一、選擇題
1．( )
A.B.iC.D.
2．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
3．已知函數(shù),則( )
A.14B.5C.1D.-1
4．已知拋物線經(jīng)過點,C的焦點為F,則線段EF的中垂線的斜率為( )
A.B.C.D.
5．若x,y滿足約束條件,則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．2024年1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月每月都是31天,2月是29天,其余月份是30天,從2024年2月,4月,6月,8月,10月,12月中任取兩個月份,則所取的兩個月份的天數(shù)之和不小于60的概率為( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)滿足,則的最小值為( )
A.B.C.D.
8．若,,,則( )
A.B.C.D.
9．?dāng)?shù)列是指每一項均為0或1的數(shù)列,這類數(shù)列在計算機科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.若數(shù)列是數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)時,,設(shè)的前n項和為,則滿足的n的最大值為( )
A.600B.601C.604D.605
10．已知四棱錐的側(cè)面都是邊長為4的等邊三角形,且各表面均與球O相切,則球O的半徑為( )
A.B.C.D.
11．直線l過雙曲線的右焦點F,且與C的左,右兩支分別交于A,B兩點,點B關(guān)于坐標原點對稱的點為P,若,且,則C的離心率為( )
A.3B.C.2D.
二、多項選擇題
12．隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升,人們對新能源汽車的需求逐步增加,從而推動了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長,如圖為某機構(gòu)統(tǒng)計的2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模及預(yù)測數(shù)據(jù),則( )
A.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模逐年增長
B.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元
C.逐年比較,預(yù)計2025年中國新能源汽車市場規(guī)模的增長量最大
D.2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進行擬合
三、填空題
13．已知等差數(shù)列中,,則________.
14．若是偶函數(shù),則實數(shù)________.
15．尺規(guī)作圖不能問題之一的“倍立方”問題,是指已知體積為的正方體,作一個體積為的正方體,若跳出尺規(guī)作圖的限制,借助其他工具可使問題得到解決.如圖,作矩形ABCD,其中,,以矩形ABCD的中心G為圓心作圓,與AB,AD的延長線分別交于點E,F,且點E,C,F共線,則即為所求正方體的棱長.若,,則________.
16．已知在中,,,點D,E是邊BC上的兩點,點D在B,E之間,,則________.
四、解答題
17．的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知.
（1）求;
（2）若,求.
18．如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,四邊形ABEF是等腰梯形,,,三棱錐的體積為,平面ABCD與平面ABEF垂直.
（1）求直線EF到平面ABCD的距離;
（2）求證:平面⊥平面ACE.
19．隨著人們對節(jié)日儀式的愈加重視及送禮需求的不斷增加,中國禮物經(jīng)濟市場規(guī)模逐年增大,下表為2019-2023年中國禮物經(jīng)濟市場規(guī)模的數(shù)據(jù)(萬億元),其中2019-2023年的年份代碼分別為1-5.
（1）由上表數(shù)據(jù)可知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
（2）求y關(guān)于的回歸方程.(系數(shù)精確到0.001)
參考數(shù)據(jù):,,,.
參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
20．已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性;
（2）設(shè),若當(dāng)時,,求a的取值范圍.
21．已知橢圓的離心率為,過右焦點F且不與坐標軸垂直的直線交C于P,Q兩點,點P關(guān)于y軸的對稱點為S,且.
（1）求C的方程;
（2）設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為R,直線RP交x軸于點T,直線ST與C的另一交點為U,證明:直線AF,UF關(guān)于直線對稱.
22．在直角坐標系xOy中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求圓C的極坐標方程;
（2）在極坐標系中,射線,分別與圓C交于點A,B,求面積的取值范圍.
23．已知a,,且.
（1）若,設(shè),,比較m和n的大小;
（2）若,求的最小值.
參考答案
1．答案：A
解析：.
故選:A.
2．答案：C
解析：由,,得,
故,
故選:C
3．答案：B
解析：由題意知,
故,
故選:B
4．答案：D
解析：因為拋物線經(jīng)過點,
則,解得,
可知C的焦點為,則直線EF的斜率,
所以線段EF的中垂線的斜率為.
故選:D.
5．答案：D
解析：作出約束條件表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分:
平移直線,當(dāng)平移后的直線經(jīng)過可行域中的A點時,取最大值,
對于,令,則,故,
則的最大值為,
當(dāng)過原點時,,
故的取值范圍是,
故選:D
6．答案：A
解析：所有取出的月份可能為:
2月與4月,2月與6月,2月與8月,2月與10月,2月與12月,4月與6月,
4月與8月,4月與10月,4月與12月,6月與8月,6月與10月,6月與12月,
8月與10月,8月與12月,10月與12月共15種,
其中天數(shù)之和不小于60的可能有:
2月與8月,2月與10月,2月與12月,4月與6月,4月與8月,4月與10月,
4月與12月,6月與8月,6月與10月,6月與12月,8月與10月,8月與12月,
10月與12月共13種,
故所取的兩個月份的天數(shù)之和不小于60的概率為.
