1．（5分）＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知集合，B＝{x|x2≤9}，則[﹣3，+∞）＝（ ）
A．?R（A?B）B．?R（A?B）C．A?BD．A?B
3．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2sinx﹣1，若f（x0）＝10，則f（﹣x0）＝（ ）
A．﹣12B．﹣11C．﹣10D．10
4．（5分）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z＝4x+y的最大值為（ ）
A．3B．7C．11D．15
5．（5分）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝10，且是公差為﹣1的等差數(shù)列，則Sn的最大值為（ ）
A．12B．22C．37D．55
6．（5分）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，用[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，則“[x]＞[y]”是“x＞y”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
7．（5分）已知函數(shù)，若將y＝f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則m的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)的核心場(chǎng)館，它包含一座綜合運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館．現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名同學(xué)到這4個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每人去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1個(gè)人，則甲、乙兩人安排在相同場(chǎng)館的方法種數(shù)為（ ）
A．96B．144C．240D．360
9．（5分）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱C1D1上，且BP＝3，則點(diǎn)A，C到平面BB1P的距離之和為（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）把過棱錐的頂點(diǎn)且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面．現(xiàn)有一個(gè)正三棱錐、一個(gè)正四棱錐、一個(gè)正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）在△ABC中，是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，y∈R），則的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（5分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段OF為半徑作圓，與C的右支的一個(gè)交點(diǎn)為A，若，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線y＝4與拋物線交于點(diǎn)M，且|MF|＝4，則p＝ ．
14．（5分）某品牌新能源汽車2019﹣2022年這四年的銷量逐年增長(zhǎng)，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為 萬輛．
15．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，則滿足an＞160的最小正整數(shù)n＝ ．
16．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞﹣f（x），若，則滿足不等式的x的取值范圍是 ．
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
17．（12分）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3．
（Ⅰ）求cs∠CAD；
（Ⅱ）若，求BC．
18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC，AC的中點(diǎn)，∠ACB＝60°．
（Ⅰ）證明：平面ABD∥平面FEC1；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．
19．（12分）已知橢圓C：過點(diǎn)（2，3），且C的右焦點(diǎn)為F（2，0）．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，P直線x＝8上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PM，PN，PF的斜率分別為kPM，kPN，kPF，證明：kPM+kPN＝2kPF．
20．（12分）小李參加某項(xiàng)專業(yè)資格考試，一共要考3個(gè)科目，若3個(gè)科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個(gè)或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個(gè)科目每次考試合格的概率均為p（0＜p＜1），且每個(gè)科目每次考試的結(jié)果互不影響．
（Ⅰ）記“小李恰有1個(gè)科目需要補(bǔ)考”的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0．
（Ⅱ）以（Ⅰ）中確定的p0作為p的值．
（ⅰ）求小李這項(xiàng)資格考試過關(guān)的概率；
（ⅱ）若每個(gè)科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求E（X）．
21．（12分）已知函數(shù)，m∈R且m≠0．
（Ⅰ）若當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，f（x）≥1恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若?x1，x2∈（0，π）且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），求證：．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，求|PA|2+|PB|2的值．
[選修4-5：不等式選講]
23．已知函數(shù)f（x）＝2|x+1|，g（x）＝4+|2x﹣1|．
（1）求不等式f（x）+2≤g（x）的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+g（x）≥2a2﹣13a的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2023-2024學(xué)年陜西省商洛市部分學(xué)校高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（理科）（10月份）（一）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可．
【解答】解：．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本運(yùn)算判斷即可．
【解答】解：因?yàn)椋珺＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，
所以A?B＝[﹣3，+∞）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的運(yùn)算與不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
3．【分析】根據(jù)f（x）＝x2sinx﹣1得到f（﹣x），再由f（x0）＝10求解．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x2sinx﹣1，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）﹣1＝﹣x2sinx﹣1，
