（滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間90分鐘）
一、選擇題
1. 如圖中與不可能成為同位角的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】?jī)蓷l直線(xiàn)a，b被第三條直線(xiàn)c所截（或說(shuō)a，b相交c），在截線(xiàn)c的同旁，被截兩直線(xiàn)a，b的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個(gè)角稱(chēng)為同位角，根據(jù)同位角的定義即可解答．
【詳解】解：根據(jù)同位角的定義觀察圖形，選項(xiàng)B中∠1與∠2不可能成為同位角．故答案為B．
【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.
2. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角
B. 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行
C. 如果兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等
D. 聯(lián)結(jié)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)頂角、平行線(xiàn)和垂線(xiàn)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A. 如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B. 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C. 如果兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 聯(lián)結(jié)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短，選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角、平行線(xiàn)、垂線(xiàn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．
3. 以下敘述中，正確的是（ ）
A. 數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；B. 一定沒(méi)有偶次方根；
C. 的算術(shù)平方根是2；D. 近似數(shù)精確到萬(wàn)位．
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查實(shí)數(shù)，掌握基本的意義與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)、平方根、算術(shù)平方根以及近似數(shù)的意義分析判定即可．
【詳解】解：A．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，正確；
B．當(dāng)時(shí)，有偶次方根，故不正確；
C．的算術(shù)平方根是，故不正確；
D．近似數(shù)精確到千位，故不正確．
故選：A．
4. 學(xué)校里有一個(gè)正方形的花壇，它的面積是20平方米，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)約在（ ）
A. 3米和4米之間B. 4米和5米之間C. 5米和6米之間D. 6米和7米之間
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，先估算被開(kāi)方數(shù)在哪兩個(gè)相鄰的平方數(shù)之間，再估算該無(wú)理數(shù)在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間．用用“夾逼法”求解即可．
【詳解】解：∵一個(gè)正方形的花壇，它的面積是20平方米，
∴個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為米，
∵，
∴．
故選B．
5. 如圖，已知，、、分別平分、、，則圖中與互余角共有（ ）

A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】由平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義求得，再證明得到，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵、分別平分、，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴與互余的角有，共5個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義以及互余的定義，由角平分線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
二、填空題
6. 下列實(shí)數(shù)中：3.1416，，，，，，……（它的位數(shù)無(wú)限，且相鄰兩個(gè)“3”之間的“1”依次增加1個(gè)），無(wú)理數(shù)有___________個(gè)．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的識(shí)別，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：①π類(lèi)，如2π，等；②開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如，等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0），0.2121121112…（兩個(gè)2之間依次增加1個(gè)1）．
【詳解】解：3.1416，，是有理數(shù)；
，，，……（它的位數(shù)無(wú)限，且相鄰兩個(gè)“3”之間的“1”依次增加1個(gè)）是無(wú)理數(shù)．
故答案為：4．
7. 把寫(xiě)成冪的形式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用公式換算即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算公式，熟練運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．
8. 計(jì)算：____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：．
故答案為：3．
9. 計(jì)算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，把轉(zhuǎn)化成算術(shù)平方根的形式求解即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
10. 計(jì)算：＝_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)積的乘方的運(yùn)算法則和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】




