精品解析：山東省菏澤第一中學(xué)八一路校區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期三月份月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意，列出方程求得，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)的虛部，得到答案.
【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，
因?yàn)?，可得，可得?br>解得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：B.
2. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求得答案.
【詳解】由，得，
.
故選：B.
3. 已知向量，，滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件可得向量的夾角為，，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得解.
【詳解】由，可得向量的夾角為，
，
.
故選：C.
4. 的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.
【詳解】對(duì)，有，
故的展開(kāi)式中的系數(shù)為：
，即.
故選：D.
5. 如圖，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面外一定點(diǎn)，且，直線與平面所成角為，設(shè)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面與平面的交線，取的中點(diǎn)，結(jié)合，即可求解.
【詳解】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，
可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面與平面的交線，
又因?yàn)?，直線與平面所成角為，
取的中點(diǎn)，可得，則線段的最小值為.
故選：A.
6. 若對(duì)于任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)不等式分離參數(shù)得到，令，構(gòu)造函數(shù)，，則，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求出最大值即可.
【詳解】由不等式恒成立，且，
分離參數(shù)得，所以，即，
設(shè)，得，，設(shè)，，則.
，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以.
所以.
故選：C.
7. 甲、乙兩人進(jìn)行網(wǎng)球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立. 設(shè)乙在第一局獲勝的概率為、第二局獲勝的概率為，第三局獲勝的概率為，則甲恰好連勝兩局的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式即可分類求解.
【詳解】設(shè)甲第局勝，，2，3，且，
則甲恰好連勝兩局的概率，
故選：B．
8. 已知，則的大關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上遞減,
故.
則，即；
由可知，故.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 若，則下列說(shuō)法正確的有（）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到期望為，方差為，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由，可得期望為，方差為，
對(duì)于A中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以A正確；
對(duì)于B中，因?yàn)?，即，所以B不正確；
對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以C正確；
對(duì)于D中，由正態(tài)分布曲線性質(zhì)，可得，
且，
可得，所以D正確.
故選：ACD.
10. 的展開(kāi)式中，下列結(jié)論正確的是（）
A. 展開(kāi)式共7項(xiàng)B. 項(xiàng)系數(shù)為280
C. 所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2187D. 所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128
【答案】BCD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)即可判斷，選項(xiàng)B：根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)特征即可判斷，選項(xiàng)C：令即可判斷，選項(xiàng)D：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可判斷．
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋哉归_(kāi)式共有8項(xiàng)，故A錯(cuò)誤，
選項(xiàng)B：展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故B正確，
選項(xiàng)C：令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故C正確，
選項(xiàng)D：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確，
故選：BCD．
11. 用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓．著名數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結(jié)論中正確的有（）
A. 橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等
B. 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的兩球的球心距相等
C. 所得橢圓的離心率
D. 其中為橢圓長(zhǎng)軸，為球半徑，有
【答案】ABC
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作線段，分別與球、切于點(diǎn)、，結(jié)合球的切線的性質(zhì)與橢圓定義即可得A、B，借助離心率的定義可得C，借助正切函數(shù)的定義可得D.
【詳解】
對(duì)A，B：過(guò)點(diǎn)作線段，分別與球、切于點(diǎn)、，
由圖可知，、分別與球、切于點(diǎn)、，
故有，
由橢圓定義可知，該橢圓以、為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故B正確，
由與球切于點(diǎn)，故，
有，
即有橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確；
對(duì)C:由題意可得，則，故C正確；
對(duì)D：由題意可得，，
故，即，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于作出線段，從而可結(jié)合球的切線的性質(zhì)與橢圓定義逐項(xiàng)判斷.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知在數(shù)列中，，數(shù)列的前和為，為等差數(shù)列，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)，可得，結(jié)合，求得，得解.
【詳解】為等差數(shù)列，所以設(shè)，為常數(shù)，
，，當(dāng)時(shí)，，
，則（常數(shù)）.
數(shù)列為等差數(shù)列，
，，
所以，即，即，
則，
，，，
經(jīng)檢驗(yàn)可得，
則，，
，
.
故答案為：.
13. 設(shè)向量，且，則_____，和所成角為_(kāi)_________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】將化簡(jiǎn)變形，并將坐標(biāo)代入求出，根據(jù)判斷兩個(gè)向量夾角為直角．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)整理得，所以，所以．
因?yàn)?，所以和所成角為?br>故答案為：；.
