2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考前必刷卷01（基礎(chǔ)卷）（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·福建漳州·一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末．如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（）
A．4B．2C．8D．6
3．（22-23高一下·廣東深圳·期中）在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）

A．B．C．D．
4．（23-24高一下·重慶萬州·階段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象?新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了（如圖乙），測得，若點(diǎn)恰好在邊上，請幫忙計(jì)算的值（）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（）
A．B．C．D．
6．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點(diǎn)在線段與線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
8．（2024·海南·模擬預(yù)測）當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時(shí)，聲波會(huì)形成一個(gè)以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機(jī)的速度、音速滿足關(guān)系式.若一架飛機(jī)以2倍音速沿直線飛行，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為（）

A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù) (為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
B．
C．
D．
10．（21-22高一下·全國·期末）在正方體中，，，過E，F(xiàn)的平面將正方體截成兩部分，則所得幾何體可能是（）
A．三棱錐B．直三棱柱C．三棱臺D．四棱柱
11．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）下列說法中正確的有（）
A．
B．已知在上的投影向量為且，則
C．若非零向量滿足，則與的夾角是
D．已知，，且與夾角為銳角，則的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，與關(guān)于軸對稱，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是．
13．（2024·四川成都·二模）已知向量，，若，則 .
14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，已知是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，則周長的最小值為．

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）若復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)
(1)z是實(shí)數(shù)；
(2)z對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．
16．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值；
17．（22-23高二上·上海閔行·期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體中，已知，.
(1)求證：四棱錐是一個(gè)“陽馬”，并求該“陽馬”的體積；
(2)求該“陽馬”的外接球的表面積.
18．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）在①，②中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問題中，并作答.
問題：在中，角、、所對的邊分別為、、，已知_________.
(1)求；
(2)若的外接圓半徑為2，且，求.
注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
19．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖：在中，已知與交于點(diǎn)．

(1)用向量表示向量；
(2)過點(diǎn)作直線，分別交線段于點(diǎn)，設(shè)，若，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求模長．
高一下期中考前必刷卷01（基礎(chǔ)卷）
高一數(shù)學(xué)
（考試時(shí)間：150分鐘試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得所以.
故選：C.
2．（2024·福建漳州·一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末．如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（）
A．4B．2C．8D．6
【答案】A
【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，
則石磨的側(cè)面積為，解得.
故選：A.
3．（22-23高一下·廣東深圳·期中）在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)圖形特征進(jìn)行向量運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)?，?br>所以.
故選：C
4．（23-24高一下·重慶萬州·階段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象?新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了（如圖乙），測得，若點(diǎn)恰好在邊上，請幫忙計(jì)算的值（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在中，由余弦定理求出，再在中，由得出，即可.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得，，在中，由得，
故選：D.
5．（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)斜二測畫法的公式，畫出復(fù)原圖即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為建立坐標(biāo)系如左圖，
因?yàn)樾倍y直觀圖為矩形，，,
則，
可得原圖中（右圖），,
,
四邊形的面積為.
故選：D.
6．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)體積可求正四棱錐的高，再結(jié)合外接球球心的性質(zhì)可求其半徑，故可求外接球的表面積.
【詳解】
如圖，設(shè)在底面的射影為，則平面，
且為的交點(diǎn).
因?yàn)檎睦忮F底面邊長為4，故底面正方形的面積可為，且，
故，故.
由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，
則，故，故，
故正四棱錐的外接球的表面積為，
故選：B.
7．（2024·湖南邵陽·二模）“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，.點(diǎn)在線段與線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出，，，四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量，的坐標(biāo)，即可表示出，進(jìn)而可求得其范圍．
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
易知，，，
當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，其中，
所以，，
則，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，且,
則，故，，
則，
因?yàn)?，所以，綜上，的取值范圍為.
故選：C.
8．（2024·海南·模擬預(yù)測）當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時(shí)，聲波會(huì)形成一個(gè)以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機(jī)的速度、音速滿足關(guān)系式.若一架飛機(jī)以2倍音速沿直線飛行，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出半軸截面，解直角三角形得底面圓半徑，進(jìn)而即可得解.
【詳解】如圖所示：