所以f（x）+f（﹣x）＝﹣2，
又f（x0）＝10，
所以f（﹣x0）＝﹣12．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．【分析】首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用z的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最大值．
【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，目標(biāo)函數(shù)化為y＝﹣4x+z，
表示斜率為﹣4的一組平行線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線截距最大，即z取得最大值，
聯(lián)立，得，即A（3，﹣1），
所以zmax＝4×3﹣1＝11．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
5．【分析】根據(jù)是公差為﹣1的等差數(shù)列，求出{an}的通項(xiàng)公式，判斷其為等差數(shù)列，確定該數(shù)列為遞減數(shù)列，確定其正項(xiàng)，即可求得答案．
【解答】解：由題意a1＝10，且是公差為﹣1的等差數(shù)列，
所以的首項(xiàng)為，
則，
故an＝13﹣3n，則數(shù)列{an}為a1＝10，公差為﹣3的等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，
令an＝13﹣3n≥0，∴，
即等差數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為正項(xiàng)，從第5項(xiàng)開始為負(fù)，
故Sn的最大值為．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題．
6．【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理，即可得到本題的答案．
【解答】解：若[x]＞[y]，則必有[x]＞y≥[y]，結(jié)合x≥[x]可得x＞y，
所以“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分條件；
反之，若x＞y，取x＝1.2，y＝1.1，可知[x]＝[y]，即[x]＞[y]不成立．
因此“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分不必要條件，A項(xiàng)符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了取整函數(shù)的應(yīng)用、充分必要條件的定義與判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
7．【分析】由三角函數(shù)圖象變換求出g（x），再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，
得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)g（x）＝cs，
因?yàn)閥＝g（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
所以（k∈Z），即，
因?yàn)閙＞0，故當(dāng)k＝0時(shí)，m取得最小值．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．【分析】利用排列組合的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)即可求解．
【解答】解：先將6名同學(xué)分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再?gòu)牧硗?人任選2人組成一組，其余的一人一組，
另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組．再把4組人分到4個(gè)場(chǎng)館，
所以安排方法種數(shù)為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
9．【分析】根據(jù)條件確定點(diǎn)P的位置，利用線面平行把點(diǎn)A，C 到平面BB1P的距離分別轉(zhuǎn)化點(diǎn)A1，C1到平面BB1P的距離求解即可．
【解答】解：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，B1P?平面A1B1C1D1，
則BB1⊥B1P，由BP＝3，得，
在Rt△B1C1P中，∠B1C1P＝90°，則，即點(diǎn)P為C1D1中點(diǎn)，
又因?yàn)锳A1∥BB1，BB1?平面BB1P，AA1?平面BB1P，因此AA1∥平面BB1P，
于是點(diǎn)A到平面BB1P的距離等于點(diǎn)A1到平面BB1P的距離，
同理點(diǎn)C到平面BB1P的距離等于點(diǎn)C1到平面BB1P的距離，
連接A1P，過A1，C1分別作B1P的垂線，垂足分別為O1，O，
如圖，由＝，得，解得，
在Rt△B1C1P中，，
則，
所以點(diǎn)A，C到平面BB1P的距離之和為．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．
10．【分析】設(shè)3個(gè)正棱錐的高均為h，軸截面面積的最大值均為S．設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，當(dāng)軸截面與底面的一條棱垂直時(shí)，軸截面面積最大；設(shè)正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2b，當(dāng)軸截面經(jīng)過底面的一條對(duì)角線，軸截面面積最大；設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為c，當(dāng)軸截面經(jīng)過底面的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí)，軸截面面積最大．由此能求出正三棱錐、正六棱錐的體積之比．
【解答】解：現(xiàn)有一個(gè)正三棱錐、一個(gè)正四棱錐、一個(gè)正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，
設(shè)3個(gè)正棱錐的高均為h，軸截面面積的最大值均為S．
設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，當(dāng)軸截面與底面的一條棱垂直時(shí)，軸截面面積最大，所以，
可得正三棱錐的體積為．設(shè)正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)為2b，
當(dāng)軸截面經(jīng)過底面的一條對(duì)角線，軸截面面積最大，所以S＝bh，
可得正四棱錐的體積為，
設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為c，當(dāng)軸截面經(jīng)過底面的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí)，軸截面面積最大，所以S＝ch，
可得正六棱錐的體積為．
所以正三棱錐、正六棱錐的體積之比為，即．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
11．【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得，x＞0，y＞0，則，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)锳，D，E三點(diǎn)共線，所以，x＞0，y＞0，
所以
＝
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值是9．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
12．【分析】根據(jù)題意求得sin∠AOF的值，表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，整理可得關(guān)于a，c的齊次式，即可求得離心率．
