山東省菏澤市第二中學(xué)西安路校區(qū)2024屆高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 從某班所有同學(xué)中隨機抽取10人，獲得他們某學(xué)年參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的數(shù)據(jù)如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】借助眾數(shù)定義即可得.
【詳解】由數(shù)據(jù)可知，其中服務(wù)次數(shù)為4的個數(shù)最多，故眾數(shù)為4.
故選：D.
2. 已知向量滿足，則的值為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】由題意知，.
故選：C
3. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（ ）
A. B. 4C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助三角形面積公式及余弦定理計算即可得.
【詳解】，由，故，又，
故，，由余弦定理可得：
，
即.
故選：C.
4. 四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別為，高為），則四羊方尊的容積約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)臺體的體積公式運算求解.
【詳解】由題意可得：四羊方尊的容積約為.
故選：A.
5. 將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人共有多少種分法，再求出甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的分法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.
【詳解】將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人，
則有3人分到一個地區(qū)，分配方法共有種，
其中甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的分配方法有，
故所求的概率為，
故選：D
6. 遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱. 已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)的方差為（ ）
A. 14.4B. 9.6C. 24D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】由題意根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出的值，確定質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)，根據(jù)二項分布的方差公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，
且，故，
從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)
故，
故選：A
7. 已知函數(shù)滿足，則（ ）
A. 10000B. 10082C. 10100D. 10302
【答案】C
【解析】
【分析】賦值得到，利用累加法得到，令得到，賦值得到，從而求出答案.
【詳解】中，令得，
，
故，
故，
其中，①
，②
，③
……，
，
上面99個式子相加得，
，
令得，
中，令得，
故.
故選：C
8. 已知動點在直線上，過總能作圓的兩條切線，切點為，且恒成立，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè),，然后得到恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為最短即為點到直線的距離，計算即可.
【詳解】設(shè)，則,
恒成立，即，則恒成立，
最短即為點到直線的距離，則，解得或.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】借助輔助角公式可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍.
【詳解】，
當(dāng)，由，則，
則有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
當(dāng)時，有，時，有，
故的取值可能在或.
故選：AC.
10. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出集合，根據(jù)集合的運算即可判斷A，B；結(jié)合，可判斷C；由，結(jié)合判別式，可求得a的范圍，即可判斷D.
【詳解】由題意得，
故，，A錯誤，B正確；
由于，故，則，C正確；
若，則能取到所有的正數(shù)，
即，則或，
即，D正確，
故選：BCD
11. 拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為1，經(jīng)過點的直線與交于兩點，則（ ）
A. 當(dāng)時，直線斜率的取值范圍是
B. 當(dāng)點與點重合時，
C. 當(dāng)時，與的夾角必為鈍角
D. 當(dāng)時，為定值（為坐標(biāo)原點）
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)條件，得到，，再結(jié)合各個選項的條件，聯(lián)立直線與拋物線方程，逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.
【詳解】依題意可得，
對于選項A，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，代入，
得，則，得到且，
所以，故選項A錯誤，
對于選項B，當(dāng)點與點重合時，直線的方程為，代入，
得，設(shè)，
則，
則，所以選項B正確，
當(dāng)時，直線的方程為，代入，
得，則，，易知異號，所以，則，
所以，得到，所以選項正確，
又當(dāng)時，在內(nèi)，則，
又三點不可能共線，所以與的夾角必為鈍角，所以選項C正確，
故選：BCD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家?！薄吧呈[牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設(shè)在上菜的過程中服務(wù)員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根據(jù)元素相鄰關(guān)系進(jìn)行捆綁并結(jié)合排列問題得出結(jié)果.
【詳解】服務(wù)員隨機上這八道菜有種排法，
“沙蔥牛肉”，“北京烤鴨”相鄰有種排法，
所以所求概率．
故答案為：.
13. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最小值為_________________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理及條件可得，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得，，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
14. 已知球O的表面積為，正四面體ABCD的頂點B，C，D均在球O的表面上，球心O為的外心，棱AB與球面交于點P．若平面，平面，平面，平面，且與之間的距離為同一定值，棱AC，AD分別與交于點Q，R，則的周長為______.
【答案】##
【解析】
【分析】結(jié)合球的表面積公式，根據(jù)正三角形外接圓的性質(zhì)求得邊長，利用三點共線及數(shù)量積的運算律求得，然后利用平行平面的性質(zhì)求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周長.
【詳解】設(shè)與之間的距離為d，設(shè)球O的半徑為R，則由題意得，解得，
所以，所以，所以，
由A，P，B三點共線，故存在實數(shù)使得，
所以，所以，即，
解得，所以，所以，所以，
又且與之間的距離為d，則，，
所以，，所以，
又，所以的周長為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查學(xué)生的空間想象能力，解題關(guān)鍵是找到點的位置．本題中應(yīng)用正四面體的性質(zhì)結(jié)合球的半徑，求出邊長，利用平行平面的距離，得到所求三角形的邊長即可求解.
