數(shù)學(xué)
時(shí)間：120分鐘 滿(mǎn)分：150分
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.
第I卷選擇題
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. [—1，7]
C. D. （2，4）
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式、絕對(duì)值不等式求集合A、B，再由集合的交運(yùn)算求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，，或，
所以或.
故選：A
2. 若古典概型的樣本空間，事件，事件，相互獨(dú)立，則事件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)與是否相等判斷事件是否獨(dú)立，得到答案.
【詳解】由題意得，
A選項(xiàng)，，，故，
所以，故事件相互獨(dú)立，A正確；
B選項(xiàng)，，，故，
所以，故事件不相互獨(dú)立，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，，故，
所以，故事件不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，，故，
所以，故事件不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤；
故選：A
3. 已知是兩個(gè)平面，，是兩條直線(xiàn)，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A. 如果，，那么
B. 如果，，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，， ，那么
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合空間中的線(xiàn)面位置關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A:由面面平行的定義可得與沒(méi)有公共點(diǎn)，即，故A正確；
對(duì)于B:如果，，那么在內(nèi)一定存在直線(xiàn)，又，則，故B正確；
對(duì)于C:如果，，那么根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得 ，故C正確;
對(duì)于D；如果，，則或，又，那么與可能相交，也可能平行，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
4. 在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理得到，由為銳角三角形，得到，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得解.
【詳解】由正弦定理得，即，
又為銳角三角形，，
又，則，
解得，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故，所以.
故選：C
5. 已知直線(xiàn)：的傾斜角為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由題意求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，
則，解得，或（舍），
所以
故選：B
6. 英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性為事件B，被檢測(cè)者患病為事件A，未患病為事件，
則，，，，
故，
則所求概率為.
故選：C.
7. 已知三棱錐的體積是是球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理得到外接圓半徑，由余弦定理得到，由三角形面積公式得到，結(jié)合三棱錐體積得到球心到底面的距離，得到球的半徑，得到表面積.
【詳解】因?yàn)?，所以的外接圓半徑為，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
設(shè)球心到平面的距離為，
∵，
，
球半徑，所以球面積.
故選：A
8. 已知過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為點(diǎn)，，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的傾斜角為，若，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先求直線(xiàn)的傾斜角和直線(xiàn)方程，再聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，即可求解.
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，
由條件可知直線(xiàn)的傾斜角為，則直線(xiàn)的傾斜角為，
由，，所以,
設(shè)直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為，
聯(lián)立，得，
易知，則，
而，得.

故選：B
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若（為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的為（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A，，則，
所以，故A正確；
對(duì)于B，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，
所以，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù)（），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則是的圖像的對(duì)稱(chēng)中心
B. 若恒成立，則最小值為2
C. 若在上單調(diào)遞增，則
D. 若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】選項(xiàng)A：若，則，
由正弦函數(shù)的圖象可知是的圖像的對(duì)稱(chēng)中心，A說(shuō)法正確；
選項(xiàng)B：若恒成立，則，解得，
又，所以的最小值為2，B說(shuō)法正確；
選項(xiàng)C：令，顯然在上單調(diào)遞增，且，
若在上單調(diào)遞增，則，解得，所以，C說(shuō)法正確；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，
若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，D說(shuō)法錯(cuò)誤；
故選：ABC
11. 已知定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為6B. 函數(shù)在上遞增
C. D. 方程有4個(gè)根
【答案】BC
【解析】
【分析】由題設(shè)可得最小正周期為4，可判斷A，B，C；根據(jù)已知區(qū)間解析式畫(huà)出圖象，再畫(huà)出的圖象判斷交點(diǎn)情況即知D的正誤.
【詳解】令等價(jià)于，所以，
所以，所以，
所以函數(shù)的最小正周期為4，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為4，所以函數(shù)在上的單調(diào)性與單調(diào)性相同，故B正確；
又因?yàn)椋?，令時(shí)，則，
令時(shí)，則，又，
所以，
，故C正確；
又當(dāng)時(shí)，，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性與周期性作出函數(shù)的圖象，如圖，

