1．（3分）下列各數(shù)中，比﹣3小的數(shù)是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．3
2．（3分）如圖，這是一個正三棱柱切去一部分后得到的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）某公司設(shè)計的麒麟9006C芯片采用5nm制程工藝和架構(gòu)設(shè)計，性能更高，功耗更低．已知1nm＝0.000000001m，5nm用科學(xué)記數(shù)法表示為5×10nm，則n的值為（ ）
A．﹣8B．﹣9C．﹣10D．﹣11
4．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．2a2+a2＝3a4B．（﹣3a3）2＝9a6
C．a(chǎn)2?2a3＝2a6D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2
5．（3分）如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠AOB＝40°，邊OB上有一點E，從點E射出一束光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線DC恰好與邊OB平行，∠ODE＝∠ADC，則∠CDE的度數(shù)是（ ）
A．110°B．108°C．100°D．115°
6．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，弦BC與AD交于點E，連接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B＝65°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．45°B．55°C．40°D．50°
7．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程，則該一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根
D．沒有實數(shù)根
8．（3分）為了貫徹“雙減”政策，落實“五育并舉”，某校開設(shè)了豐富的勞動教育課程．小東、小亮兩名同學(xué)分別從“園藝”“廚藝”“陶藝”“手工”4門課程中隨機選擇一門學(xué)習，則小東、小亮兩人選擇同一門課程的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，∠OCA＝30°，則點B的坐標是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M為AD的中點，N是線段BD上的一動點．設(shè)DN＝x，MN+AN＝y(tǒng)，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中Q是圖象上的最低點，則a的值為（ ）
A．7B．8C．D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
12．（3分）方程組的解為 ．
13．（3分）某校為全面了解學(xué)生的視力情況，定期對該校2000名學(xué)生進行抽測．如圖，這是某次隨機抽測學(xué)生的視力情況的扇形統(tǒng)計圖，則此時該校視力不低于4.8的學(xué)生約有 人．
14．（3分）如圖，半徑為的⊙O經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點A，D，與邊CD交于點M，過點M作⊙O的切線交BC于點N，若∠CMN＝30°，則BN的長為 ．
15．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，CD為△ABC的中線．沿CD將紙片剪開，得到△AC′D′和△BCD，將三角形紙片AC′D′沿直線BD向右平移，當線段AC′在△BCD內(nèi)部的長度為1時，△AC′D′平移的距離為 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：．
（2）化簡：（x+2）2+（x﹣2）（x+2）﹣2x（x﹣1）．
17．（9分）某校對學(xué)生開展了關(guān)于學(xué)校餐廳飯菜品質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量滿意度的問卷調(diào)查．隨機抽取200名學(xué)生進行問卷調(diào)查，調(diào)查問卷如下．
該校餐廳負責人將這200份調(diào)查問卷的結(jié)果整理后，繪制成了如下兩幅統(tǒng)計圖．
（1）若將整體評價中很滿意、滿意、一般、不滿意分別評分為5分、4分、3分、1分，求該餐廳在此次調(diào)查中，整體評價分數(shù)的眾數(shù)和平均數(shù)．
（2）在此次調(diào)查中，認為該餐廳需要在供應(yīng)品種上進行改進的學(xué)生人數(shù)有多少？