14. 已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與交于點(diǎn)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意畫(huà)出圖形，求得，再由求得的范圍，結(jié)合雙曲線的離心率公式得答案．
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，
如圖，

由題意，，，
則．
由，得，
即．
．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在平面四邊形中，，，．
（1）求的值；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果及條件，求得，，再利用正弦定理即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
在中，由余弦定理可得：，
又，，，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，所以，
又，所以，
所以
，
又，所以，
在中，由正弦定理可得：，得到，
所以.
16. 如圖所示，平面平面，且四邊形是矩形，在四邊形中，，，
（1）若，求證：平面；
（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由幾何關(guān)系證明四邊形是等腰梯形，再由長(zhǎng)度關(guān)系得到四邊形是平行四邊形，最后利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）建系，利用線面角求出點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的向量公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接與交于點(diǎn)，連接，
，，
，，即，
又，則，
，，所以四邊形是等腰梯形，
且，
，所以四邊形是平行四邊形，
又面，面，所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫?，且四邊形是矩形，為兩平面的交線，，
所以平面，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由與平面所成角為，易知面可得，
所以，
因?yàn)榈妊切?，且?br>所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)長(zhǎng)度為，縱坐標(biāo)長(zhǎng)度為，
，
則，，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，，
，
即平面與平面所成銳二面角的余弦值.
17. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系，分和兩種情況討論求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，當(dāng)時(shí)，，且，
若，則，即，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，，
整理得，即，
所以.
綜上所述，.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
此時(shí)時(shí)適合上式，
所以.
18. 地區(qū)生產(chǎn)總值(地區(qū))是衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要指標(biāo)，在過(guò)去五年(2019年-2023年)中，某地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值實(shí)現(xiàn)了“翻一番”的飛躍，從1464億元增長(zhǎng)到了3008億元，若該地區(qū)在這五年中的年份編號(hào)x(2019年對(duì)應(yīng)的 x值為1，2020 年對(duì)應(yīng)的x值為2，以此類推)與地區(qū)生產(chǎn)總值y(百億元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：
（1）該地區(qū)2023年的人均生產(chǎn)總值為9.39 萬(wàn)元，若2023年全國(guó)的人均生產(chǎn)總值X(萬(wàn)元)服從正態(tài)分布，那么在全國(guó)其他城市或地區(qū)中隨機(jī)挑選2 個(gè)，記隨機(jī)變量 Y為“2023年人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的城市或地區(qū)的數(shù)量”，求的概率；
（2）該地區(qū)的人口總數(shù)t(百萬(wàn)人)與年份編號(hào)x的回歸方程可以近似為，根據(jù)上述的回歸方程，估算該地區(qū)年份編號(hào)x與人均生產(chǎn)總值(人均)u(萬(wàn)元)之間的線性回歸方程.
參考公式與數(shù)據(jù)：人均生產(chǎn)總值=地區(qū)生產(chǎn)總值÷人口總數(shù)；
線性回歸方程中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別是：，
若，則.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正態(tài)分布的區(qū)間公式先計(jì)算大于該地區(qū)人均生產(chǎn)總值的概率，再由二項(xiàng)分布計(jì)算即可；
（2）利用最小二乘法的計(jì)算公式求值即可.
【小問(wèn)1詳解】
易知，所以根據(jù)正態(tài)分布區(qū)間公式有，
即每個(gè)地區(qū)大于該地區(qū)的人均生產(chǎn)總值的概率為，
則，所以：；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，由題意可知，每年的人均生產(chǎn)總值分別依次為：
，
，
所以，
則，
由公式可知，
即
19. 已知函數(shù).
（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，
（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)且.
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：.
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（i）（ii）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值證明，
（2）根據(jù)極值點(diǎn)可得韋達(dá)定理，根據(jù)一元二次方程根的分布即可求解的范圍，利用，消去，進(jìn)而看做關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值判斷，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
時(shí)，
則，故在單調(diào)遞減，
故，故時(shí)，，
【小問(wèn)2詳解】
（i），
由于有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)且，
故是的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，
故，解得，
故
（ii）由于，所以，故，
由于，故，
，
令，
故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，
故，
由于故，
因此，
故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).年份編號(hào)x
1
2
3
4
5
地區(qū)生產(chǎn)總值y(百億元)
14.64
17.42
20.72
2520
30.08

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