【期中講練測】滬教版八年級下冊數(shù)學(xué)專題03平行四邊形考點(diǎn)專練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：中點(diǎn)四邊形題型二：正方形中的十字架模型
題型三：四邊形中的對角互補(bǔ)模型題型四：與正方形有關(guān)三垂線
題型五：正方形與45°角的基本圖
題型一：中點(diǎn)四邊形
“中點(diǎn)四邊形”，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點(diǎn)而組成的四邊形，是四邊形的內(nèi)接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態(tài)：
（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）
（一）中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形
當(dāng)原四邊形對角線相等時，其中點(diǎn)四邊形為菱形
當(dāng)原四邊形對角線垂直時，其中點(diǎn)四邊形為矩形
當(dāng)原四邊形對角線垂直且相等時，其中點(diǎn)四邊形為正方形
（二）中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對角線之和
（三）中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一
一、單選題
1．（2020·上海徐匯·二模）下列命題中，假命題是（）
A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形
B．順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形
C．順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形
D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形
二、填空題
2．（21-22九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加，才能保證四邊形EFGH是正方形．
3．（20-21八年級下·山東德州·期末）如圖，連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，還要添加條件，才能保證四邊形是矩形．
三、解答題
4．（20-21八年級下·河北石家莊·期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．
（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：
①當(dāng)對角線時，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；
②當(dāng)對角線時，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．
（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．
5．（20-21八年級下·廣西桂林·期末）如圖，四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．
（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由；
（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說明理由．
題型二：正方形中的十字架模型
一、填空題
1．（23-24九年級上·山西太原·期中）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，連接，，，則四邊形的面積為．

二、解答題
2．（21-22九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．
（1）如圖1，求證AE⊥BF；
（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；
3．（20-21八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，正方形ABCD邊長為4，點(diǎn)G在邊AD上（不與點(diǎn)A、D重合），BG的垂直平分線分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)，連接EG．
（1）當(dāng)AG=1時，求EG的長；
（2）當(dāng)AG的值等于時，BE=8－2DF；
（3）過G點(diǎn)作GM⊥EG交CD于M
①求證：GB平分∠AGM；
②設(shè)AG=x，CM=y，試說明的值為定值．
4．（20-21八年級下·云南曲靖·期末）如圖1，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接、，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，正方形的邊長為3，求線段的長．
5．（2024·河南·一模）綜合與實(shí)踐
完成任務(wù)：
（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“”或“”或“”或“”）
【發(fā)現(xiàn)問題】
同學(xué)們通過交流后發(fā)現(xiàn)，已知可證得，已知同樣可證得，為了驗(yàn)證這個結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究．

【遷移探究】
在正方形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)M，N分別在上，連接交于點(diǎn)P．
甲小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)畫出圖形如圖3所示．
甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知仍能證明，乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知無法證明一定成立．
（2）①在圖2中，已知，求證：；
②在圖3中，若，則的度數(shù)為________．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖4，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)M在邊上，且，點(diǎn)F，N分別在直線上，若，當(dāng)直線與直線所夾較小角的度數(shù)為時，請直接寫出的長．
題型三：四邊形中的對角互補(bǔ)模型
模型1:全等形一-90°對角互補(bǔ)模型
模型2:全等形--120°對角互補(bǔ)模型
模型 3:全等形一一任意角對角互補(bǔ)模型
模型4:相似形一-90°對角互補(bǔ)模型（后面會學(xué)到）
1．（20-21八年級下·福建三明·期中）感知：如圖①，平分，，．判斷與的大小關(guān)系并證明．
探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請說明理由．
應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）
2．初步探究：如圖1，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且．探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點(diǎn)G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論是．
靈活運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
拓展延伸：如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長線上，點(diǎn)F在的延長線上，仍然滿足，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

3．（20-21九年級下·遼寧大連·期中）如圖1，正方形中，是對角線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接（與不垂直），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．