（3）請你根據(jù)此次問卷調(diào)查的結(jié)果，對該餐廳的飯菜品質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量提出兩條合理的建議．
18．（9分）洛陽老君山風景區(qū)位于河南省洛陽市欒川縣境內(nèi)，在景區(qū)內(nèi)有一座老子銅像（圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量老子銅像高度的實踐活動，具體過程如下．
【制定方案】
如圖2，在老子銅像左右兩側(cè)的地面上選取C，D兩處，分別測量老子銅像的仰角．且點B，C，D在同一水平直線上，圖上所有點均在同一平面內(nèi)．
【實地測量】
小穎同學(xué)用測角儀在點C處測量點A的仰角α為45°，小亮同學(xué)用測角儀在點D處測量點A的仰角β為53°，測得C，D兩點間的距離約為63.7m．
【解決問題】
已知測角儀的高度為1.6m，求老子銅像高AB的值．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）
19．（9分）如圖，在△ABC中，，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交BC于點D．
（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作CD的垂直平分線MN交BA的延長于點E，交BC于點F，交AC于點P（不要求寫作法，標明字母，保留作圖痕跡）．
（2）在（1）的條件下，求AP的長．
20．（9分）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某市為廣大農(nóng)戶免費提供一種優(yōu)質(zhì)草莓及栽培技術(shù)，鼓勵廣大農(nóng)戶種植草莓．草莓成熟后鄉(xiāng)企業(yè)辦將這些草莓精加工成A，B兩種飲料裝箱銷售．已知A種草莓飲料賣了20000元，B種草莓飲料賣了36000元，賣出的B種草莓飲料的箱數(shù)是A種草莓飲料箱數(shù)的2倍，B種草莓飲料每箱的售價比A種草莓飲料每箱的售價便宜5元．
（1）A，B兩種草莓飲料每箱的售價分別是多少元．
（2）某公司獻愛心，計劃用不超過4900元給市區(qū)的幾個敬老院捐贈100箱A，B兩種草莓飲料，其中A種草莓飲料不少于40箱，該公司怎么購買所需的費用最少？最少的費用是多少元？
21．（9分）如圖1，這是某公園人工湖上的一座拱橋的示意圖，其截面形狀可以看作是拋物線的一部分．經(jīng)測量拱橋的跨度AB為10米，拱橋頂面最高處到水面的距離為4米．建立如圖2所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（米）是水平距離，y（米）是拱橋距水面的高度．
（1）求該拋物線的表達式．
（2）現(xiàn)有一游船（截面為矩形CDEF），寬度CD為4米，頂棚到水面的距離CF為2.8米．當游船從拱橋正下方通過時，為保證安全，要求頂棚到拱橋頂面的距離應(yīng)大于0.4米，請判斷該游船能否安全通過此拱橋，并說明理由．
22．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于A（﹣1，4），B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，以點C為圓心，AC的長為半徑作，交x軸于點E，連接OB．
（1）求反比例函數(shù)的表達式．
（2）求扇形CAE的半徑及對應(yīng)圓心角的度數(shù)．
（3）求圖中陰影部分的面積之和．
23．（10分）綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形與旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
【問題情景】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D是射線CB上的一動點（不與點B，C重合），將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)α得到DE，連接CE，AE．
【問題探究】
（1）勤奮小組提出的問題：如圖1，若α＝60°，則CD，AC，CE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
【類比延伸】
（2）智慧小組提出的問題：如圖2，若α＝90°，探究CD，AC，CE之間的數(shù)量關(guān)系．
【拓展探究】
（3）創(chuàng)新小組突發(fā)奇想，將問題遷移到平面直角坐標系中，如圖3，若，則在點D運動的過程中，當∠CAE＝30°時，請直接寫出點D的坐標．
2024年河南省濮陽市南樂縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的）
1．（3分）下列各數(shù)中，比﹣3小的數(shù)是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．3
