廣東省江門市第一中學2023-2024學年高一啟超學院創(chuàng)新班下學期3月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單項選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分）
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡集合，再根據(jù)交集的定義即可求解.
【詳解】因為，
所以.
故選：B
2. 命題“”的否定為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)存在命題的否定為全稱命題分析即可.
【詳解】命題“”的否定為“”.
故選：B
3. 設(shè)、、為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、D，利用特例說明B，利用作差法判斷C.
【詳解】因為、、為實數(shù)，且，
所以，，，，故A錯誤，D正確；
當時，故B錯誤，
因為，所以，故C錯誤；
故選：D
4. 如圖所示，兩個大圓和一個小圓分別表示集合、、，它們是的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】題圖中的陰影部分是的子集，但該子集中不含集合中的元素，且該子集包含于集合的補集，用關(guān)系式表示出來即可．
【詳解】由圖知，首先陰影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的補集中，
可得陰影部分所表示的集合是或.
故選：C.
5. 的最小值等于（）
A. 3B. C. 2D. 無最小值
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式計算可得.
【詳解】因為，則，所以，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值等于.
故選：A
6. 定義運算，則函數(shù)的部分圖象大致是（）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)運算得到函數(shù)解析式作圖判斷.
【詳解】，
其圖象如圖所示：
故選：B
7. 定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】因為定義在上的偶函數(shù)在單調(diào)遞減，
不等式等價于，等價于，
即，解得，即不等式的解集是.
故選：D
8. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”.設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則標為高斯函數(shù).例如：，已知函數(shù)，則下列選項中，正確的是（）
A.
B. 的最大值為1
C. 的最小值為0
D. 在上的值域為
【答案】C
【解析】
【分析】先進行分段化簡函數(shù)，并畫函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象判斷最值情況即可.
【詳解】對于A，，，所以，A錯；
由高斯函數(shù)的定義可得：
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，則，
所以當時，，且每段函數(shù)都是單調(diào)遞減，每段的左端點的函數(shù)值都為1；
當時，，且每段函數(shù)都是單調(diào)遞增，每段的左端點的函數(shù)值都為1；
繪制函數(shù)圖象如圖所示，