四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，采用兩式相減的方法，即可求得答案；
（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用分組求和法，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意可知，當(dāng)時，；
當(dāng)時，由得，，
兩式作差可得，，
也適合該式，故；
【小問2詳解】
證明：由題意知，
故
，
由于，則，故，
即.
16. 2024年初，OpenAI公司發(fā)布了新的文生視頻大模型：“Sra”，Sra模型可以生成最長60秒的高清視頻．Sra一經(jīng)發(fā)布在全世界又一次掀起了人工智能的熱潮．為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營．選拔考試分為“Pythn編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個科目，考生兩個科目考試的順序自選，若第一科考試不合格，則淘汰；若第一科考試合格則進(jìn)行第二科考試，無論第二科是否合格，考試都結(jié)束．“Pythn編程語言”考試合格得4分，否則得0分；“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分，否則得0分．
已知甲同學(xué)參加“Pythn編程語言”考試合格的概率為0.8，參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7．
（1）若甲同學(xué)先進(jìn)行“Pythn編程語言”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【答案】（1）分布列見詳解
（2）先回答“Pythn編程語言”考試這類問題，理由見詳解.
【解析】
【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分別計算概率即可求解；
（2）設(shè)甲同學(xué)先進(jìn)行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，求解的分布列，分別計算，的期望，比較大小，即可求解.
【小問1詳解】
由題意的所有可能取值為，，，
所以，，
，
所以的分布列為
【小問2詳解】甲同學(xué)選擇先回答“Pythn編程語言”考試這類問題，理由如下：
由（1）可知，
甲同學(xué)先進(jìn)行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試，記為甲同學(xué)的累計得分，
則的所有可能取值為，，，
，，
，
所以的分布列為
，
所以，
所以甲同學(xué)選擇先回答“Pythn編程語言”考試這類問題.
17. 如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．
（1）證明：平面；
（2）若，點滿足，求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理得證線面垂直后可得線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明結(jié)論成立；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．
【小問1詳解】
過作于點，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
【小問2詳解】
由（1）平面，平面,故,
以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，，,1,，，
故，,所以,
，
設(shè)平面的法向量，
則，令有，故，
平面法向量，
則，
又二面角所成角為銳角，
二面角所成角的余弦值為，角的大小為．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線經(jīng)過點，點與點關(guān)于原點對稱，為上一動點，且異于兩點.
（1）求離心率；
（2）若△的重心為，點，求的最小值；
（3）若△的垂心為，求動點的軌跡方程.
【答案】（1）
（2）
（3）（去除點）.
【解析】
【分析】（1）將點代入雙曲線的方程求出值，即可求得的離心率；
（2）根據(jù)三角形的重心公式求得動點的軌跡方程，根據(jù)兩點間距離公式求出的最小值；
（3）根據(jù)求動點的軌跡方程.
【小問1詳解】
因雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，
所以的離心率，
【小問2詳解】
易知.設(shè).
因為△的重心為 ，所以,解得,
因為，所以，即.
因為不共線，所以 且，
所以的軌跡不含兩點.
故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即的最小值為.
【小問3詳解】
因為為△的垂心，所以，
設(shè)，
當(dāng)直線或的斜率為0時，點的坐標(biāo)為或，
此時點與點重合，不合題意，舍.
當(dāng)直線或的斜率不為0時，直線與的斜率存在，
則，
由（2）知，則，
則.
因為，所以，
，則，得，
則，因為構(gòu)成三角形，故不能在軌跡上，
綜上，動點的軌跡方程為（去除點）.
19. 大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊含的價值，數(shù)據(jù)篩選在整個數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會起到事半功倍的效果．現(xiàn)有一個“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過操作刪去一個無窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列．設(shè)數(shù)列的通項公式，，通過“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對數(shù)列進(jìn)行操作后得到，設(shè)前n項和為．
（1）求；
（2）是否存在不同的實數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由；
（3）若，，對數(shù)列進(jìn)行操作得到，將數(shù)列中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1項刪掉，剩下的項按從小到大排列后得到，再將的每一項都加上自身項數(shù)，最終得到，證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和．
【答案】（1）
（2）不存在，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意可得，借助等比數(shù)列前項和公式計算即可得；
（2）借助反證法，假設(shè)存在，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到與假設(shè)矛盾之處即可得；
（3）借助題意，計算出后，可得，，即可得，，再得到，，
即可得，設(shè)出，從而證明，分、、、逐個證明即可得.
【小問1詳解】
由，知：當(dāng)時，；
當(dāng)時，故，，
則，；
【小問2詳解】
假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，，，，，
化簡得，∵，∴，
∴，∴，
與“，且，”矛盾，故不存在；
【小問3詳解】
由題意，，則，，，
所以保留，，則，，，
又，，，，，
將，刪去，得到，則，，
，，，
即：，，，
即：，，
記，下面證明：，
由，，，，
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
；
時，，，
，
綜上，對任意的，都有，原命題得證．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題最后一問關(guān)鍵點在于由題意得到的通項公式后，設(shè)出，從而證明，此時需分、、、逐個證明.