【分析】首先判斷出3＞﹣3，0＞﹣3，求出每個數(shù)的絕對值，根據(jù)兩負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小，求出即可．
【解答】解：根據(jù)兩負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小，正數(shù)都大于負數(shù)，零大于一切負數(shù)，
∴3＞﹣3，0＞﹣3，
∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，|﹣4|＝4，2＜3＜4，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴比﹣3小的數(shù)是負數(shù)，是﹣4．
故選：A．
2．（3分）如圖，這是一個正三棱柱切去一部分后得到的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】俯視圖是從上邊看得出的圖形，結(jié)合所給圖形及選項即可得出答案．
【解答】解：該幾何體的俯視圖如圖所示：
故選：A．
3．（3分）某公司設(shè)計的麒麟9006C芯片采用5nm制程工藝和架構(gòu)設(shè)計，性能更高，功耗更低．已知1nm＝0.000000001m，5nm用科學(xué)記數(shù)法表示為5×10nm，則n的值為（ ）
A．﹣8B．﹣9C．﹣10D．﹣11
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)．根據(jù)1nm＝0.000000001m，把5nm換成單位為“m”的量，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示，a×10n，其中1≤|a|＜10，即可得到答案．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，
∴5nm＝0.000000005m＝5×10﹣9m．
故選：B．
4．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．2a2+a2＝3a4B．（﹣3a3）2＝9a6
C．a(chǎn)2?2a3＝2a6D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2
【分析】計算出各個選項中式子的正確結(jié)果，即可判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：2a2+a2＝3a2，故選項A錯誤，不符合題意；
（﹣3a3）2＝9a6，故選項B正確，符合題意；
a2?2a3＝2a5，故選項C錯誤，不符合題意；
（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：B．
5．（3分）如圖，∠AOB的一邊OA為平面鏡，∠AOB＝40°，邊OB上有一點E，從點E射出一束光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線DC恰好與邊OB平行，∠ODE＝∠ADC，則∠CDE的度數(shù)是（ ）
A．110°B．108°C．100°D．115°
【分析】過點D作DF⊥AO交OB于點F．根據(jù)題意知，DF是∠CDE的角平分線，故∠1＝∠3；然后又由兩直線CD∥OB推知內(nèi)錯角∠1＝∠2；最后由三角形的內(nèi)角和定理求得∠2的度數(shù)，即可求得∠3＝∠1＝∠2＝50°，最后由∠CDE＝∠1+∠3求解．
【解答】解：過點D作DF⊥AO交OB于點F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；
∴∠2＝∠3（等量代換）；
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝40°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°；
∴∠3＝∠1＝∠2＝50°
∴∠CDE＝∠1+∠3＝100°．
故選：C．
6．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，弦BC與AD交于點E，連接AB，AC，CD．若AD平分∠BAC，∠B＝65°，則∠BAC的度數(shù)是（ ）
A．45°B．55°C．40°D．50°
【分析】根據(jù)直徑對直角可得∠ACD＝90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠D＝65°，根據(jù)角平分線的定義即可求解．
【解答】解：∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠D＝65°，
∴∠DAC＝90°﹣∠D＝25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝50°，
故選：D．