該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓圓心為，為馬赫錐的母線，
由題意，
而是銳角，所以，
又，所以，
該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù) (為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】通過復(fù)數(shù)中，對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，就可判斷A選項(xiàng)的正誤；并通過共軛復(fù)數(shù)的定義得到，就可判斷B選項(xiàng)的正誤；然后通過復(fù)數(shù)的乘法和除法公式，分別計(jì)算和，即可判斷選項(xiàng)C和D的正誤.
【詳解】因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)，而共軛復(fù)數(shù)
對于選項(xiàng)A，復(fù)數(shù)，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故A正確；
對于選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，，故C正確；
對于選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．（21-22高一下·全國·期末）在正方體中，，，過E，F(xiàn)的平面將正方體截成兩部分，則所得幾何體可能是（）
A．三棱錐B．直三棱柱C．三棱臺D．四棱柱
【答案】ABC
【分析】根據(jù)已知結(jié)合平面圖形分別分析即可得出.
【詳解】如圖，連接，則平面可截得三棱錐，故A正確；
如圖，過作，過作，則過E，F(xiàn)的平面可截得直三棱柱，故B正確.
如圖，延長至，連接，分別與交于兩點(diǎn)，則可得平面截得三棱臺，故C正確；
因?yàn)閷⑺倪呅畏殖梢粋€(gè)三角形和一個(gè)五邊形，所以不可能得到四棱柱，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）下列說法中正確的有（）
A．
B．已知在上的投影向量為且，則
C．若非零向量滿足，則與的夾角是
D．已知，，且與夾角為銳角，則的取值范圍是
【答案】ABC
【分析】利用向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量投影向量的定義可判斷B；運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合夾角公式可判斷C；判斷與平行時(shí)的取值可判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?br>所以，故A正確；
對于B，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以?br>又，所以，則，故B正確；
對于C，因?yàn)榉橇阆蛄繚M足，
則，即有，
所以，又，
所以與的夾角的余弦值為，
又，可得與的夾角為，故C正確；
對于D，因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)與平行時(shí)，，解得，
此時(shí)與的夾角不為銳角，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，與關(guān)于軸對稱，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是．
【答案】
【分析】
由對稱性結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
【詳解】
設(shè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)為，
因?yàn)橄蛄繉?yīng)的復(fù)數(shù)為，所以對應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)為，
因?yàn)榕c關(guān)于軸對稱，所以．
即向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)辄c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是．
故答案為：.
13．（2024·四川成都·二模）已知向量，，若，則 .
【答案】/
【分析】
首先求出的坐標(biāo)，再由向量垂直得到，即可求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以.
故答案為：
14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，已知是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，則周長的最小值為．

【答案】/
【分析】
將分別沿展開到與平面共面的位置，由此可得所求最小值為，利用余弦定理可求得結(jié)果.
【詳解】
將分別沿展開到與平面共面的位置，如下圖所示，其中點(diǎn)為原來的點(diǎn)，

的周長（當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號），
，
，
，
，即周長的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）若復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)
(1)z是實(shí)數(shù)；
(2)z對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．
【答案】(1)或
(2)
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的分類，即可求解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可列不等式求解．
【詳解】（1）
因?yàn)?，是?shí)數(shù)，
則，解得或；
（2）
若對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
則，解得，
即的取值范圍為．
16．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.
(1)求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，
則.
（2）解：因?yàn)?，所以?
即，即，
可得，即，解得.
17．（22-23高二上·上海閔行·期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體中，已知，.
(1)求證：四棱錐是一個(gè)“陽馬”，并求該“陽馬”的體積；
(2)求該“陽馬”的外接球的表面積.
【答案】(1)證明見解析，4
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面，且是矩形，可證明四棱錐是“陽馬”，根據(jù)錐體的體積公式可求其體積；
（2）根據(jù)長方體的外接球即為四棱錐的外接球，長方體的對角線就是外接球的直徑，結(jié)合球體的表面積公式求解.
【詳解】（1）因?yàn)殚L方體中，平面，且是矩形，
所以四棱錐中，底面是矩形，且側(cè)棱底面，
所以四棱錐是一個(gè)“陽馬”，
體積；
（2）長方體的外接球即為四棱錐的外接球，
因?yàn)椋?
長方體的對角線長為，
則長方體的外接球的半徑，
該“陽馬”外接球的表面積為.
18．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）在①，②中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問題中，并作答.
問題：在中，角、、所對的邊分別為、、，已知_________.
(1)求；
(2)若的外接圓半徑為2，且，求.
注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)
【分析】
（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化，即可結(jié)合三角恒等變換求解，
（2）根據(jù)余弦的和差角公式可得，進(jìn)而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.
【詳解】（1）
選擇條件①：因?yàn)椋?br>在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
則，
因?yàn)椋?
選擇條件②：因?yàn)?，由正弦定理得?br>.
即，
則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?
（2）
因?yàn)?，所以，即?br>即，又因?yàn)椋?br>所以.
由于的外接圓半徑為，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以.
19．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖：在中，已知與交于點(diǎn)．

(1)用向量表示向量；
(2)過點(diǎn)作直線，分別交線段于點(diǎn)，設(shè)，若，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求模長．
【答案】(1)
(2)5
【分析】
（1）設(shè)，將向量分別用和表示，根據(jù)三點(diǎn)共線可求的值；；
（2）將向量用表示，由三點(diǎn)共線，可得，由基本不等式可解.
【詳解】（1）
設(shè)，將代入，
得,因?yàn)槿c(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，
所以，得
即．
（2）
，
則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，
則，即
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號．
此時(shí)
.

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