湖北省武昌實驗中學2023-2024學年高一下學期3月月考數(shù)學試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

命題教師：高一數(shù)學組考試時間：2024年3月25日下午15：00—17：00
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 的大小關系是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把弧度轉化成角度，利用三角函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值，確定、、的取值范圍，即可比較大小.
【詳解】因為，所以弧度為第一象限角，
在第一象限，單調(diào)遞增，所以；
在第一象限，單調(diào)遞減，所以，
在第一象限，單調(diào)遞增，所以；
綜上所述，有.
故選：B
2. 若向量的夾角為，，若，則實數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由兩邊平方得，結合條件可得，又由，可得，即可得出答案.
【詳解】由兩邊平方得.
即，也即，所以.
又由，得，即.
所以
故選：A
【點睛】本題考查數(shù)量積的運算性質(zhì)和根據(jù)向量垂直求參數(shù)的值，屬于中檔題.
3. 已知向量，，若在上的投影向量，則向量與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量求出，再求向量與的夾角.
【詳解】設向量與的夾角為，與同向的單位向量為，
∵在上的投影向量為，，
∴，
∴， ∴，
所以，
∵，∴，
∴與的夾角為，
故選：C.
4. 一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依據(jù)題給條件去求一個函數(shù)解析式即可解決.
【詳解】設點P距離水面高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為
由，可得，由，可得
由t=0時h=0，可得，則，又，則
則點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為
故選：A
5. 如圖，在中，設，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結合圖形由向量的線性運算可得.
【詳解】因為，
所以，，
又因為，
所以，
所以，
故選：C.
6. 已知為銳角，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角正切公式，同角關系化簡，求，再求，再由兩角差的正切公式求.
【詳解】因為，所以，
所以，
又為銳角，，
所以，
解得，
因為為銳角，所以，
又
所以.
故選：A.
7. 已知函數(shù)的圖象關于原點對稱，且在區(qū)間上是減函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則ω的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，確定的取值，解得，令，結合已知條件根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，取值情況得到關于的不等式，求解即可.
【詳解】
因為函數(shù)的圖象關于原點對稱，
所以，又因為，所以，
所以；
令，因為，則，即，
的減區(qū)間為，
又在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以是區(qū)間的子集，
因，所以，，
只有時區(qū)間是由負到正，所以有：
，，解得；
因為函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，
相當于，在上只有一個最小值，
所以有：，，解得；
綜上取交集有：，解得.
故選：D
8. 在中，的最大值為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法：利用，得出，然后利用輔助角公式以及二倍角公式可得出的最大值；
解法：由積化和差公式得出，然后利用和輔助角公式可得出的最大值.
【詳解】法1：
，
當且僅當，時，等號成立，
因此，的最大值為，故選B；
法2：，
當且僅當，時，等號成立，
因此，的最大值為，故選B.
【點睛】本題考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等變換中的一些變形技巧，解題時要注意化異角為同角，充分利用輔助角公式來求解，考查運算求解能力，屬于難題.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列四個等式中正確的是（）
A.
B.
C. 已知函數(shù)，則的最小正周期是
D. 已知，，則的最小值為
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)展開化簡得到A正確，利用三角恒等變換得到B正確，計算得到C錯誤，均值不等式等號成立條件不成立，D錯誤，得到答案.
【詳解】，
即，A正確；
，B正確；
，C錯誤；
，
即，
，
當且僅當時等號成立，
即，，方程無解，故D錯誤.
故選：AB.
10. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先計算得到，，再利用
展開得到答案.
【詳解】，，
；
，；
當，所以，
當，所以，
故選：CD.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)值的計算，變換是解題的關鍵.
11. 對于函數(shù)，，下列說法正確的是（）
A. 對任意的，的最大值為1
B. 當時，值域中只有一個元素
C. 當時，在內(nèi)只有一個零點
D. 當時，的值域為
【答案】BD
【解析】
【分析】
取利用輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得出，從而判斷A；由平方關系判斷B；由得出，結合函數(shù)在圖象的交點個數(shù)判斷C；根據(jù)二倍角公式化簡解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出值域判斷D.
【詳解】對于A項，當時，，，故A錯誤；
對于B項，，即的值域為，故B正確；
對于C項，由，解得，函數(shù)在的圖象如下圖所示
由圖可知，函數(shù)在內(nèi)有兩個交點，即在內(nèi)有2個零點，故C錯誤；
對于D項，，因為，所以，即的值域為，故D正確；
故選：BD
【點睛】關鍵點睛：本題在解決C項時，關鍵是將函數(shù)的零點個數(shù)轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，從而得出零點個數(shù).
三、填空題：本題共3小題每小題5分，共15分．
12. 已知，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用將條件整理可得從而可得解.