故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握積的乘方的運(yùn)算法則和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)．
11. 已知數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為和，則間的距離為_(kāi)___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意列得：，
則兩點(diǎn)間的距離為，
故答案：．
【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸表示兩點(diǎn)之間的距離，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于較大的數(shù)字減去減小的數(shù)字，根據(jù)題意列出正確的算式是解本題的關(guān)鍵．
12. 2024年，歷時(shí)40天的春運(yùn)（）已經(jīng)結(jié)束，民航旅客運(yùn)輸總量達(dá)8345萬(wàn)人次，為歷年春運(yùn)最高水平．將8345萬(wàn)人次保留2個(gè)有效數(shù)字并用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)___________萬(wàn)人次．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了正整數(shù)指數(shù)科學(xué)記數(shù)法，對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值大于1的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1的正整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
【詳解】解： ．
故答案為：．
13. 如圖，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，于，，＝____________°．
【答案】60
【解析】
【分析】本題考查了垂直的定義，對(duì)頂角相等，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．由垂直的定義得，再根據(jù)求出，然后由對(duì)頂角相等可得答案．
【詳解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
故答案為：60．
14. 如圖，直線(xiàn)a、b都與直線(xiàn)c相交，給出下列條件：①∠1＝∠7；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝180°，其中能判斷的條件是：___．
【答案】②③④
【解析】
【分析】判斷兩條直線(xiàn)平行可從內(nèi)錯(cuò)角、同位角和同旁?xún)?nèi)角三個(gè)方面來(lái)進(jìn)行，①是對(duì)頂角，不行；②是內(nèi)錯(cuò)角，可以；③是同位角，可以；④同旁?xún)?nèi)角，可以；從而得到答案．
【詳解】解：①∠1＝∠7，對(duì)頂角相等，不能判定，①不符合題意；
②∠3＝∠6，可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行得到，②符合題意；
③∠1＝∠8，根據(jù)對(duì)頂角，則∠1＝∠2，可由同位角相等，兩直線(xiàn)平行得到，③符合題意；
④∠5+∠8＝180°，根據(jù)對(duì)頂角、，可得∠3+∠2＝180°，可根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行得到，④符合題意；
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線(xiàn)平行的判定，熟練掌握判定直線(xiàn)平行的三個(gè)方面：內(nèi)錯(cuò)角、同位角和同旁?xún)?nèi)角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15 如圖，，，，那么＝____________．
【答案】65
【解析】
【分析】本題主要查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)C作，可得，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案為：65
16. 已知直線(xiàn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，到直線(xiàn)的距離是，那么直線(xiàn)和直線(xiàn)之間的距離為_(kāi)_______．
【答案】2cm或8cm
【解析】
【分析】點(diǎn)M可能在兩平行直線(xiàn)之間，也可能在兩平行直線(xiàn)的同一側(cè)，分兩種情況討論即可．
【詳解】解：如圖1，直線(xiàn)a和b之間的距離為：5-3=2（cm）；
如圖2，直線(xiàn)a和b之間的距離為：5+3=8（cm）．
故答案為：2cm或8cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)之間的距離，分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．從一條平行線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫兩條平行線(xiàn)之間的距離．
17. 根據(jù)下圖中的程序，當(dāng)輸入為36時(shí)，輸出的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了立方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)和應(yīng)用．根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的含義和求法，以及有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的含義和求法，求出當(dāng)輸入的為36時(shí)，輸出的值是多少即可．
【詳解】解：當(dāng)輸入x為36時(shí)，，
是有理數(shù)，， 是無(wú)理數(shù)，
∴當(dāng)輸入的為36時(shí)，輸出的值是．
故答案為：．
18. 我們知道，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但對(duì)于三個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱(chēng)這三個(gè)數(shù)為“開(kāi)心組合數(shù)”．例如：，，這三個(gè)數(shù)，，，，其結(jié)果，，都是整數(shù)，所以，，這三個(gè)數(shù)為“開(kāi)心組合數(shù)”．若三個(gè)數(shù)，，是“開(kāi)心組合數(shù)”，其中有兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方根為，那么____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了新定義，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．分，，兩種情況求出m的值，看是否符合題意即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，則，
解得，
∵，，且10，15，30都是整數(shù)，
∴此時(shí)滿(mǎn)足是“完美組合數(shù)”；
當(dāng)時(shí)，則，
解得，不符合題意；
綜上所述，．
故答案為：．
19. 如圖1，已知長(zhǎng)方形紙帶，，，°，點(diǎn)分別在邊上，，如圖2，將紙帶先沿直線(xiàn)折疊后，點(diǎn)分別落在的位置．將紙帶再折疊一次，使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)F， 且點(diǎn)落在線(xiàn)段上 ，這時(shí)的折痕和的夾角是 ____________ °．

【答案】
【解析】
【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由折疊得，，根據(jù)，得到，由折疊的性質(zhì)得到，再根據(jù)求出，即可求出答案．
【詳解】解：如圖，將紙帶再沿折疊一次，使點(diǎn)落在線(xiàn)段上點(diǎn)的位置，

由折疊得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
故答案為：．
三、簡(jiǎn)答題
20. 計(jì)算：.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可求得．
【詳解】解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
21. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】首先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)二次根式即可.
【詳解】解：原式.
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
22. 計(jì)算：
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，再計(jì)算加減可得．
【詳解】解：原式
23. 計(jì)算：
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)立方根、零次冪、平方和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)化簡(jiǎn)各數(shù)，然后計(jì)算即可.
【詳解】解：原式.
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
24. 利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算：
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，熟練掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)指數(shù)冪的意義是解答本題的關(guān)鍵． 分?jǐn)?shù)次冪的運(yùn)算法則公式是，即先計(jì)算a的n次方，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行開(kāi)m次方根（，m、n屬于正整數(shù)）．
【詳解】解：原式，