7．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程，則該一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根
D．沒有實數(shù)根
【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進行判斷即可．
【解答】解：∵，
∴＝m2+4＞0，
∴該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：A．
8．（3分）為了貫徹“雙減”政策，落實“五育并舉”，某校開設(shè)了豐富的勞動教育課程．小東、小亮兩名同學(xué)分別從“園藝”“廚藝”“陶藝”“手工”4門課程中隨機選擇一門學(xué)習，則小東、小亮兩人選擇同一門課程的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明與小亮兩人恰好同時選擇同一門課程的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：設(shè)“園藝”“廚藝”“陶藝”“手工”這四種課程分別為A、B、C、D．
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中小東、小亮兩人恰好同時選擇同一門課程的結(jié)果有4種，即AA、BB、CC、DD，
∴小東、小亮兩人選擇同一門課程的概率是．
故選：D．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，∠OCA＝30°，則點B的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【分析】過點B作BD⊥y軸于D，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求得，，再證明△AOC≌△CDB（AAS），求得CD＝OA＝1，，然后根據(jù)點B在第二象限，寫出點B坐標即可．
【解答】解：如圖，過點B作BD⊥y軸于D，
∵∠OCA＝30°，AC＝2，
∴，
∴，
∵BD⊥y軸，
∴∠BCD+∠CBD＝90°，
∵∠ACO+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠COA＝90°，AC＝BC，
∴△AOC≌△CDB（AAS）
∴CD＝OA＝1，
∴
∴．
故選：A．
10．（3分）如圖1，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M為AD的中點，N是線段BD上的一動點．設(shè)DN＝x，MN+AN＝y(tǒng)，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中Q是圖象上的最低點，則a的值為（ ）
A．7B．8C．D．
【分析】由圖象右端點的橫坐標為，得出，從而求得AB＝5，AD＝10，AM＝MD＝5，作點M關(guān)于BD的對稱點E，連接AE交BD于N，連接ME交BD于O，連接DE，得y＝AN+MN＝AE，根據(jù)兩點之間，線段最短，得到此時y最小，最小值為AE的長度，通過證明△MOD∽△BAD，求出，，過點E作EF⊥AD于F，利用勾股定理求出MF＝2，EF＝4，AF＝AM+MF＝7，從而求得AE的長度，即可求解．
【解答】解：∵圖象右端點的橫坐標為，
∴，
∵矩形ABCD中，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC，
∴AB2+AD2＝BD2，
∵BC＝2AB，
∴，
∴AB＝5，
∴AD＝10，
∵M為AD的中點，
∴AM＝MD＝5，
作點M關(guān)于BD的對稱點E，連接AE交BD于N，連接ME交BD于O，連接DE，如圖，
∴MN＝NE，DE＝DM＝5，
∴y＝AN+MN＝AE，
根據(jù)兩點之間，線段最短，得此時y最小，
∵點M關(guān)于BD的對稱點E，
∴BD垂直平分ME，
∵∠MDO＝∠ADB，∠BAD＝∠MOD＝90°，
∴△MOD∽△BAD，
∴，即，
∴，
∴，
過點E作EF⊥AD于F，
由勾股定理，得ME2﹣MF2＝EF2＝DE2﹣DF2，
∵DF＝DM﹣MF，
∴，
解得：MF＝2，
∴，AF＝AM+MF＝5+2＝7，
∴，
∵Q是圖象上的最低點，
∴a是y的最小值，
∴，
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 x≥8 ．
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于零，列式求解即可．
【解答】解：由題意，得：x﹣8≥0，
解得：x≥8；
故答案為：x≥8．
12．（3分）方程組的解為 ．
【分析】消元的方法有：代入消元法與加減消元法．第一個方程兩邊乘以2變形后，與第一個方程相加消元y求出x的值，進而求出y的值，即可確定出方程組的解．
【解答】解：，
①×2+②得：，即x＝2，
將x＝2代入①得：y＝1，
則方程組的解為．
故答案為：．
