班級__________姓名__________學(xué)號__________成績__________
第Ⅰ卷（共100分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 下列各角中，與角終邊相同的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，A為鈍角，則點（ ）
A. 在第一象限B. 在第二象限
C. 在第三象限D(zhuǎn). 在第四象限
3. 已知，且角，的終邊關(guān)于軸對稱，則（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（ ）
A. 2B. 1C. D.
5. 下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
6. 如果角的終邊在直線上，則（ ）
A. B. C. D.
7. 若將函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度，再保持縱坐標(biāo)不變，并將圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖像的對稱中心可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖位置p（x，y）．若初始位置為，當(dāng)秒針從P0（注此時t=0）正常開始走時，那么點P的縱坐標(biāo)y與時間t的函數(shù)關(guān)系為（ ）
A. y=sinB. y=sin
C. y=sinD. y=sin
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9. 已知向量，.若，則__________.
10. 已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為______.
11. 已知是方程的兩根，則等于__________.
12. 設(shè)向量，的夾角為，且，，則__________.
13. 已知函數(shù)，若對任意都有（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個取值為_________．
14. 關(guān)于函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)的最小正周期為；
②函數(shù)的最小值是1；
③函數(shù)的最大值是；
④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
其中全部正確結(jié)論的序號是__________.
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
15. 已知角的終邊過點，且.
（1）求，，的值；
（2）求，的值.
16. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍.
17. 已知同時滿足下列四個條件中的三個：
①；②的圖像可以由的圖像平移得到；③相鄰兩條對稱軸之間的距離為；④最大值為.
（1）請直接指出這三個條件，并求出的解析式；
（2）若曲線的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，求的取值范圍.
第Ⅱ卷（共50分）
四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊與以原點為圓心的單位圓交于點，則______．
19. 梯形中，，，，，點在線段上運動.
（1）當(dāng)點與點重合時，__________.
（2）的最小值是__________.
20. 已知點，是函數(shù)圖像上的任意兩點，角的終邊經(jīng)過點，且當(dāng)時，的最小值為.又對任意，不等式恒成立，則__________，實數(shù)的取值范圍是__________.
21. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是__________.
①在區(qū)間上有且僅有個不同的零點；
②的最小正周期可能是；
③的取值范圍是；
④在區(qū)間上單調(diào)遞增.
五、解答題（本大題共3小題，共30分）
22. 已知函數(shù).
（1）求在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，請直接寫出實數(shù)的取值范圍（不需過程）.
23. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，、、三點滿足.
（1）已知，，求；
（2）已知，，，的最小值為，求實數(shù)的值.
24. 已知函數(shù)的定義域為區(qū)間D，若對于給定的非零實數(shù)m，存在，使得，則稱函數(shù)在區(qū)間D上具有性質(zhì).
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，求n的取值范圍；
（3）已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且，求證：函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).
參考答案
第Ⅰ卷（共100分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 【答案】D
【解析】
【分析】
寫出與終邊相同角的集合，取k值得答案.
【詳解】與角終邊相同的角的集合為，
取，可得.
∴與角終邊相同的是.
故選：D
【點睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.
2. 【答案】B
【解析】
【分析】先判斷的正負(fù)，即可求解
【詳解】在中，A為鈍角，則B為銳角，
則，
則點在第二象限，
故選：B
3. 【答案】B
【解析】
【分析】首先根據(jù)對稱性，求的關(guān)系，根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可求解.
【詳解】因為角，的終邊關(guān)于軸對稱，所以，，
即，.
故選：B
4. 【答案】C
【解析】
【分析】由圖象分析函數(shù)的周期，求得的值.
【詳解】因為，，由圖象可知，函數(shù)的半周期是，
所以，得.
故選：C
5. 【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的周期公式及二倍角的余弦公式,結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】對于A，，由題意可知，的定義域為,，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，，由題意可知，的定義域為,，所以為偶函數(shù)，故D正確.
故選：D.
6. 【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】因為角的終邊在直線上，
所以.
所以.
故選：B.
7. 【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】將函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度得到，
再將保持縱坐標(biāo)不變，圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到，
令，，解得，，
所以函數(shù)的對稱中心為，，故符合題意的有.