作出的圖象，由圖知兩函數(shù)共有5個(gè)交點(diǎn)，
可得方程有5個(gè)根，則D錯(cuò)誤；
故選：BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：
（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)；
（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng).
第II卷非選擇題
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，滿(mǎn)足，，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量是數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】由可知，，
即，得，
.
故答案為：
13. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.
【答案】10
【解析】
【分析】由已知條件計(jì)算出和公差，再根據(jù)等差數(shù)的前項(xiàng)和公式求解即可.
【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，即，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，，
所以公差，所以，
所以.
故答案為：10
14. 在中，，，于，若為的垂心，且.則到直線(xiàn)距離的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用垂心的性質(zhì)，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合求距離的最小值.
【詳解】設(shè)，由可知，，又，，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)為的垂心，所以，
即，即()，
聯(lián)立，得，得，
則直線(xiàn)與橢圓相離，如圖，
設(shè)直線(xiàn)與橢圓相切，
聯(lián)立，得，
令，得，
由圖可知，與橢圓相切的切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最近，
此時(shí)最近距離為平行線(xiàn)和間的距離，即.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 遠(yuǎn)程桌面連接是一種常見(jiàn)的遠(yuǎn)程操作電腦的方法，除了windws系統(tǒng)中可以使用內(nèi)置的應(yīng)用程序，通過(guò)輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過(guò)向日葵，anyviewer等遠(yuǎn)程桌面軟件，雙方一起打開(kāi)軟件，通過(guò)軟件隨機(jī)產(chǎn)生的對(duì)接碼，安全的遠(yuǎn)程訪問(wèn)和控制另一臺(tái)電腦.某遠(yuǎn)程桌面軟件的對(duì)接碼是一個(gè)由“1，2，3”這3個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.
（1）求滿(mǎn)足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)接碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）150；
（2）分布列見(jiàn)解析，.
【解析】
【分析】（1）分兩種情況討論：①當(dāng)對(duì)接碼中一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，另外兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次；②當(dāng)對(duì)接的中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)1次，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解；
（2）隨機(jī)變量的取值為1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率可得分布列，再根據(jù)期望公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)對(duì)接碼中一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，另外兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí)，
種數(shù)為：，
當(dāng)對(duì)接的中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)1次時(shí)，
種數(shù)為：，
所有滿(mǎn)足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)為150.
【小問(wèn)2詳解】
隨機(jī)變量的取值為1，2，3，其分布為：
，，
，
故的分布列為：
故.
16. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程；
（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和最小值，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到答案.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>則，則，
由于函數(shù)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，即
則令，設(shè)，
令，解得：；令，解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，解得：.
17. 如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角最大？
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，結(jié)合條件可得，然后利用線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；
（2）利用坐標(biāo)法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槿切问堑冗吶切危褽是中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面平面?br>所以平面，
又因?yàn)槊妫?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，即，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)F是中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得，
設(shè)，則、
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，有，
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角最大．
18. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線(xiàn)，，的斜率滿(mǎn)足．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
（3）橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；
（2）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗(yàn)證即可；
（3）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)得，解得，
所以的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可設(shè)，設(shè)，，
由，整理得，
．
由韋達(dá)定理得，，
由得，
即，
整理得，
因?yàn)?，得，解得或?br>時(shí)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，不合題意，舍去；
時(shí)，滿(mǎn)足，
所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．
【小問(wèn)3詳解】
）由（2）得直線(xiàn)，所以，
由，
整理得，，
由題意得，
因?yàn)?，所以，所以?br>令，，
所以，在上單調(diào)遞減，
所以的范圍是．

19. 若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿(mǎn)足（，且，就稱(chēng)該數(shù)列為“數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的數(shù)列，且成等比數(shù)列，，試寫(xiě)出的每一項(xiàng)；
（2）已知是項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為100，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？
（3）對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫(xiě)出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求這些數(shù)列的前2024項(xiàng)和.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）當(dāng)或25時(shí)，取得最大值2500.
（3）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）理解“數(shù)列”的定義，結(jié)合等比數(shù)列的基本量即可得解；
（2）解法一：利用“數(shù)列”的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求得，從而得解；解法二：利用前項(xiàng)和求得最大值的特征分析“數(shù)列”即可得解；
（3）根據(jù)題意列出滿(mǎn)足的“數(shù)列”，再利用分組求和法與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的公比為，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為；
綜上，數(shù)列或.
【小問(wèn)2詳解】
解法一：因?yàn)闃?gòu)成首項(xiàng)為100，公差為的等差數(shù)列，
所以
，
又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.
解法二：當(dāng)該數(shù)列恰或時(shí)取得最大值，
此時(shí)或，
所以當(dāng)或25時(shí)，.
【小問(wèn)3詳解】
依題意，所有可能的“數(shù)列”是：
①；
②；
③
④
對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
；
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.1
2
3

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