13．（3分）某校為全面了解學(xué)生的視力情況，定期對該校2000名學(xué)生進行抽測．如圖，這是某次隨機抽測學(xué)生的視力情況的扇形統(tǒng)計圖，則此時該校視力不低于4.8的學(xué)生約有 1000 人．
【分析】用該?？?cè)藬?shù)乘以樣本中視力不低于4.8的學(xué)生所占比例，即可求解，
【解答】解：樣本中，視力不低于4.8的學(xué)生約占：30%+20%＝50%，
2000名學(xué)生中視力不低于4.8的學(xué)生約有：2000×50%＝1000（人），
故答案為：1000．
14．（3分）如圖，半徑為的⊙O經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點A，D，與邊CD交于點M，過點M作⊙O的切線交BC于點N，若∠CMN＝30°，則BN的長為 ．
【分析】過點O作OE⊥AD于E，連接OD，先由切線的性質(zhì)得到∠OMN＝90°，從而得到∠OMD＝60°，得出△ODM是等邊三角形，則∠ODM＝∠OMD＝60°，，即可得到∠ODE＝30°，即可求得DE＝3，利用垂徑定理，得出AD＝6，則可求得，在解Rt△MCN，求得，即可由BN＝BC﹣CN求解．
【解答】解：過點O作OE⊥AD于E，連接OD，如圖，
∵MN是⊙O的切線，
∴∠OMN＝90°，
∵∠CMN＝30°，
∴∠OMD＝180°﹣∠OMN﹣∠CMN＝60°，
∵OM＝OD，
∴△ODM是等邊三角形，
∴∠ODM＝∠OMD＝60°，，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝BC，
∴∠ODE＝30°
∵OE⊥AD，
∴AD＝2DE，∠OED＝90°，
∴，
∴，
∴AD＝2DE＝6，
∴BC＝CD＝AD＝6，
∴，
在Rt△MCN中，∠CMN＝30°，∠MCN＝90°，
∴，即
∴
∴．
故答案為：．
15．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，CD為△ABC的中線．沿CD將紙片剪開，得到△AC′D′和△BCD，將三角形紙片AC′D′沿直線BD向右平移，當線段AC′在△BCD內(nèi)部的長度為1時，△AC′D′平移的距離為 ．
【分析】根據(jù)∠A＝∠B可得AE＝BE，CE＝C′E，進而證求出CE＝EF＝C′E＝1，得AF＝AC′﹣EF﹣C′E＝3，再由AD＝AF?csA求解即可．
【解答】解：如圖2，設(shè)AC′交BC于E，交CD于F，過點E作EH⊥CD，
依題意得：EF＝1，
∵AC＝BC＝5，CD為△ABC的中線，
∴∠A＝∠B，
∠ADC＝∠BDC＝90°，圖1中，
由平移的性質(zhì)可知圖2中AD′＝4，
∴AE＝BE，
∴AC′﹣AE＝BC﹣BE，即CE＝C′E，
又∵∠A+∠AFD＝90°，∠B+∠C＝90°，∠AFD＝∠CFE，
∴∠C＝∠CFE，
∴CE＝EF＝1，
∴C′E＝EF＝1，
∴AF＝AC′﹣EF﹣C′E＝5﹣1﹣1＝3，
∵圖2 中，
∴，
即△AC′D′平移的距離為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：．
（2）化簡：（x+2）2+（x﹣2）（x+2）﹣2x（x﹣1）．
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘方的運算法則，先算乘方和絕對值，即可求解；
（2）根據(jù)多項式乘多項式的運算法則，即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）（x+2）2+（x﹣2）（x+2）﹣2x（x﹣1）
＝x2+4x+4+x2﹣4﹣2x2+2x
＝6x．
17．（9分）某校對學(xué)生開展了關(guān)于學(xué)校餐廳飯菜品質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量滿意度的問卷調(diào)查．隨機抽取200名學(xué)生進行問卷調(diào)查，調(diào)查問卷如下．
該校餐廳負責人將這200份調(diào)查問卷的結(jié)果整理后，繪制成了如下兩幅統(tǒng)計圖．
（1）若將整體評價中很滿意、滿意、一般、不滿意分別評分為5分、4分、3分、1分，求該餐廳在此次調(diào)查中，整體評價分數(shù)的眾數(shù)和平均數(shù)．
（2）在此次調(diào)查中，認為該餐廳需要在供應(yīng)品種上進行改進的學(xué)生人數(shù)有多少？
（3）請你根據(jù)此次問卷調(diào)查的結(jié)果，對該餐廳的飯菜品質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量提出兩條合理的建議．
【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可；
（2）由扇形統(tǒng)計圖可知，需要改進供應(yīng)品種所占的圓心角的度數(shù)為 144°，因此認為該餐廳需要在供應(yīng)品種上進行改進的學(xué)生人數(shù)：×200，計算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）由圖可知，眾數(shù)為5分，