故選：A
8. 【答案】C
【解析】
【分析】先確定函數(shù)的周期，再假設(shè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合待定系數(shù)法可求函數(shù)的解析式，注意秒針是順時針走動．
【詳解】解：由題意，函數(shù)的周期為，
設(shè)函數(shù)解析式為（因為秒針是順時針走動），
初始位置為，，
時，，
，
可取，
函數(shù)解析式為
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9. 【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的條件及數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】因為，，且 ，
所以，解得.
故答案為：.
10. 已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知結(jié)合弧長公式即可直接求解
【詳解】由弧長公式可得.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.
11. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由題意知是方程的兩根，
可得，
所以.
故答案為：.
12. 【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得.
【詳解】因為向量，的夾角為，且，，
所以，
所以
.
故答案為：
13. 【答案】（答案不唯一，只要是即可）
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)的對稱性得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出都可滿足條件.
【詳解】函數(shù)中心對稱點都在x軸上，所以，
所以對任意恒成立，
，
所以，故利用誘導(dǎo)公式得都可滿足條件.
故答案為：（答案不唯一，只要是即可）
【點睛】正弦函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，單調(diào)性及誘導(dǎo)公式等等是我們必備的基礎(chǔ)知識，做題時經(jīng)常用到.
14. 【答案】①②③
【解析】
【分析】首先把三角函數(shù)變形成的形式，進(jìn)而逐一分析三個結(jié)論的真假，可得答案.
【詳解】函數(shù)，
則，
且，
函數(shù)圖象如下所示：
所以函數(shù)的最小正周期為，故①正確；
故當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，故②正確；
當(dāng)時，函數(shù)取最大值，故③正確；
當(dāng)時，，因為在上不單調(diào)，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯誤；
故答案為：①②③
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
15. 【答案】（1）；；.
（2）；.
【解析】
【分析】（1）利用余弦函數(shù)在各象限的符號及三角函數(shù)的定義即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及二倍角的余弦公式，利用兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的特殊值即可求解.
【小問1詳解】
因為角的終邊過點，且，
所以是第二象限角,且.
所以，解得或（舍）.
所以,
所以，.
【小問2詳解】
由（1）知，，
又因為，
所以，
.
16.【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間，；
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化簡函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果求在區(qū)間的范圍，根據(jù)函數(shù)無零點，求的取值范圍.
【小問1詳解】
，
則函數(shù)的最小正周期,
令，，
得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，；
【小問2詳解】
，
當(dāng)時，因為函數(shù)在上無零點，
所以，解得：.
17. 【答案】（1）①③④，
（2）
【解析】
【分析】（1）先分析②③④成立時的情況，然后推出矛盾即可確定出滿足的三個條件；
（2）先根據(jù)（1）求解出的解析式，然后采用整體替換的方法求解出的對稱軸方程，然后對進(jìn)行賦值，確定出在區(qū)間上僅有一條對稱軸時的取值范圍.
【小問1詳解】
三個條件是：①③④，理由如下：
若滿足②：因為，所以，；
若滿足③：因為，所以，所以，
若滿足④：，
由此可知：若滿足②，則③④均不滿足，
所以滿足的三個條件是：①③④；
由③④知，
由①知，所以，所以，
所以或，
所以或，又因為，
所以，所以，
【小問2詳解】
由（1）可知，
不妨令，所以，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以若要的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，只需,
所以的取值范圍是.
第Ⅱ卷（共50分）
四、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
18. 【答案】##0.6
【解析】
【分析】先根據(jù)三角函數(shù)定義求得，再使用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，由誘導(dǎo)公式得：.
故答案為：
19. 【答案】 ①. 0 ②. ##
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解；
（2）根據(jù)是等腰直角三角形，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.
【詳解】（1）如圖，以點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)點與點重合時，
，，，，
，，；
（2）由（1）可知，是等腰直角三角形，設(shè)，，
，
，
當(dāng)時，的最小值是.
故答案為：；.
20. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由的終邊上的點可求出的值，再由題可得，即可求出，可得解析式；根據(jù)可得的范圍，不等式化為，求出的最大值即可.
【詳解】角的終邊經(jīng)過點，所以，
又，所以，
因為當(dāng)時，的最小值為，
所以，即，所以，
可得，
當(dāng)時，，，
所以，所以，
于是即為，
由，，，
所以，
得的最大值為，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：；.