．
25. 若，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了代數(shù)式求值、絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加，和為0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的值都為0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解．
【詳解】解：由題意得：
解得：，
∴，
即的平方根是．
26. 如圖，已知，，那么，什么？
解：因?yàn)?（已知），
所以（ ），
所以（ ）．
因?yàn)椋? ），
所以 （ ），
即，
所以（ ），
所以（ 兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）．
【答案】同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；等式性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行
【解析】
【分析】本題考查的是平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟知平行線(xiàn)的判定定理是解答此題的關(guān)鍵． 先根據(jù)題意得出，故可得出，再由得出，進(jìn)而可得出，據(jù)此可得出結(jié)論．
【詳解】解：因?yàn)?（已知），
所以（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行），
所以（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
因?yàn)椋ㄒ阎?br>所以 （等式性質(zhì)），
即，
所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行），
所以（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
故答案為：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；已知；等式性質(zhì)；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行．
27. 如圖，已知，是的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，且，請(qǐng)說(shuō)明的理由．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】此題考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出．根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用平行線(xiàn)的判定得出，進(jìn)而解答即可．
【詳解】（已知）
（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
（已知）
（等量代換）
是的角平分線(xiàn)（已知）
（角平分線(xiàn)的意義）
（等量代換）
（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）
（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
四、解答題
28. （1）在數(shù)學(xué)課本36頁(yè)的閱讀材料中，運(yùn)用反證法說(shuō)明“是一個(gè)無(wú)理數(shù)” ．
閱讀材料：“無(wú)理數(shù)”的由來(lái)．為什么不可能是一個(gè)有理數(shù)？現(xiàn)在我們用代數(shù)方法來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題．
假設(shè)是一個(gè)有理數(shù)，那么可以得到，其中a、b是整數(shù)，a與b互素且，這時(shí)，就有：，于是，則a是2的倍數(shù)．
再設(shè)，其中m是整數(shù)，就有：，
也就是：，
所以b也是2的倍數(shù)，可見(jiàn)a、b不是互素?cái)?shù)，與前面所假設(shè)的a與b互素相矛盾，因此不可能是一個(gè)有理數(shù)．
請(qǐng)你也試著用反證法，說(shuō)明是無(wú)理數(shù)．
解：假設(shè)是一個(gè)有理數(shù)．
則（a、b是整數(shù)，a與b互素且），
則
兩邊同時(shí)平方得： ，
所以： ，
因?yàn)椋? ．
所以：是一個(gè)無(wú)理數(shù)．
（2）判斷下面的說(shuō)法是否正確．正確的打 “√”，錯(cuò)誤的打“×”．
①任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和還是無(wú)理數(shù)．（ ）
②任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)．（ ）
（3）如果，其中、為有理數(shù)，求、的值．
【答案】（1）；； a、b是整數(shù)，，所以為有理數(shù)．而是無(wú)理數(shù)，與前面假設(shè)矛盾
（2）① ×；②√
（3）
【解析】
【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的證明，能夠理解并運(yùn)用題干的反證法是解題的關(guān)鍵．
（1）仿照題干方法進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷即可；
（3）整理后，根據(jù)對(duì)應(yīng)部分相等列式求解即可．
【詳解】解：（1）假設(shè)是一個(gè)有理數(shù)．
則（a、b是整數(shù)，a與b互素且），
則
兩邊同時(shí)平方得：，
所以：，
因?yàn)椋篴、b是整數(shù)，，所以為有理數(shù)．而是無(wú)理數(shù)，與前面假設(shè)矛盾．
所以：是一個(gè)無(wú)理數(shù)．
（2）①任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和還是無(wú)理數(shù)不正確，如：是有理數(shù)．
故答案為：×；
②任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)，正確．
故答案為：√；
（3）∵，
∴，
∴，
∴
∴．
29. 將一副三角尺中的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起．（）
（1）①若，則的度數(shù)為 ．
②若，則的度數(shù)為 ．
（2）由（1）猜想并直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系 ．
（3）當(dāng)且點(diǎn)在直線(xiàn)的上方時(shí)，當(dāng)這兩塊三角尺有一組邊互相平行時(shí)，的度數(shù)為 ．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了與三角板有關(guān)的計(jì)算，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)．
（1）①先求得的度數(shù)，即可得到的度數(shù)；
②先求得的度數(shù)，即可得到的度數(shù)；
（2）依據(jù)，，即可得到與互補(bǔ)．
（3）分5種情況求解：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；④當(dāng)時(shí)；⑤當(dāng)時(shí)．
【小問(wèn)1詳解】
①∵，
∴
∴
故答案為：．
②∵，
∴
∴
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
．
理由如下：
∵，，
∴．
∵，，
∴
∴．
故答案為：；
【小問(wèn)3詳解】
①當(dāng)時(shí)，
∵，
∴；
②當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴，
∴．
③當(dāng)時(shí)，
∵，
∴，
∴；
④當(dāng)時(shí)，
∵
∴
∴
∴
∴；
⑤當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作，
∵，，
∴，
∴∠，
∴
∴．
故答案為：．

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