1. 下列方程組中，是二元二次方程組的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二元二次方程組的定義，解題的關鍵是掌握“組成二元二次方程組的兩個方程應共含有兩個未知數，且未知數的項最高次數都應是二次的整式方程．”據此逐個判斷即可．
【詳解】解：A、不是整式方程組，故不是二元二次方程組，不符合題意；
B、含有3個未知數，故不是二元二次方程組，不符合題意；
C、是二元二次方程組，符合題意；
D、不是整式方程組，故不是二元二次方程組，不符合題意；
故選：C．
2. 下列選項中正確的是（ ）
A. 方程有實數根B. 方程的解是
C. 方程有實數根D. 方程只有一個解
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了理方程，分式方程，整式方程是否有實數根，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
根據無理方程，分式方程，整式方程是否有實數根逐項分析判斷即可
【詳解】解：A、∵，
∴沒有實數根，故A不正確，不符合題意；
B、當時，，
∴不是原分式方程的解，故B不正確，不符合題意；
C、∵，
∴，解得：，故C正確，符合題意；
D、，
解得：或，故D不正確，不符合題意；
故選：C．
3. 方程組有兩組不同的實數解，則（ ）
A. ≥B. ＞C. ＜＜D. 以上答案都不對
【答案】B
【解析】
【分析】將y=x2與y=x+m函數聯立，根據解的個數求解即可．
【詳解】方程組有兩組不同的實數解，兩個方程消去y得，，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞,故選B.
【點睛】本題考查了二元二次方程，用到的知識點是加減消元法解方程組，根的判別式、解一元二次方程等知識，關鍵是根據根的判別式求出m的值．
4. 下列函數中，函數值y隨自變量x的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一次函數，二次函數，反比例函數的增減性，熟練掌握相關函數的增減性是解題的關鍵．
根據一次函數，二次函數，反比例函數的增減性，逐個判定即可．
【詳解】解：A、∵，
∴在每一象限內，y隨x的增大而增大，故A不符合題意；
B、∵，
∴該二次函數開口向上，對稱軸為y軸，
∴當時，y隨x的增發(fā)而增大，當時，y隨x的增大而減小，故B不符合題意；
C、∵，
∴y隨x的增大而減小，故C不符合題意；
D、∵，
∴y隨x的增大而增大，故D符合題意；
故選：D．
5. 當a＜0，b＞0函數y＝ax+b與y＝bx+a在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據一次函數圖像與各項系數關系，分別判斷y＝ax＋b與y＝bx＋a所過的象限，最后得出結論.
【詳解】解：∵a＜0，b＞0
∴y＝ax＋b經過一、二、四象限
y＝bx＋a經過一、三、四象限
∴選B
故答案是：B.
【點睛】本題主要考查一次函數圖形與性質，掌握和正確應用圖像與系數關系是解題的關鍵.
6. 甲乙兩地間公路長300千米，為適應經濟發(fā)展，甲地通往乙地的客車的速度比原來每小時增加了40千米，時間縮短了1.5小時．若設客車原來的速度為每小時x千米，則下列方程中符合題意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據從實際問題抽象出分式方程，根據時間縮短了1.5小時列方程即可．
【詳解】解：由題意，得
．
故選C．
二、填空題
7. 若函數是一次函數，且y隨著x的增大而增大，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查了一次函數的定義和增減性，解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一次函數，當時，y隨x的增大而增大，反之，y隨x的增大而減?。雀鶕淮魏瘮档亩x，得出，求出m的值，再根據增減性，得出，即可得出結論．
【詳解】解：∵函數是一次函數，
∴，
解得：，
∵y隨著x的增大而增大，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：1．
8. 一個多邊形的內角和是，則這個多邊形是______邊形．
【答案】18
【解析】
【分析】本題考查了多邊形的內角和公式，熟記多邊形的內角和公式為是解答本題的關鍵．根據多邊形內角和公式列方程求解即可．
【詳解】解：設這個多邊形是n邊形，根據題意，得
，
∴．
故答案為：18．
9. 方程的根是______．
【答案】，，
【解析】
【分析】本題考查了解高次方程，通過因式分解化為低次方程求解即可．
詳解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，，．
故答案為：，，．
10. 方程：的根為___________．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．
【詳解】解：，
去分母得：，
解得：，
當時，，
∴是原方程的增根；
當時，，
∴原方程的解為．
故答案為：
【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意檢驗是解題的關鍵．
11. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】兩邊平方得出關于x的整式方程，解之求得x的值，再根據二次根式有意義的條件得出符合方程的x的值，可得答案．
【詳解】解：
兩邊平方得,
則或,
解得：或,
又
解得：，
∴，
故答案為：.
