1. 下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】滿足被開方數(shù)不含有分母，被開方數(shù)不含有開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，據(jù)此定義逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，被開方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
B、，被開方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
C、，被開方數(shù)含有開的盡的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
D、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的定義，掌握“利用最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷最簡(jiǎn)二次根式”是解本題的關(guān)鍵．
2. 下面各組數(shù)是三角形的三邊的長(zhǎng)，則能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 1，，C. 4，5，6D. 5，7，12
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．
【詳解】解：A、，故不是直角三角形；
B、，故是直角三角形；
C、42+52≠62，故不是直角三角形；
D、，故不是直角三角形．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算．根據(jù)二次根式的加減、乘除法則計(jì)算即可判斷．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不能合并，本選項(xiàng)不符合題意；
C、，本選項(xiàng)符合題意；
D、，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
4. 如圖，已知兩正方形和的面積分別是5，12，則正方形的面積是（ ）

A. B. 13C. 17D. 169
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合勾股定理和正方形的面積公式，得正方形的面積是正方形和的面積之和．
【詳解】解：正方形的面積，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形面積，熟記以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積是解題的關(guān)鍵．
5. 菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A. 對(duì)角相等B. 對(duì)角線相等C. 對(duì)角線互相平分D. 對(duì)角線互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷可求解．
【詳解】解：∵菱形具有的性質(zhì)有：四邊相等，兩組對(duì)邊平行且相等，兩組對(duì)角分別相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直；
平行四邊形的性質(zhì)有：兩組對(duì)邊分別平行且相等，兩組對(duì)角分別相等，對(duì)角線互相平分，
∴菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是四邊相等，對(duì)角線互相垂直，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 順次連接直角梯形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )
A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】如圖，連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理可推出EF∥GH，EF＝GH，進(jìn)一步即可根據(jù)平行四邊形的判定推出答案．
【詳解】解：如圖，四邊形ABCD是直角梯形，連接BD，
∵E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，
∴EF＝BD，EF∥BD，
同理GH＝BD，GH∥BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形的概念、三角形的中位線和平行四邊形的判定等知識(shí)，連接BD、熟練掌握三角形的中位線和平行四邊形的判定是解此題的關(guān)鍵．
7. 如圖所示的是菱形網(wǎng)格窗的一部分（網(wǎng)格窗中每個(gè)菱形邊長(zhǎng)相同），若兩個(gè)固定點(diǎn)間的距離，，則每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等的性質(zhì)和有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形推出菱形的邊長(zhǎng)．
【詳解】如圖：

∵四邊形和四邊形是全等的菱形，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述知識(shí)．
8. 如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體筆筒，底面的長(zhǎng)、寬分別為和，高為，將一支長(zhǎng)為的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長(zhǎng)度最少為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】長(zhǎng)方體內(nèi)斜對(duì)角線是最長(zhǎng)的，當(dāng)簽字筆在筆筒里對(duì)角放置的時(shí)候露在外面的長(zhǎng)度最小，求出筆筒的對(duì)角線長(zhǎng)度即可得簽字筆露在外面的最短長(zhǎng)度．
【詳解】解：由題意知：筆筒底面對(duì)角長(zhǎng)為，
∴筆筒的對(duì)角線長(zhǎng)：，
∵簽字筆長(zhǎng)，
∴簽字筆露在筆筒外面的最短長(zhǎng)度是：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
9. 我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有-道問(wèn)題:“問(wèn)沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何?”問(wèn)題大意:如圖，在△ABC中，AB = 13里，BC = 14里，AC = 15里，則△ABC的面積是（ ）
A. 80平方里B. 82平方里C. 84平方里D. 86平方里
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理得應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，在和中，由勾股定理得：，得出，在中，由勾股定理得出，即可求沙田的面積．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在和中，由勾股定理得：
，解得：
在中，
這塊沙田的面積．
故選：C．
10. 意大利著名畫家達(dá)·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個(gè)空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為，圖2中空白部分的面積為，則下列對(duì)，所列等式不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的證明，根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：由勾股定理可得，
由題意，可得，
故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)B、C、D不符合題意．
故選：A．
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11. 化簡(jiǎn)：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】把分子分母都乘以，再計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分母有理化，掌握分母有理化的方法是解本題的關(guān)鍵．
12. 如圖，點(diǎn)E是矩形中邊上的一點(diǎn)，將沿折疊為，點(diǎn)F落在邊上，若，則_____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)平角的定義，即可求解．
【詳解】解：四邊形為矩形，
，
沿折疊為，
，
，
，
故答案為：．
13. ____________
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是利用平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：因?yàn)椋?br>故答案為：．
14. 在菱形中，，對(duì)角線的長(zhǎng)為_________．
【答案】24
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，由勾股定理求出，即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
15. 已知，則的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件先求解，，結(jié)合，再代入求值即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴


；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式的變形求值，二次根式的加減乘法運(yùn)算，求解代數(shù)式的值，掌握完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，則的最小值是_________．

【答案】####
【解析】
【分析】本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值也最小，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積求出，再求出答案即可．
【詳解】解：如圖，連接，

