廣東省茂名市高州中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（創(chuàng)新班1-3班）（原卷版+解析版）

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一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1 如果事件與事件互斥，那么（ ）條件.
A. B.
C. 與一定互斥D. 與一定獨(dú)立
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合實(shí)例，利用互斥事件的定義，獨(dú)立事件的定義，以及概率的意義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】例如：口袋中由3個(gè)紅球、2個(gè)白球和1個(gè)黃球，從而任取一個(gè)球，
事件“表示取到的是紅球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黃球”，
此時(shí)，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同時(shí)發(fā)生，
且，
對于A中，由，所以A不正確；
對于B中，由事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，可得，所以B正確；
對于C中，由事件；“取得一個(gè)球不是紅球”，事件：“取得一個(gè)球不是白球”，
當(dāng)取得到的一個(gè)球?yàn)辄S球時(shí)，此時(shí)事件和事件同時(shí)發(fā)生，
所以與事件不一定互斥，所以C不正確；
對于D中，由，，可得，
此時(shí)事件和事件不獨(dú)立事件，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
2. 已知直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)可得，即；當(dāng)時(shí)可得，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
即，則，即；
當(dāng)時(shí)，，解得.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
3. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示可得答案.
詳解】，，
因?yàn)?，所以，解?
故選：A.
4. 三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，，都是增函數(shù)，
所以函數(shù)，，均為增函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的零點(diǎn)在上，即，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的零點(diǎn)在上，即，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的零點(diǎn)在上，即，
綜上，．
故選：B．
5. 若甲、乙兩個(gè)圓柱的體積相等，底面積分別為和，側(cè)面積分別為和.若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)甲圓柱底面圓半徑為，高為，乙圓柱底面圓半徑為，高為，由等面積之比得到，再由體積相同得到，最后由側(cè)面積公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)甲圓柱底面圓半徑為，高為，乙圓柱底面圓半徑為，高為，
則，∴.
又，則，
∴.
故選：B.
6. 在中，，，則的形狀為（ ）
A. 直角三角形B. 三邊均不相等的三角形
C. 等邊三角形D. 等腰（非等邊）三角形
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合條件利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以為等腰非等邊三角形.
故選：D
7. 如圖，下列正方體中，為底面的中點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，、為正方體的頂點(diǎn)，則滿足的是（ ）
A. ③④B. ①②C. ②④D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷的值即可.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，
對于①：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
可得，則，
所以與不垂直，即與不垂直，所以①錯(cuò)誤；
對于②：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
可得，則，
所以，即，所以②正確；

對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
可得，則，
所以，即，所以③正確；
對于④：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
可得，則，
所以與不垂直，即與不垂直，所以④錯(cuò)誤；
故選：D.
8. 如圖，已知正方形的邊長為4，若動(dòng)點(diǎn)P在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出輔助線，利用極化恒等式得到，結(jié)合的最值得到答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，
則，，
兩式分別平方再相減得，
設(shè)中點(diǎn)為，連接交圓弧于點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為2，
當(dāng)當(dāng)與或重合時(shí)，最大，最大值為，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；
②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知不重合的直線，，和平面，，則（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，，，則
D. 若，，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)直線和平面的相關(guān)性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，根據(jù)平行傳遞性可知，若，，則，故A正確；
對于B，若，，則可能出現(xiàn)，或，或相交但不垂直，或異面但不垂直，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，，，，則或相交，故C錯(cuò)誤；
對于D，根據(jù)面面垂直判定定理可知，若，，則，故D正確.
故選：AD
10. 已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若和外離，則或
B. 若和外切，則
C. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一條直線與和均相切
D. 當(dāng)時(shí)，和內(nèi)含
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先得到兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出圓心距，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系由圓心距與半徑的和差關(guān)系得到不等式（方程），即可判斷.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，
若和外離，則，解得或，故A正確；
若和外切，則，解得，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，則和相交，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
11. 如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，、分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）

