時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.
3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知i是復(fù)數(shù)單位，求=（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
【詳解】由.
故選：B
2. 已知向量，，，若，則（ ）
A. 3B. -1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用共線向量的坐標(biāo)表達(dá)式即得.
【詳解】由，，又由，可得：，解得.
故選：A.
3. 在中，，則（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角可得A>B，結(jié)合正弦定理和三角形內(nèi)角的范圍即可得出結(jié)果.
【詳解】在中，根據(jù)大邊對(duì)大角可得A>B，
由正弦定理，得，
所以，故或.
故選：D
4. 若向量，且，則（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算.
【詳解】，，
由，得，
解得.
故選：B．
5. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，即可求出、，再根據(jù)函數(shù)的周期求出，最后根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出，即可得解.
【詳解】依題意可得，解得，又，
所以，解得，
所以，又函數(shù)過點(diǎn)，所以，
即，所以，，所以，，
又，所以，
所以.
故選：A
6. 式子的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由正余弦的倍角公式、誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值.
【詳解】由，，
∴，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值，屬于簡(jiǎn)單題.
7. 在中，，，，為邊上的高，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形面積結(jié)合余弦定理可求得，可得，再利用向量的線性運(yùn)算表示出和比較，即可求得答案.
【詳解】由題意可知,
為邊上的高，故,
由余弦定理得，
故，所以,
則，結(jié)合，
可得，
故選：C
8. 在銳角中，若，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，可得；再結(jié)合正弦定理余弦定理，將中的角化邊，化簡(jiǎn)整理后可求得；根據(jù)銳角和，可推出，，再根據(jù)可得，，于是，最后結(jié)合正弦的兩角差公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解．
【詳解】由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，
，化簡(jiǎn)整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
銳角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范圍為，．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，還涉及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角恒等變換的基礎(chǔ)公式，并運(yùn)用到了角化邊的思想，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 的虛部為B. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. 的共軛復(fù)數(shù)D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)可判斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C；由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷D.
【詳解】，
對(duì)于A，的虛部為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：CD.
10. 下列說法中正確的有（ ）
A.
B. 已知在上的投影向量為且，則
C. 若非零向量滿足，則與的夾角是
D. 已知，，且與夾角為銳角，則的取值范圍是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量投影向量的定義可判斷B；運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合夾角公式可判斷C；判斷與平行時(shí)的取值可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以?br>又，所以，則，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)榉橇阆蛄繚M足，
則，即有，
所以，又，
所以與的夾角的余弦值為，
又，可得與的夾角為，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋裕?br>當(dāng)與平行時(shí)，，解得，
此時(shí)與的夾角不為銳角，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則為等腰三角形
B. 在銳角中，不等式恒成立
C. 若，，且有兩解，則b的取值范圍是
D. 若，的平分線交于點(diǎn)D，，則的最小值為9
【答案】BCD
【解析】
【分析】A項(xiàng)，用余弦定理統(tǒng)一成邊形式化簡(jiǎn)判斷；B項(xiàng)， 由為銳角三角形，與正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；C項(xiàng)，結(jié)合圖形，根據(jù)邊角的關(guān)系與解的數(shù)量判斷；D項(xiàng)，根據(jù)三角形面積可得到，將變?yōu)?，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋矗?br>所以有
整理可得，所以或，
故為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，若為銳角三角形，所以，所以，
由正弦函數(shù)在單調(diào)遞增，則，故B正確.
選項(xiàng)C，如圖，若有兩解，則，
所以，則b的取值范圍是，故C正確．
選項(xiàng)D，的平分線交于點(diǎn)D，，
由，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
得，
即，得，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故D正確.
故選：BCD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 2sin222.5°－1＝________.
【答案】－
【解析】
【詳解】2sin222.5°－1＝-cs45°，
答案：－.
13. 已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，利用整體法即可求解.
【詳解】，
由于，則，
故,
解得，由得，
故，，
故答案為：
14. 已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為 _________
【答案】3
【解析】
【分析】首先由得到，進(jìn)而將化為，再根據(jù)兩向量的內(nèi)積不超過兩向量的模長(zhǎng)乘積，得到，最后給出一個(gè)滿足的例子即可.
【詳解】由四邊形是菱形，知，，記兩對(duì)角線交于，
則由勾股定理有.
又由于，故，
從而.
而當(dāng)菱形滿足邊長(zhǎng)為2，，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)：
此時(shí)是正三角形，故.
從而此時(shí)有
，
故條件滿足.
此時(shí).
綜上，的最大值是.
故答案為：3.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：值得一提的是，我們證明時(shí)沒有使用條件，但是這并不意味著我們可以完全無視該條件，因?yàn)樵隍?yàn)證能夠成立時(shí)，依然需要注意是否能夠滿足.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.
15. 已知向量．
（1）若，求的坐標(biāo)；
（2）若，求與的夾角．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求解即可；
（2）利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積及向量夾角公式得解.
【小問1詳解】
由題意，設(shè)，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以或．
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以，
即，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以，所以與的夾角．
16. 在銳角中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求角的值：
（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到，求得，即可求解；
（2）由余弦定理得到，代入已知條件，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得 ，
即，
即,
又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋傻?，所以?br>又由，所以.
【小問2詳解】
解：根據(jù)（1）知，可得，
由余弦定理可知，
因?yàn)椋傻?，解得?br>所以三角形面積為
17. 已知向量，（），函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若是函數(shù)的任意兩個(gè)相異零點(diǎn)，且的最小值為，求函數(shù)在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而用整體法求解函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)零點(diǎn)及的最小值為得到，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)在上的值域.
【小問1詳解】
由已知
.
當(dāng)時(shí)，，令，
解得：，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
小問2詳解】
由（1）知，令，得，
所以，.
當(dāng)最小時(shí)，不妨取，，即，，則.
因?yàn)?，則，故.
因?yàn)?，所以，?br>所以函數(shù)在上的值域?yàn)?br>18. 在直角梯形中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上，且，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）求向量的夾角；
（3）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出和；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律即可求解.
（2）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出即可解答.
（3）先根據(jù)表示出；再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得出；最后根據(jù)即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，
依題意知，，，.
則， .
因?yàn)椋?br>，
.
所以.
因此.
因?yàn)椋?，，
所以，，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知.
因?yàn)椋?br>所以；
.
則.
因?yàn)椋?，
所以，
故向量的夾角為.
【小問3詳解】
由（2）可知：
，
.
則.
因?yàn)椋?，
所以
,
由題意知，，
所以的取值范圍是，
∴的取值范圍是．
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
（1）求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；
（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.
小問1詳解】
由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小問2詳解】
由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
則
.
【小問3詳解】
點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問，解答第二問的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.

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