審核人：金永濤，考試時(shí)間：90分鐘
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.
1. 若，且，則是
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
2. 函數(shù)的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，則（ ）
A. B. 4C. D. 6
4. 已知向量滿足，，則
A. 4B. 3C. 2D. 0
5. 下列函數(shù)中，在上遞增的偶函數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
6. 設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則它的一條對(duì)稱軸方程為（ ）
A. B. C. D.
7. 設(shè)，是非零向量，“”是“”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊構(gòu)成一條直線，且，則（ ）
A. 1B. C. D.
10. 已知點(diǎn)，，.若平面區(qū)域D由所有滿足的點(diǎn)P組成（其中，），則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上。
11. 若，則_______.
12. 設(shè)，且，則為_______.
13. 在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.
14. 已知函數(shù).若對(duì)，恒成立，則_______.
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為______________.
三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點(diǎn)
（1）求的值；
（2）若角滿足，求的值.
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若與的夾角為，求的值.
18. 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)，（，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值；
（3）將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象.若圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值.
19. 定義：若函數(shù)的定義域?yàn)镈，且存在非零常數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則稱為線周期函數(shù)，為的線周期.
（1）下列函數(shù)（其中表示不超過x的最大整數(shù)），是線周期函數(shù)的是____________（直接填寫序號(hào)）；
（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，求證：為周期函數(shù)；
（3）若為線周期函數(shù)，求的值.
參考答案
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.
1. 【答案】C
【解析】
【詳解】，則的終邊在三、四象限； 則的終邊在三、一象限，
，，同時(shí)滿足，則的終邊在三象限．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)周期公式計(jì)算可得.
【詳解】函數(shù)的最小正周期.
故選：C
3. 【答案】C
【解析】
【分析】求出的坐標(biāo)，再由模的坐標(biāo)表示計(jì)算．
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以，
故選：C．
4. 【答案】B
【解析】
【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.
詳解：因?yàn)?br>所以選B
點(diǎn)睛：向量加減乘：
5. 【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：為偶函數(shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，則，故為偶函數(shù)，
且時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確；
故選：D
6. 【答案】B
【解析】
【分析】由題得，再依次代入檢驗(yàn)即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，
所以，解得
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的對(duì)稱軸，故正確；
當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；
故選：B
7. 【答案】A
【解析】
【詳解】，由已知得，即，.而當(dāng)時(shí)，還可能是，此時(shí)，故“”是“”的充分而不必要條件，故選A.
考點(diǎn)：充分必要條件、向量共線.
8. 【答案】A
【解析】
【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：
將的圖象向右平移個(gè)單位長度之后的解析式為：
.
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
9. 【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)角與的終邊構(gòu)成一條直線得，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可求解.
【詳解】由題意，角與的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，終邊構(gòu)成一條直線，所以，
所以
，
又，
所以.
故選：C.
10. 【答案】D
【解析】
【分析】由題可得關(guān)于的表達(dá)式，后由不等式性質(zhì)可得答案.
【詳解】由題可得，，
則.
又，則，則.
故選：D
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中橫線上。
11. 【答案】
【解析】
【分析】由兩角差的正切公式計(jì)算.
【詳解】因?yàn)?
所以.
故答案為：.
12. 【答案】##
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的單調(diào)性得結(jié)論．
【詳解】因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，
所以由，得．
故答案為：．
13. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【詳解】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.
考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識(shí)與計(jì)算，利用向量相等解題.
14. 【答案】
【解析】
【分析】依題意為函數(shù)的最大值，即可得到，，結(jié)合的取值范圍，即可得解.
【詳解】因?yàn)閷?duì)，恒成立，所以，，
解得，，
因?yàn)椋?
故答案為：
15. 【答案】
【解析】
【詳解】如圖，連結(jié)AP，分別過P，A作PC，AB垂直x軸于C，B點(diǎn)，過A作AD⊥PC于D點(diǎn)．由題意知的長為2.
∵圓的半徑為1，
∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－.
∴DP＝AP·sin＝－cs 2，
∴PC＝1－cs 2，
DA＝APcs＝sin 2.
∴OC＝2－sin 2.
故＝(2－sin 2,1－cs 2)．
三、解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16. 【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的定義求解；
（2）由平方關(guān)系求得，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算．
【小問1詳解】
，
因此由已知得，，
所以；
【小問2詳解】
，則，
，
時(shí)，，
時(shí)，，
綜上，或．
17. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；
（2）首先求出，，依題意可得，再利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得；
【小問1詳解】
解：因?yàn)?，且?br>所以，即，所以；
【小問2詳解】
解：因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)榕c的夾角為，所以，即，
所以，因?yàn)椋?，所以，所以?br>18. 【答案】（1）表格見解析，
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到方程組，即可求出、，再讀出，從而得到函數(shù)解析式，再補(bǔ)全表格即可；
（2）根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（3）利用平移規(guī)律得，再利用對(duì)稱中心公式，令，，求得.
【小問1詳解】
由表格數(shù)據(jù)可知，解得，且，
所以，
數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：
【小問2詳解】由（1）可得，
又，則，所以，
所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí).
【小問3詳解】
函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得，
因?yàn)榈膶?duì)稱中心是，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，
所以，，解得，
又，當(dāng)時(shí)，的最小值是.
19. 【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義逐一判斷即可；
（2）根據(jù)新定義證明即可；
（3）若為線周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)，對(duì)任意，都有
，可得，解得的值再檢驗(yàn)即可.
【詳解】（1）對(duì)于，，所以不是線周期函數(shù)，
對(duì)于，，所以不是線周期函數(shù)，
對(duì)于，，所以是線周期函數(shù)；
（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，
則存在非零常數(shù)對(duì)任意，都有恒成立，
因?yàn)椋?br>所以，
所以為周期函數(shù)；
（3）因?yàn)闉榫€周期函數(shù)，
則存在非零常數(shù)，對(duì)任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因?yàn)?，所以?br>檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
存在非零常數(shù)，對(duì)任意，
，
所以為線周期函數(shù)，
所以：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，以及特殊值解決恒成立問題.
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