【點睛】
本題主要考查無理方程，解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設輔助元素法，利用比例性質法等．
12. 分式方程，如果設，原方程則化為整式方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是利用換元法解分式方程，掌握整體換元的思想是解本題的關鍵．根據完全平方公式得出，即可解答．
【詳解】解：設，
則，
∴，
∴原方程則化為整式方程為，
故答案為：．
13. 方程組的解是______．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，解二元一次方程組．
將①代入②，得出關于x一元二次方程，求出x的值，再將x的值代入①，求出y的值即可．
【詳解】解：，
把①代入②得：，
整理得：，
解得：或，
把代入①得：，
把代入①得：，
∴原方程組的解為，．
14. 方程組的解為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解方式方程組，用換元法求解即可．
【詳解】解：設，
則原方程組可化為，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴，
∴，
經檢驗符合題意．
故答案為：．
15. 當______時，關于x的方程會產生增根．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的增根，解題的關鍵是掌握使分式方程分母為0的未知數的值，是分式方程的增根．先去分母，將分式方程化為整式方程，得出，再根據增根的定義，即可求出m．
【詳解】解：，
，
，
當時，原方程會產生增根，
即當時，原方程會產生增根，
∴，
解得：．
故答案為：．
16. 某學生計劃每天平均看書若干頁，則在預定日期可看完300頁的書，讀了15天后，改變計劃每天多讀6頁，結果比預定日期提前2天讀完，設該學生原計劃每天讀x頁，則可列方程：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是找出合適的等量關系，列出方程．設他原計劃平均每天讀x頁書，則他需要天讀完，根據改變計劃后結果比預定日期提前2天讀完可列出關于x的方程．
【詳解】解：設他原計劃平均每天讀x頁書，根據題意得：
，
故答案為：．
17. 明明騎自行車去上學時，經過一段先上坡后下坡的路，在這段路上所走的路程S（單位：千米）與時間t（單位：分）之間的函數關系如圖所示．放學后如果按原路返回，且往返過程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回來時，走這段路所用的時間為______分鐘．
【答案】14
【解析】
【分析】此題考查了從函數圖象獲取信息，關鍵是正確理解圖象所表示的意義，求出上下坡的速度．根據圖象計算出上坡速度和下坡路程，然后根據放學后如果按原路返回，且往返過程中，上坡速度相同，下坡速度相同，再結合路程可得答案．
【詳解】解：根據函數圖象可得：上坡速度為（千米/分），
下坡速度為（千米/分），
放學后如果按原路返回，且往返過程中，上坡速度相同，下坡速度相同，
那么他回來時，上坡路程為2千米，速度為千米/分，下坡路程為1千米，速度為千米/分，
因此走這段路所用時間為．
故答案為：14．
18. 如圖，在中，是的中線，將沿直線翻折，點是點B的對應點，點E是線段上的點，如果，那么的長是__．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，證得得到是解題的關鍵．
根據旋轉的性質可得進而可得，然后證明可得，最后根據勾股定理即可解答．
【詳解】解：如圖：∵是由翻折，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
在中, ．
故答案為：．
三、解方程（組）
19.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程和解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步驟．先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行求解即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
檢驗，當時，，
∴是原方程的解，
當時，，
∴不是原方程的解．
20.