故選:A.
7．答案：A
解析：因為,可知為的對稱中心,
則,可得,,
解得,,
且,可知:當(dāng)時,a取到最小值.
故選:A.
8．答案：C
解析：由,即,
又由,即,即,所以,
因為,
根據(jù)對數(shù)函數(shù)為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù),可得,所以,
所以.
故選:C.
9．答案：C
解析：由題意可知:,,
且,,,
即,
當(dāng)時,,
可知,且,
所以滿足的n的最大值為604.
故選:C.
10．答案：B
解析：由題意可知:ABCD為菱形,且,知頂點P在底面ABCD內(nèi)的投影為四邊形ABCD的外心,
所以ABCD為正方形,即四棱錐為棱長為4的正四棱錐,
則四棱錐的高為,
設(shè)球O的半徑為r,則,解得.
故選:B.
11．答案：B
解析：如圖所示,取雙曲線左焦點,設(shè),則,
由雙曲線定義可得,又B,P關(guān)于原點對稱,
故,,,
則,
由,故,故有,
化簡可得,即有,,
由,則有,即,
即.
故選:B.
12．答案：ABD
解析：對A:從2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模數(shù)據(jù)看新能源汽車市場規(guī)模逐年增長,故A正確;
對B:數(shù)據(jù)從小到大排列為1.6,2.8,3.0,3.4,6.0,9.9,11.5,共7個數(shù)據(jù),其中位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)3.4,故B正確;
對C:2021年增長是為,2022年增長1.6,2023年增長6.9,2024年增長4.7,
從增長量上看并不是逐年增加,故無法預(yù)計2025年的增長量最大,故C錯誤;
對D:從數(shù)據(jù)上看,市場規(guī)模前期增長緩慢,后期增長較快,故可用指數(shù)型函數(shù)模型進行擬合,故D正確;
故選:ABD
13．答案：1
解析：,故.
故答案為:1.
14．答案：
解析：因為是偶函數(shù),定義域為R,
所以,所以,
所以,所以,此時,
滿足題意.
故答案為:.
15．答案：16
解析：由題意可知:,,,則,,
設(shè),可知直線,
代入可得,解得,
則,可得,
所以.
故答案為:16.
16．答案：/
解析：由題意知在中,,,,
則,
,
而,,
又,則,,
且,,
故,即,
故答案為:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理可得,
即,又,
故,由,故;
（2）由正弦定理可得,又,
故,故,
即,即有,
即,由,故,故,即.
18．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）在平面ABEF內(nèi)作,垂足為Z,四邊形ABEF是等腰梯形,
則,故;
因為平面ABCD與平面ABEF垂直,平面平面,
且平面ABEF,故平面ABCD,
而,平面,平面ABC,故平面ABC,
則EF到平面ABC的距離即為AZ的長,
即E點到平面ABC的距離即為AZ的長,即三棱錐的高等于AZ的長,
三棱錐的體積為,且四邊形ABCD是邊長為1的正方形,
則,則,
即直線EF到平面ABCD的距離為;
（2）證明:四邊形ABEF是等腰梯形,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,,,
則,
以A為坐標原點,以AD,AB,AZ所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則,,,,,
,,,,
設(shè)平面ADF的一個法向量為,則,
令,則,
設(shè)平面ACE的一個法向量為,則,
令,則,
則,即,
故平面⊥平面ACE.
19．答案：（1）,說明見解析
（2）
解析：（1）,
,
,
因為y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.978,趨近于1,說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)強,
從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系;
（2）,
,
故.
20．答案：（1）在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
（2）
解析：（1）因為,定義域為,
則,由于在上均單調(diào)遞增,
故在上均單調(diào)遞增,且,
故當(dāng)時,,當(dāng)時,,
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
（2）由題意知,
故當(dāng)時,恒成立,即恒成立,
由于,,故,
結(jié)合（1）,在上單調(diào)遞增,故得,;
令,則,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,
故,
則.
21．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,左焦點為,
點P關(guān)于y軸的對稱點為S,根據(jù)橢圓的對稱性可知,
由,得,即,,
又,,,
故橢圓C的方程為;
（2）證明:由（1）知,設(shè)PQ的方程為,,
聯(lián)立,得,,
設(shè),,,,
則,則RP的方程為,
令,則,故,
由題意知ST斜率存在,設(shè)直線ST的方程為,
聯(lián)立,得,需滿足,
設(shè),,,,
故
,
即直線SF,UF的傾斜角互補,則,
由于SF,UF過點,故直線SF,UF關(guān)于直線對稱.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
故其普通方程為,
將,代入可得,
即.
（2）由題意得,,,
則
,
因為,故,則,
故.
23．答案：（1）
（2）3
解析：（1）,
由a,,且,故,故;
（2）由,故,又,故,,
則有,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,
故,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,
故的最小值為3.
年份代碼x
1
2
3
4
5
中國禮物經(jīng)濟市場規(guī)模y/萬億元
0.944
1.091
1.157
1.226
1.300

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