點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，
．
當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值也最小．
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案為：．
三、解答題（本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【詳解】先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再化簡(jiǎn)二次根式，合并同類二次根式即可．
解：

；
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的加減法乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在中，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且，對(duì)角線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．
連接交于O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．
【詳解】證明：連接交于O，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
19. 先化簡(jiǎn)，后求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根據(jù)平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式先計(jì)算整式的乘法運(yùn)算，再合并得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：

；
當(dāng)時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，二次根式的乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在中，分別以點(diǎn)B，C為圓心，為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)所在直線分別與和交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，在射線上截取，連接，，，．
（1）四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由作圖可知，，，加上已知條件，即可得出四邊形是菱形．
（2）由垂直平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，再證明為的中位線，最后利用勾股定理即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：四邊形是菱形．
理由∶由作圖可知，直線為線段的垂直平分線，
∴，，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形．
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴，
∵直線為線段的垂直平分線，
∴，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. （1） 已知a，b為實(shí)數(shù)， 且，求a，b的值．
（2）已知實(shí)數(shù)m滿足，求的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，明確二次根式的被開方數(shù)非負(fù)是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可得出a的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0得出b的值即可；
（2）根據(jù)二次根式有意義的條件可得m的取值范圍，再根據(jù)絕對(duì)值的定義將原式化為，兩邊平方即可．
【詳解】解：（1）∵和均有意義
∴且，
即且
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴
答：；
(2) ∵有意義，
∴，
∴
因此，可變?yōu)椋?br>即
∴
即
答：的值是2024
22. 人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)下冊(cè)第16頁(yè)閱讀與思考給我們介紹了“海倫—秦九韶公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式：即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，記，那么這個(gè)三角形的面積為 ，如圖，在中，，，．
（1）求的面積；
（2）設(shè)邊上高為，邊上的高為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了“海倫—秦九韶公式”；
（1）將，，代入公式計(jì)算，即可求解；
（2）由三角形面積公式即可求解；
理解公式是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：，，，
∴
=
，
∴
；
∴的面積為；
【小問(wèn)2詳解】
解：由(1)知，的面積為；
，
，
，，
∴
．
23. 閱讀下述材料：
我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，
與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：
比較和的大小．可以先將它們分子有理化如下：，，
因?yàn)?，所以?br>再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
當(dāng)時(shí)，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解決下述問(wèn)題：
（1）比較和的大?。?br>（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）的最大值為2，最小值為
【解析】
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比較和的大小即可得到與的大小；
（2）利用二次根式有意義的條件得到，而，利用當(dāng)時(shí)，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用當(dāng)時(shí)，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【小問(wèn)1詳解】
，
，
而，，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
由，，得，
，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值1，此時(shí)有最大值1，所以最大值為2；
當(dāng)時(shí)，有最大值，則有最小值，此時(shí)有最小值0，所以的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了非常重要的一種數(shù)學(xué)思想：類比思想．解決本題關(guān)鍵是要讀懂例題，然后根據(jù)例題提供的知識(shí)點(diǎn)和方法解決問(wèn)題．同時(shí)要注意所解決的問(wèn)題在方法上類似，但在細(xì)節(jié)上有所區(qū)別．
24. 如圖1，在平行四邊形中，平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，連接．
（1）若，，求的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，若平分交于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）4 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)和勾股定理即可求得結(jié)論；
（2）由平行四邊形性質(zhì)可得，再由可得，再根據(jù)角平分線定義可得，由等腰三角形性質(zhì)可得，由此可得和均為等腰直角三角形，即可證明結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖1，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
證明：如圖2，延長(zhǎng)交于，
，平分，
，，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
和均為等腰直角三角形，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線定義等，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
25. 已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（到點(diǎn)C時(shí)停止），點(diǎn)N為上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)P．

（1）寫出菱形的面積___________；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，若，求點(diǎn)C到AM的距離？
（3）如圖2，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，且，連接、．試判斷：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中；是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）．
（2）1.7，具體見(jiàn)解析．
（3）存在最小值，最小值為．
【解析】
【分析】（1）如圖1，由四邊形是菱形，得，，解得，，進(jìn)而，，所以．
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為 F，由四邊形是菱形，得，，進(jìn)一步證得，求證，所以；
（3）如圖3，取中點(diǎn)H，連接，，，由四邊形是菱形， 得，，進(jìn)一步求證，證得，所以，求證，中，，可證得，得，于是，即最小值為的長(zhǎng)；中，，，得，中，勾股定理得，所以最小值為．
小問(wèn)1詳解】
如圖1，

圖1
∵四邊形是菱形，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
如圖1，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為 F，

圖1
∵四邊形是菱形，
∴，
∵
∴
∴，即
又∵
∴
∴
即點(diǎn)C到AM的距離為1.7．
【小問(wèn)3詳解】
如圖3，取中點(diǎn)H，連接，，，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴

圖3
∴
∴
∴
中，，
∴
∴
∴
∴
即最小值為的長(zhǎng)
中，，
∴，
∴
∴中，
∴最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，兩點(diǎn)之間線段最短；根據(jù)題設(shè)條件添設(shè)輔助線構(gòu)造全等三角形，得到相等線段，從而利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．

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