21. 【答案】②③
【解析】
【分析】首先通過在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，求出的范圍，再依次對各項進(jìn)行辨析即可.
【詳解】∵，
∴當(dāng)時，，
∵正弦函數(shù)的對稱軸為直線，，
∴當(dāng)，，，，時，的對稱軸分別為直線，，，，，
∴若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，
則，解得，故③正確；
對于①，當(dāng)時，，
∵，∴，
∵正弦函數(shù)的對稱中心為點，時，
∴當(dāng)，，，時，的對稱中心分別為點，，，，
∴當(dāng)，即時，有且僅有個對稱中心，
當(dāng)，即時，有且僅有個對稱中心，故①錯誤；
對于②，若的最小正周期，則，故②正確；
對于④，當(dāng)時，，
又∵，∴，
∵正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，在區(qū)間上不單調(diào)，故④錯誤．
故答案為：②③.
【點睛】方法點睛：本題的取值并不是一個特定的值，而是一個范圍，故應(yīng)首先由已知條件解決的取值范圍，判斷③，再由的取值范圍，使用整體代換思想，對其他項進(jìn)行辨析.
五、解答題（本大題共3小題，共30分）
22. 【答案】（1）最大值，最小值.
（2）
【解析】
【分析】（1）使用二倍角公式（降冪公式）和輔助角公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個不同的交點解決即可.
【小問1詳解】
由已知，
，
當(dāng)時，，
∴當(dāng)，即時，，有最大值，
當(dāng)，即時，，有最小值.
∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
【小問2詳解】
由第（1）問，，
在上有兩個不同的零點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)解，
令，∵，∴，
∴方程即，在上有兩個不相等的實數(shù)解，
∴函數(shù)的圖象與直線在上有兩個交點，如圖所示.
∴實數(shù)的取值范圍是.
23. 【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求出，，的坐標(biāo)，再坐標(biāo)法求出數(shù)量積與模，即可得解；
（2）首先求出、，則，再令，，令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到方程，解得即可.
【小問1詳解】
因為，，所以，，，
又，所以，
所以，，，
所以.
【小問2詳解】
因為，，,
所以，
，
故，，
從而
，
即，，
依題意，
令，，令，，
則對稱軸為，
①當(dāng)≤，即時，當(dāng)時，，
由，得，解得或，又，
所以；
②當(dāng)>，即時，當(dāng)時，，
由，得，解得，又，所以．
綜上所述：的值為或．
24. 【答案】（1）具有性質(zhì)，理由見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題可得，則，結(jié)合條件即得；
（2）由，解得，，可得，即得；
（3）設(shè)，，可得，當(dāng)、、、、、中有一個為0時，可得，，即證；當(dāng)、、、、、中均不為0時，由于其和為0，則其中必存在正數(shù)和負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，，結(jié)合條件可知，存在，，即證.
【小問1詳解】
函數(shù)在上具有性質(zhì).
若，則，
因為，且，
所以函數(shù)在上具有性質(zhì).
【小問2詳解】
解法1：由題意，存在，使得，
得（舍）或，
則得.
因為，所以.
又因為且，
所以，即所求的取值范圍是.
解法2：當(dāng)時，函數(shù)，是增函數(shù)，
所以不符合題意；
當(dāng)時，因為直線是函數(shù)的一條對稱軸，
而函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，
所以，
解得，即所求的取值范圍是.
【小問3詳解】
設(shè)，.
則有，，，，
，，.
以上各式相加得
即，
（ⅰ）當(dāng)、、、、、中有一個為0時，不妨設(shè)，，即，即，，
所以函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).
（ⅱ）當(dāng)、、、、、中均不為0時，由于其和為0，
則其中必存在正數(shù)和負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，，
其中，.
由于函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，所以當(dāng)時，至少存在一個實數(shù)（當(dāng)時，至少存在一個實數(shù)），其中，使得，即，
即存在，使得，
所以函數(shù)在區(qū)間上也具有性質(zhì).
綜上，函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì).
考
生
須
知
1.本試卷共4頁，共五道大題，24道小題，答題卡共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.
2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級、姓名、學(xué)號.
3.試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效.
4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

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