期中試題
2023年福建省莆田市城廂區(qū)文獻(xiàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（含解析）

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