【詳解】，
，
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的兩角和差的展開公式，解題的關鍵是配湊出“”，屬于難題.
13. 若，且，，則的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先由降冪公式得到，再由同角三角函數(shù)關系得到和，然后經(jīng)過拆角和余弦展開式化簡得到結果.
【詳解】，
所以，
因為，所以，所以，
因為，所以，
又，所以，
所以，
因為，
所以，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，M，N是直線與曲線的兩個交點，且，則的值為_________
【答案】
【解析】
【分析】由圖像確定，設出，結合確定，再代入得到，最后代入求值即可.
【詳解】由圖像可知，
設，
由可得，
令，可得，
則，
把代入結合五點法可得，
所以，
故答案為：.
四、解答題、本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知，，且．當為何值時，
（1）向量與互相垂直；
（2）向量與平行.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件結合數(shù)量積運算求出，根據(jù)向量垂直列式求解；
（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小問1詳解】
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
若向量與互相垂直，則，
∴，
∴，
∴，解得或.
【小問2詳解】
因為，即，
則，所以不共線，
若向量與平行，則存在實數(shù)使得成立，
所以且，解得.
16. 已知函數(shù)．
求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞減區(qū)間；利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，由可得結合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的值域．
【詳解】函數(shù)，
當時,解得：，
因此，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．
將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，
再將所得的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，
，，
的值域為．
【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：若,把看作是一個整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間.
17. 已知向量，，函數(shù)
， .
（1）若的最小值為-1，求實數(shù)的值；
（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)即可．
（2）求出函數(shù)的表達式，利用換元法結合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行討論求解即可．
（3）由=0得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．
試題解析：
（1）∵，
，
∴ ，
∵∴，
，令，
∴∵，對稱軸為，
①當即時，當時， ∴舍，
②當即時，當時， ∴，
③當即是，當時， ∴舍，
綜上， .
（2）令，即，
∴或，∵，有四個不同的零點，
∴方程和在上共有四個不同實根，
∴∴∴.
18. 某工廠有甲、乙兩生產(chǎn)車間，其污水瞬時排放量（單位：）關于時間（單位：）的關系均近似地滿足函數(shù)，其圖象如圖所示：
（1）根據(jù)圖象求函數(shù)解析式；
（2）若甲車間先投產(chǎn)，1小時后乙車間再投產(chǎn)，求該廠兩車間都投產(chǎn)時刻的污水排放量；
（3）由于受工廠污水處理能力的影響，環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時刻的污水排放量之和不超過，若甲車間先投產(chǎn)，為滿足環(huán)保要求，乙車間比甲車間至少需推遲多少小時投產(chǎn)？
【答案】(1) ;(2) ;(3) 至少需推遲小時投產(chǎn).
【解析】
【分析】(1)由圖可得:,利用周期公式可求出,代入求出,即可得函數(shù)解析式;
(2) 該廠時刻的排污量為甲乙兩車間排污量之和，可得時刻的排污量:，化簡即可得出;
(3) 設乙車間至少比甲車間推遲小時投產(chǎn),
據(jù)題意得，,
化簡可得,借助輔助角可知化簡即可得出,,借助圖象性質(zhì)即可得解．
【詳解】由圖可得:
由過點可得:
所求函數(shù)的解析式為.
(2)該廠時刻的排污量為甲乙兩車間排污量之和，此時甲車間排污量為乙車間為,根據(jù)題意可得時刻的排污量:
(3)設乙車間至少比甲車間推遲小時投產(chǎn)，根據(jù)題意可得:
由函數(shù)周期性知,可得:
所以為滿足環(huán)保要求,乙車間比甲車間至少需推遲小時投產(chǎn).
【點睛】本題考查由的部分圖象確定其解析式,及的圖象性質(zhì)在實際問題中的應用,難度較難.
19. 已知函數(shù)，若存在實數(shù)m、k（），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對．
（1）若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對；
（2）若m＝1，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
（3）若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）是（3）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)“平衡數(shù)對”定義建立方程，根據(jù)恒成立求解即可；
(2) 時,判斷是否存在使等式恒成立，利用三角函數(shù)化簡求解即可；
(3)根據(jù)“平衡數(shù)對”的定義將用關于的三角函數(shù)表達,再利用三角函數(shù)的取值范圍求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知對于任意實數(shù),,
即,即對于任意實數(shù)恒成立,
只有,,故函數(shù)的“平衡”數(shù)對為,
【小問2詳解】
若,則,
,
要使得為“可平衡”函數(shù),需使對于任意實數(shù)均成立,只有,
此時,,故存在,所以是“可平衡”函數(shù).
【小問3詳解】
假設存在實數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意均有
則
均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，
，函數(shù)單調(diào)遞增，
即的取范圍為

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