平均數(shù)：（100×5+50×4+30×3+20×1）÷200＝4.05（分），
答：整體評價分數(shù)的眾數(shù)為5分，平均數(shù)為4.05分．
（2）由扇形統(tǒng)計圖可知，需要改進供應(yīng)品種所占的圓心角的度數(shù)為 144°，
∴認為該餐廳需要在供應(yīng)品種上進行改進的學(xué)生人數(shù)：×200＝80（人），
答：認為該餐廳需要在供應(yīng)品種上進行改進的學(xué)生人數(shù)有80人．
（3）答案不唯一，合理即可．
答：①該餐廳需要對飯菜品種和類別進行優(yōu)化，提高供應(yīng)品種的多樣性；②該餐廳需要對其他服務(wù)設(shè)施進行優(yōu)化升級，提高服務(wù)質(zhì)量．
18．（9分）洛陽老君山風景區(qū)位于河南省洛陽市欒川縣境內(nèi)，在景區(qū)內(nèi)有一座老子銅像（圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量老子銅像高度的實踐活動，具體過程如下．
【制定方案】
如圖2，在老子銅像左右兩側(cè)的地面上選取C，D兩處，分別測量老子銅像的仰角．且點B，C，D在同一水平直線上，圖上所有點均在同一平面內(nèi)．
【實地測量】
小穎同學(xué)用測角儀在點C處測量點A的仰角α為45°，小亮同學(xué)用測角儀在點D處測量點A的仰角β為53°，測得C，D兩點間的距離約為63.7m．
【解決問題】
已知測角儀的高度為1.6m，求老子銅像高AB的值．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）
【分析】連接EF交AB于點P，根據(jù)題意可得：CE＝DF＝BP＝1.6m，EF＝CD≈63.7m，EF⊥AB，然后設(shè)AP＝am，在Rt△AEP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EP＝AP＝am，再在Rt△AFP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，根據(jù)EP+FP＝EF列出方程，進行計算即可解．
【解答】解：由題意，得∠AEG＝45°，∠AFH＝53°，CD≈63.7m，CE＝DF＝1.6m，
如圖，連接EF交AB于點P，則四邊形ECDF為矩形，EF＝CD≈63.7m，
設(shè)AP＝am．在Rt△AEP中，，
即EP＝AP＝am，
在Rt△AFP中，∠AFP＝53°，
∴，即，
∵EP+FP＝EF，即，
解得a≈36.4m，
∴AB＝a+1.6＝38m．
答：老子銅像的高AB約為38m．
19．（9分）如圖，在△ABC中，，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交BC于點D．
（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作CD的垂直平分線MN交BA的延長于點E，交BC于點F，交AC于點P（不要求寫作法，標明字母，保留作圖痕跡）．
（2）在（1）的條件下，求AP的長．
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)基本作圖—作已知線段的垂直平分線，作出直線MN即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)求得∠C＝30°，再由線段垂直平分線的定義求得，然后解Rt△CFP，求得，即可由AP＝AC﹣CP求解．
【解答】解：（1）如圖所示，直線MN即為所求；
（2）由題意可知，，
∵，∠BAC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴，
∴．
由作圖可知，．
在Rt△CFP中，∠C＝30°，
∴，解得，
∴AP＝AC﹣CP＝4．
20．（9分）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某市為廣大農(nóng)戶免費提供一種優(yōu)質(zhì)草莓及栽培技術(shù)，鼓勵廣大農(nóng)戶種植草莓．草莓成熟后鄉(xiāng)企業(yè)辦將這些草莓精加工成A，B兩種飲料裝箱銷售．已知A種草莓飲料賣了20000元，B種草莓飲料賣了36000元，賣出的B種草莓飲料的箱數(shù)是A種草莓飲料箱數(shù)的2倍，B種草莓飲料每箱的售價比A種草莓飲料每箱的售價便宜5元．
（1）A，B兩種草莓飲料每箱的售價分別是多少元．
（2）某公司獻愛心，計劃用不超過4900元給市區(qū)的幾個敬老院捐贈100箱A，B兩種草莓飲料，其中A種草莓飲料不少于40箱，該公司怎么購買所需的費用最少？最少的費用是多少元？
【分析】（1）設(shè)A種草莓飲料每箱的售價是x元，則B種草莓飲料每箱的售價是（x﹣5）元，根據(jù)賣出的B種草莓飲料的箱數(shù)是A種草莓飲料箱數(shù)的2倍，列方程求解即可．