（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，其他條件不變，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．
4．（21-22八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）問題探究
（（1）如圖①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，則∠BCD的大小為___________；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，對角線BD=6．求四邊形ABCD的面積；小明這樣來計算．延長DC，使得CE=AD，連接BE，通過證明△ABD≌△CBE，從而可以計算四邊形ABCD的面積．請你將小明的方法完善．并計算四邊形ABCD的面積；
問題解決
（3）如圖③，四邊形ABCD是正在建設(shè)的城市花園，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．請計算出對角線BD的長度．
5．（21-22九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)、都在線段上時（如圖1），請證明：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．
6．【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對應(yīng)線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．
【問題初探】線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°．
（1）如圖①，當(dāng)α＝60°時，線段AB、CD所在直線夾角（銳角）為；
（2）如圖②，當(dāng)90°＜α＜180°時，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉(zhuǎn)角α存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角．
【運(yùn)用拓廣】運(yùn)用所形成的結(jié)論解決問題：
（3）如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝，求AD的長．

題型四：與正方形有關(guān)三垂線

一、單選題
1．如圖，四邊形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三點(diǎn)共線，，則圖中陰影部分的面積是（）
A．12B．10C．8D．6
二、填空題
2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__ ．
三、解答題
3．（2022春·廣東東莞·八年級塘廈初中?？计谥校┧倪呅蜛BCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；
（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時，直接寫出∠EFC的度數(shù)．
4．（2021春·山西·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：如圖1，在正方形中，連接對角線，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，O重合），連接，．過點(diǎn)E作交直線于點(diǎn)F．
（1）試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）試猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)E在線段上時（不與點(diǎn)C，O重合），交延長線于點(diǎn)F，保持其余條件不變，直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．
5．（2022春·新疆省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)是正方形的邊上的任意一點(diǎn)（不與、重合），與正方形的外角的角平分線交于點(diǎn)．
(1)求證：．
(2)將圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，連、，與交于點(diǎn)，若正方形的邊長為，則四邊形的面積是否隨點(diǎn)位置的變化而變化？若不變，請求出四邊形的面積．
(3)在的（2）條件下，若，求四邊形的面積．
題型五：正方形與45°角的基本圖

1．如圖所示，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一點(diǎn)，，M關(guān)于直線AF對稱．
（1）求證：B，M關(guān)于AE對稱；
（2）若的平分線交AE的延長線于G，求證：．
2．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．
3．如圖所示，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一點(diǎn)，D，M關(guān)于直線AF對稱．連結(jié)DM并延長交AE的延長線于N，求證：．
4．如圖1，在正方形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）在圖1中，若G在上，且，則成立嗎？為什么？
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：
①如圖2，在直角梯形中，，，，E是上一點(diǎn)，且，，求的長．
②如圖3，在中，，，，，則的面積為____（直接寫出結(jié)果，不需要寫出計算過程）
5．如圖正方形的邊、在坐標(biāo)軸上，已知點(diǎn)．將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于），得到正方形，交線段于點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)，連接、．
（1）求的度數(shù)．
（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，直線上是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
6．已知正方形，，繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于點(diǎn)M、N，于點(diǎn)H．
（1）如圖①，當(dāng)時，可以通過證明，得到與的數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系是___________；
（2）如圖②，當(dāng)時，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由；
（3）如圖③，已知中，，于點(diǎn)H，，，求的長．
7．已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．
(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN
(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系
(3)如圖3，直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．
8．已知：四邊形為正方形，是等腰，．
（1）如圖：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，若邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接，試證明：．
（2）如圖，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，若邊、分別與、的延長線相交于點(diǎn)、，連接．
①試寫出此時三線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
②若，，求：正方形的邊長以及中邊上的高．
9．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，將∠EAF繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊始終與直線CD交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F，連接EF．
（1）如圖①，當(dāng)BF＝DE時，求證：△ABF≌△ADE；
（2）若∠EAF旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，求證：∠AFB＝∠AFE；
（3）若BC＝4，當(dāng)邊AE經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)時，在AF的右側(cè)作以AF為腰的等腰直角三角形AFP，直接寫出點(diǎn)P到直線AB的距離．
數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在正方形中，E，F(xiàn)分別是上的兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P．

已知，求證：．
甲小組同學(xué)的證明思路如下：
由同角的余角相等可得．再由，，證得（依據(jù)：________），從而得．
乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知，同樣可證得，證明思路如下：
由，可證得，可得，再根據(jù)角的等量代換即可證得．

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