A.
B. 存在點(diǎn)，使平面
C. 存在點(diǎn)，使直線與所成的角為
D. 點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】根據(jù)已知條件，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，
，，，；
由是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，
因?yàn)?，，所以?br>即，故A正確；
當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是的中位線，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正確；
，，若存在點(diǎn)，
使直線與所成的角為，
則，
化簡得，無解，故C錯(cuò)誤；
由題意可知：點(diǎn)到平面的距離，
為平面的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為，
所以，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)在直線上的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.
【詳解】連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，
基本事件總數(shù)為，
其中點(diǎn)在直線上包含的基本事件有，，，，，共5個(gè)，
則點(diǎn)在直線上的概率是.
故答案為：.
13. 圓在點(diǎn)處的切線方程為________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圓心坐標(biāo)，求出切點(diǎn)與圓心連線的斜率；再根據(jù)圓的性質(zhì)求出切線的斜率；最后根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程.
【詳解】
由圓可得圓心坐標(biāo)為，點(diǎn)在圓上.
則直線的斜率為：.
由圓的性質(zhì)可知：圓在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
所以圓在點(diǎn)處的切線斜率為，則切線方程為，即.
故答案為：
14. 已知菱形ABCD的邊長為1，，將沿AC翻折，當(dāng)三棱錐表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】求內(nèi)切球的表面積，只需根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.
【詳解】
因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，對角線互相垂直
三棱錐中，面與面的面積是確定的，所以要使三棱錐表面積最大，則需要面與面最大即可，而且；
，當(dāng)時(shí)，取得最大值.
過點(diǎn)向平面作垂線，設(shè)的中點(diǎn)為垂足為，

因?yàn)?，，所以由余弦定理知?br>所以，易得.
所以.
因?yàn)椋?br>設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則根據(jù)等體積法，有：
，
即，解之得，
所以其內(nèi)切球的表面積為
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.
（1）求直線的方程：
（2）求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)斜式求得直線的方程.
（2）先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式求得三角形的面積.
【小問1詳解】
邊上的高所在直線方程為，
直線的斜率為，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
邊上的中線所在的直線方程為，
由解得，即.
設(shè)，則，
所以，解得，即.
，到的距離為，
所以三角形的面積為.
16. 第19屆亞運(yùn)會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．

（1）求的值；
（2）估計(jì)這100名候選者面試成績眾數(shù)和第60%分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；
（3）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．
【答案】（1）
（2）眾數(shù)為，分位數(shù)為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知中的“頻率和”求得.
（2）根據(jù)眾數(shù)、百分位數(shù)知識求得正確答案.
（3）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.
【小問1詳解】
依題意，解得.
【小問2詳解】
由圖可知，眾數(shù)為，
前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，
所以分位數(shù)為.
【小問3詳解】
第四、第五兩組的頻率比為，
所以第四組抽人，記為，第五組抽人，記為.
從中抽取人，基本事件為，共10種，
選出的兩人來自不同組的是，共4種，
所以選出的兩人來自不同組的概率為.
17. 如圖，已知四棱錐，底面為邊長為2的菱形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）通過證明PA⊥AE和AE⊥AD，可證得AE⊥平面PAD，從而得證；
（2）由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量．通過空間向量夾角余弦公式求解二面角的余弦值．
【詳解】（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，
∵為的中點(diǎn)，∴．
∵，面，∴．
而面，面，且
∴面．
又面，∴．
（2）由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，，，∴，
設(shè)平面的法向量為，
則，∴
取，則．
∵，，，∴面．
故為平面的一個(gè)法向量，又．
∴
所以二面角的余弦值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
18. 已知圓C：和直線l：相切．
（1）求圓C半徑；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M在直線上，過點(diǎn)M引圓C的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別為A、B．
①記四邊形MACB的面積為S，求S的最小值；
②證明直線AB恒過定點(diǎn)．
【答案】（1）；
（2）①；②證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求出圓的圓心到直線的距離即得.
（2）①設(shè)，利用圓的切線長定理，求出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系并求出最小值；②求出M、A、C、B四點(diǎn)共圓的方程，再求出兩個(gè)圓公共弦所在直線方程，即可推理得解.
【小問1詳解】
圓心到直線的距離，
所以圓C半徑.
【小問2詳解】
①由（1）知，圓C的方程為：，圓心，，
由MA、MB是的兩條切線，得，，設(shè)，
則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以的最小值為.
②由①知，點(diǎn)，，，則四點(diǎn)共圓且以MC為直徑，
此圓的方程為，整理得，
而圓C的方程為，，兩圓方程相減得，
因此直線的方程為，對任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以直線過定點(diǎn).
19. 在銳角三角形中，其內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.
（1）求證：；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用倍角公式得到，再利用正弦定理與余弦定理的邊角變換得到，再利用銳角三角形排除即可得證；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論得到，從而將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而利用角的取值范圍與對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理與余弦定理得，
所以，整理得，
若，即，則，所以，即，
故，與是銳角三角形矛盾，故，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>又，所以，故，
又因?yàn)椋?br>所以，
∵，，∴，∴，
因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
，，
∴，∴的取值范圍為．