【答案】，，，
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程，用換元法求解即可．
【詳解】解：設，
則原方程變?yōu)椋?br>∴，
∴，．
當時，解得，．
當時，解得，．
21.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解無理方程，掌握解無理方程的技巧和解一元二次方程是解題的關鍵．
根據方程的特點可以構造平方差公式，進而轉化為一元二次方程，解一元二次方程即可，最后根據無理方程的特點，要進行檢驗．
【詳解】解：①
設②，
得：，
解得：，
∴
∴③，
得：，
兩邊同時平方，得：，
整理得：
解得：，
檢驗，當時，，
∴是原方程的解，
當時，，不符合題意，舍去，
∴原方程的解為．
22.
【答案】或或或．
【解析】
【分析】本題考查了解二元二次方程組，通過因式分解轉化為二元一次方程組求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
或或或，
解得或或或．
23.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用換元法解分式方程，利用換元法把分式方程化為整式方程是解決本題的關鍵，注意檢驗．
設，則將原，求出a的值，再將a的值代入①，求出b的值，進而得出，即可求解．
【詳解】解：設，
∴，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程組的解為．
四、解答題
24. 學校組織為貧困地區(qū)兒童捐資助學的活動，其中甲班和乙班捐款總額分別為1000元和900元．已知甲班比乙班少5名學生，而甲班的人均捐款額比乙班的人均捐款額多5元．問甲班和乙班各有多少名學生？
【答案】甲班有40名學生，則乙班有45名學生．
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應用，找出等量關系是解答本題的關鍵．設甲班有x名學生，則乙班有名學生，根據甲班的人均捐款額比乙班的人均捐款額多5元列方程求解即可．
【詳解】解：設甲班有x名學生，則乙班有名學生，由題意得
，
解得，（舍去）．
經檢驗是原方程的解且符合題意，
名．
答：甲班有40名學生，則乙班有45名學生．
25. 如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B，，，將沿直線翻折，點O的對應點C恰好落在雙曲線上．
（1）求k的值；
（2）如果將繞的中點旋轉得到．
①請直接寫出點P的坐標；
②請判斷點P是否在雙曲線上，并說明理由．
【答案】（1）
（2）①P點坐標，②點P在雙曲線上，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數綜合，軸對稱的性質，旋轉的性質，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．
（1）根據翻折的性質得出，則，設，得出， ，聯立求出x和y的值，再用待定系數法，即可求出k的值；
（2）①設中點D，根據中點坐標公式得出 ，設P點坐標，根據中心對稱的性質，列出方程組，求出a和b的值，即可得出點P的坐標；②求出當時，的函數值，即可判斷．
【小問1詳解】
解：∵沿直線翻折得到，
∴，
∴，
設，
∵，，
∴，
∴， ，
聯立得：
，
解得 ，
∴，
把代入得：；
【小問2詳解】
解：①設中點為D，
∵，，
∴點D坐標橫坐標，點D縱坐標，
∴ ，
設P點坐標，
∵，
∴ ，
解得∶ ，
∴P點坐標為；
②由①可知，，
∴雙曲線的表達式為，
當時，，
∴點P在雙曲線上．
26. 已知在中，，，斜邊的中點為P點，動點D、E分別在邊、上，且．
（1）求證：；
（2）設，，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）若為等腰三角形，請直接寫出的長．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）2或或4
【解析】
【分析】（1）過點P作，，可得四邊形矩形，得到，結合，可得，根據三角形中位線性質可得， ，得到，可得，得到；
（2）根據中點性質可得，結合，得到，可證矩形是正方形，得到，根據勾股定理得到，根據，得到；
（3）連接，根據等腰直角三角形性質可得，，得到，結合，證得，可知是等腰三角形，當時，點D與點A重合，可得；，成立；當時，，可得，點D與點F重合，得到．
【小問1詳解】
如圖1，過點P作，，
則，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵P是中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
如圖1，∵F是中點，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
即；
【小問3詳解】
如圖2，連接，
∵，，
∴，
∵P是中點，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當是等腰三角形時，也是等腰三角形，
當時，，
∴點D與點A重合，
∴；
當時，成立；
當時，，
∴，點D與點F重合，
∴．
綜上，的長為 ：2或或4．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形綜合．熟練掌握等腰直角三角形性質和判定，三角形中位線判定和性質，全等三角形判定和性質，等腰三角形性質，勾股定理解直角三角形，分類討論，是解決問題的關鍵．

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