（2）設(shè)購買A種草莓飲料m箱，則購買B種草莓飲料（100﹣m）箱，根據(jù)費用用不超過4900元，A種草莓飲料不少于40箱，列不等式組，求出m的取值范圍，再設(shè)該公司購買所需的費用共為y元，列出列出y關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)求出再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)求出的最小值即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)A種草莓飲料每箱的售價是x元，則B種草莓飲料每箱的售價是（x﹣5）元，根據(jù)題意，得：
，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗，x＝50是方程的根，也符合題意，
A種草莓飲料每箱的售價是50元，
B種草莓飲料每箱的售價是x﹣5＝50﹣5＝45（元），
答：A種草莓飲料每箱的售價是50元，則B種草莓飲料每箱的售價是45元．
（2）設(shè)購買A種草莓飲料m箱，則購買B種草莓飲料（100﹣m）箱，根據(jù)題意，得：
，
解得：40≤m≤80，
設(shè)該公司購買所需的費用共為y元，根據(jù)題意，得y＝50m+45（100﹣m）＝5m+4500，
∵5＞0，
∴y隨m增大而增大，
∵40≤m≤80，
∴當m＝40時，y值最小，最小值為5×40+4500＝4700（元），
∴該公司購買A種草莓飲料40箱，則購買B種草莓飲料60箱所需的費用最少，最少的費用是4700元．
21．（9分）如圖1，這是某公園人工湖上的一座拱橋的示意圖，其截面形狀可以看作是拋物線的一部分．經(jīng)測量拱橋的跨度AB為10米，拱橋頂面最高處到水面的距離為4米．建立如圖2所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（米）是水平距離，y（米）是拱橋距水面的高度．
（1）求該拋物線的表達式．
（2）現(xiàn)有一游船（截面為矩形CDEF），寬度CD為4米，頂棚到水面的距離CF為2.8米．當游船從拱橋正下方通過時，為保證安全，要求頂棚到拱橋頂面的距離應(yīng)大于0.4米，請判斷該游船能否安全通過此拱橋，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)圖中坐標系確定拋物線的頂點坐標為（5，4），點B（10，0）；再待定系數(shù)法求拋物線的表達式即可；
（2）游船從拱橋正下方通過時，拋物線的對稱軸為x＝5游船也關(guān)于直線x＝5對稱，寬度為4米，對稱軸左右兩邊各2米，當x＝5﹣2＝3時，求出y的值，繼而求出頂棚到拱橋頂面的距離，看是否大于0.4米即可．
【解答】解：（1）由題意知，拋物線的頂點坐標為（5，4），點B（10，0），
∴y＝a（x﹣5）2+4，
代入點B（10，0），得a（10﹣5）2+4＝0，
解得，
∴該拋物線的表達式為．
（2）能安全通過．
理由：游船從拱橋正下方通過時，拋物線的對稱軸為直線x＝5，游船也關(guān)于直線x＝5對稱，
寬度為4米，對稱軸左右兩邊各2米．
當x＝5﹣2＝3時，（米）．
∵，
∴該游船能安全通過此拱橋．
22．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于A（﹣1，4），B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，以點C為圓心，AC的長為半徑作，交x軸于點E，連接OB．
（1）求反比例函數(shù)的表達式．
（2）求扇形CAE的半徑及對應(yīng)圓心角的度數(shù)．
（3）求圖中陰影部分的面積之和．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將點A（﹣1，4）代入反比例函數(shù)解析式即可求出反比例函數(shù)；
（2）根據(jù)OC＝OD＝3，由等腰直角三角形可知∠ACE＝45°，過點A作AP⊥x軸于點P，根據(jù)，即可求出半徑；
（3）由S陰影＝S扇形ACE﹣S△COD+S△BOC即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y2＝的圖象經(jīng)過點A（﹣1，4），
∴4＝，
解得m＝﹣4，
∴反比例函數(shù)的表達式為y2＝．
（2）對于y1＝﹣x+3，
當x＝0時，y＝3；當y＝0時，x＝3，
∴OC＝OD＝3，
∴∠ACE＝45°．
如圖，過點A作AP⊥x軸于點P．
∵點A（﹣1，4），
∴OP＝1，AP＝4，
∴CP＝OP+OC＝4，
在Rt△ACP中，AC＝＝4；
（3）∵一次函數(shù)y1＝﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象交于點B，
∴，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴點B的坐標為（4，﹣1），
∴S△COD＝OC?OD＝×3×3＝．
∴S△BOC＝OC?|yB|＝×3×1＝，
∴S扇形ACE＝＝4π，
∴S陰影＝S扇形ACE﹣S△COD+S△BOC＝4π﹣+＝4π﹣3．
23．（10分）綜合與實踐
綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形與旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
【問題情景】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D是射線CB上的一動點（不與點B，C重合），將線段AD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)α得到DE，連接CE，AE．
【問題探究】
（1）勤奮小組提出的問題：如圖1，若α＝60°，則CD，AC，CE之間的數(shù)量關(guān)系是 CD＝AC+CE ．
【類比延伸】
（2）智慧小組提出的問題：如圖2，若α＝90°，探究CD，AC，CE之間的數(shù)量關(guān)系．
【拓展探究】
（3）創(chuàng)新小組突發(fā)奇想，將問題遷移到平面直角坐標系中，如圖3，若，則在點D運動的過程中，當∠CAE＝30°時，請直接寫出點D的坐標．
【分析】（1）證明△ABC與△ADE是等邊三角形，再證明△DAB≌△EAC（SAS），即可得出結(jié)論；
（2）過點E作EF⊥CD于F，證明△ABC、△ADE、△CFE都是等腰直角三角形，得到，再證明△EFD∽△ECA，得出，即可求得結(jié)論；
（3）分兩種情況：當點E在y軸左側(cè)時，當點E在y軸右側(cè)時，分別求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，
由旋轉(zhuǎn)可得：AD＝DE，∠ADE＝α＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠DAB+∠BAE＝∠DAE＝60°，
∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB與△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD＝BC+BD＝AC+CE，即CD＝AC+CE；
（2），理由如下：
過點E作EF⊥CD于F，如圖2，
∵∠BAC＝α＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
由旋轉(zhuǎn)可得：AD＝DE，∠ADB+∠EDB＝∠ADE＝α＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAB+∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵∠ADB+∠DAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ADB＝∠BAE，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝∠FDE，
∴A、D、E、C四點共圓，
∴∠ADE+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝∠ACE﹣∠ACB＝45°，
∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠ECF＝45°，
∴△CFE是等腰直角三角形，
∴，
∵∠EDF＝∠CAE，∠CFD＝∠ACE＝90°，
∴△EFD∽△ECA，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）當點E在y軸左側(cè)時，如圖3.1，
由（2）知：∠ACE＝90°，，
∴，
∵，∠CAE＝30°，
∴，
∴CE＝2，
∴，
∴，
∵點D在x軸的負半軸上，
∴；
當點E在y軸右側(cè)時，過點E作EF⊥x軸于F，如圖3.2，
同理，CE＝2，
∴AE＝2CE＝4，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACB＝45°，∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵EF⊥x軸，
∴∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴，
∴，
∴，
∵點D在x軸的負半軸上，
∴，
綜上，點D的坐標為或．
XX餐廳飯菜品質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量的滿意度問卷調(diào)查
1．您對本校餐廳服務(wù)的整體評價為_____．（單選）
A．很滿意
B．滿意
C．一般
D．不滿意
2．您認為本校最需要改進的地方為_____．（單選）
A．飯菜口味
B．供應(yīng)品種
C．用餐秩序
D．其他服務(wù)設(shè)施
XX餐廳飯菜品質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量的滿意度問卷調(diào)查
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