對于B，由圖可知，當，沒有最大值，B錯；
對于C，由圖可知，當，的最小值為0，C對；
對于D，由圖可知，在上的值域為，D錯.
故選：C
二、多項選擇題（本題共3小題，每題6分，共18分）
9. 德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（）
A. 的值域為B. 的定義域為
C. ，D. 為偶函數(shù)
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)的定義域、值域和奇偶性逐一判斷即可．
【詳解】因為函數(shù)，所以函數(shù)的定義域為，值域為，故A錯誤，B正確；
因為或且0與1均為有理數(shù)，所以或，故C正確；
函數(shù)，故為偶函數(shù)，D正確．
故選：BCD
10. 已知關(guān)于的不等式的解集為或，則（）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式與的解集相同
【答案】AB
【解析】
【分析】依題意和為方程的兩根，利用韋達定理得到方程組，即可求出、的值，再解一元二次不等式和分式不等式即可.
【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為或，
所以和為方程的兩根，所以，解得，故A正確，B正確；
不等式即，所以，即，
解得或，所以不等式解集為，故C錯誤；
不等式等價于，解得或，故不等式的解集為或，所以D錯誤；
故選：AB
11. 設(shè)函數(shù)，集合，設(shè)，則下列說法正確的是（）.
A. B. 一定等于9
C. 可能等于8D. 時，
【答案】ABD
【解析】
【分析】由解集為正整數(shù)解集可知，，，再結(jié)合，即可判斷各選項.
【詳解】令，則，
因為解集為正整數(shù)解集，而，
當時，；當時，；
當時，，符合正整數(shù)解集.
因只有3個正整數(shù)解，又，所以
對于A，，A對；
對于B，，B對；
對于C，由B選項可知，C錯；
對于D，時，，D對.
故選：ABD.
三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分）
12. 設(shè)，則“”是“ ”的_____條件.（選填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】先解不等式，再根據(jù)充要條件的定義即可判斷.
【詳解】解不等式可得，
因為“”能推出“”， “”不能推出“”，
所以“”是“ ”的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分.
13. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】分，，三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.
【詳解】因為，
當時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，不符合題意，
當時，函數(shù)開口向下，不可能在上單調(diào)遞增，不符合題意，
當時函數(shù)開口向上，對稱軸，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，所以的取值范圍是.
故答案為：
14. 設(shè)集合，，函數(shù).
（1）______；
（2）若，則t的取值范圍是______.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得的值，進而計算可得答案；（2）根據(jù)題意，按的取值范圍分情況討論，分析的取值范圍，求出的解析式，據(jù)此分析的解集，即可得答案．
【詳解】（1）根據(jù)題意，，即，
則，
則；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、當時，，則有，此時，
若，即，解可得：，
此時的取值范圍為，；
②、當時，，則有，
其中當時，，此時，若，即，解可得：，舍去
當時，，此時，若，即，解可得：，
此時的取值為，；
綜合可得：的取值范圍為，．
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應用，涉及函數(shù)值的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，分類討論是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題（本題共5小題，共77分）
15. 已知函數(shù)，，滿足條件，.
（1）求的解析式；
（2）用單調(diào)性的定義證明在上的單調(diào)性，并求在上的最值.
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞減，證明見解析，，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，代入得到方程組，解得即可；
（2）利用定義法證明，再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值.
小問1詳解】
因為且，，
所以，解得，所以.
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞減，證明如下：
由，
設(shè)任意的且，
則
，
因為且，所以，，，
所以，則在上單調(diào)遞減，
所以，.
16. 設(shè)函數(shù)，.
（1）若，，求的最小值；
（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得；
（2）依題意可得在上恒成立，即可得到，解得即可.
【小問1詳解】
因為且，
所以，即，
又，，所以，
當且僅當，即，時取等號，
即的最小值為.
【小問2詳解】
因為在上恒成立，
即在上恒成立，又，
所以在上恒成立，
因為，所以，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
17. 佩戴口罩能起到一定預防新冠肺炎的作用，某科技企業(yè)為了滿足口罩的需求，決定開發(fā)生產(chǎn)口罩的新機器.生產(chǎn)這種機器的月固定成本為萬元，每生產(chǎn)臺，另需投入成本（萬元），當月產(chǎn)量不足70臺時，（萬元）；當月產(chǎn)量不小于70臺時，（萬元）.若每臺機器售價萬元，且該機器能全部賣完.
（1）求月利潤（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）月產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤？并求出其利潤.
【答案】（1）；（2）當月產(chǎn)量為臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，其利潤為萬元.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意分別列出當及時，關(guān)于的解析式即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算當時，的最大值，根據(jù)基本不等式求解當時的最大值，然后比較得出最值.
【詳解】（1）當時，；
當時，
∴
（2）當時，；
當時，取最大值萬元；
當時，，
當且僅當時，取等號
綜上所述，當月產(chǎn)量為臺時，該企業(yè)能獲得最大月利潤，其利潤為萬元.
【點睛】本題考查函數(shù)的實際應用問題，考查基本不等式的實際應用，難度一般.解答時，根據(jù)題目條件列出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
18. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，.
（1）求函數(shù)的解析式并畫出其圖像；

（2）設(shè)函數(shù)在上的最大值為，求.
【答案】（1）；圖象見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義即可求函數(shù)的解析式，并可以畫出圖象，
（2）對進行分類討論，由圖象即可求出函數(shù)的最大值．
【小問1詳解】
由是定義在上的奇函數(shù)，可得，
當時，，
那么，則，
所以
函數(shù)的解析式為，圖象如下：
【小問2詳解】
由圖象可知：
當時，在上單調(diào)遞增，；
時，令，解得，
當時，；
當時， .
所以.
19. 已知函數(shù)．
（1）時，①求不等式的解集；②若對任意的，，求實數(shù)取值范圍；
（2）若存在實數(shù)，對任意的都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）①，②，
（2）
【解析】
【分析】（1）①分和兩種情況求解即可，②先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后分，和三種情況求解，
（2）當時，恒成立，所以當時，恒成立，則，得，由，得，然后分和求出和，使可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
當時，，
①由，得，
當時，，解得，
當時，恒成立，得，
綜上，
所以不等式的解集為，
②因為，
所以在上為增函數(shù)，
當時，不恒成立，
當時，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，此時不存在，
當時，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，得，
綜上，，即實數(shù)取值范圍為，
【小問2詳解】
由，得，
當時，恒成立，
當時，恒成立，所以，
所以，得，
由，得，得，
當時，，，
所以，
所以存在滿足以上不等式，則，得，此時，
當時，，，
所以有解，
所以，解得，
綜上可得，即實數(shù)的取值范圍為
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，則，然后轉(zhuǎn)化為求，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.

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