【解答】解：由題意可知，且∠AOF為銳角，
故，
而|OA|＝|OF|＝c，
故，
將代入中，
得，
結(jié)合b2＝c2﹣a2整理得13c4﹣98a2c2+49a4＝0，
即13e4﹣98e2+49＝0，
解得e2＝7或，
由于雙曲線離心率e＞1，
故舍去，
故，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線離心率的求法，屬中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．【分析】由題意可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而利用|MF|＝4，可求得p．
【解答】解：把y＝4代入拋物線方程y2＝2px（p＞0），得，
根據(jù)拋物線的定義有，解得p＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
14．【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)公式，結(jié)合題意，即可求解．
【解答】解：設(shè)2020年的銷量為a，2021年的銷量為b，5＜a＜b＜22，
由題意可知，中位數(shù)為，平均數(shù)為，
由，得a+b＝26，
所以這四年的總銷量為5+a+b+22＝53萬量．
故答案為：53．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位數(shù)和平均數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．
15．【分析】根據(jù)已知推得{an+1}是首項(xiàng)為a1+1＝2，公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，即可求解結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，
由，解得，又a2＝3a1+2，所以a1＝1．
另一方面由an+1＝3an+2，可得an+1+1＝3（an+1），
所以{an+1}是首項(xiàng)為a1+1＝2，公比為3的等比數(shù)列，
所以，
易知{an}是遞增數(shù)列，又a4＝2×27﹣1＝53，a5＝2×81﹣1＝161，
所以滿足an＞160的最小正整數(shù)n＝5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
16．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）＝exf（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為g（x）＞1＝g（ln3），求出x的取值范圍即可．
【解答】解：由題意，對(duì)任意x∈R，都有f′（x）＞﹣f（x）成立，即f′（x）+f（x）＞0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）＝exf（x），則g′（x）＝f′（x）ex+f（x）ex＝ex[f′（x）+f（x）]＞0，
所以函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增．不等式即exf（x）＞1，即g（x）＞1，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)x＞ln3時(shí)，g（x）＞g（ln3）＝1，
所以不等式g（x）＞1的解集為（ln3，+∞），
即所求的x的取值范圍為（ln3，+∞）．
故答案為：（ln3，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
17．【分析】（Ⅰ）在△ACD中由正弦定理可求得sin∠CAD的值，再結(jié)合∠CAD＜90°與同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求得；
（Ⅱ）由題可求得cs∠BAC，再在△ABC中由余弦定理即可求得BC的長(zhǎng)．
【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得，
所以＝，
由題設(shè)知∠CAD＜90°，
所以；
（Ⅱ）因?yàn)椤螧AC+∠CAD＝90°，
所以，
在△ABC中，由余弦定理得：
，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．【分析】平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則平面與平面平行．
建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解即可．
【解答】證明：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，
所以AB∥EF．
因?yàn)锳C∥A1C1，，
所以四邊形AFC1D為平行四邊形，
所以AD∥FC1，
又因?yàn)锳D?AB＝A，F(xiàn)E?FC1＝F，
所以ABD∥平面FEC1．
解：（Ⅱ）因?yàn)锳C＝2，CB＝1，∠ACB＝60°，
由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BCcs∠ACB＝3，
所以AB2+BC2＝AC2，由勾股定理可得AB⊥BC．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
故B（0，0，0），，，C（1，0，0）．
從而，，．
設(shè)平面ABD的法向量為，
由，得，
取x＝4，則為平面ABD的一個(gè)法向量，
所以，
所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面平行的證明以及線面角的計(jì)算，屬于中檔題．
19．【分析】（Ⅰ）由右焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c，由點(diǎn)（2，3）滿足橢圓方程可得a，b的方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系式，解方程可得a，進(jìn)而得到離心率；
（Ⅱ）聯(lián)立直線MN的方程與橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得證明．
【解答】解：（Ⅰ）由C的右焦點(diǎn)為F（2，0），可得c＝2，
即a2﹣b2＝4，
由點(diǎn)（2，3）在橢圓上，可得+＝1，
解方程可得a＝4，b＝2，
所以雙曲線的離心率為e＝＝；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知C的方程為．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（8，y0）．
由題意可得直線MN的方程為y＝x﹣2，
聯(lián)立，消去y可得7x2﹣16x﹣32＝0，
則，，
則
＝
＝＝，
又，
因此kPM+kPN＝2kPF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，以及橢圓與直線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
20．【分析】（Ⅰ）利用概率的求法公式可得f（p）＝3p2（1﹣p），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性和最值；
（Ⅱ）（i）分三類情況求解：第一次考試都合格；第一次考試2門合格，1門不合格；第一次考試1門合格，2門不合格；（ii）根據(jù)繳費(fèi)與補(bǔ)考科目的關(guān)系求解．
【解答】解：（Ⅰ）小李每個(gè)科目每次考試合格的概率均為p（0＜p＜1），且每個(gè)科目每次考試的結(jié)果互不影響，
由題意知f（p）＝3p2（1﹣p），0＜p＜1，
則f′（p）＝﹣9p2+6p＝3p（2﹣3p），
當(dāng)時(shí)，f′（p）＞0，
當(dāng)時(shí)，f′（p）＜0，
所以當(dāng)時(shí)，f（p）取最大值，即；
（Ⅱ）（ⅰ）小李第一次考試3個(gè)科目都合格的概率為，
小李第一次考試有2個(gè)科目合格，補(bǔ)考1個(gè)科目且合格的概率為，
小李第一次考試有1個(gè)科目合格，補(bǔ)考2個(gè)科目且均合格的概率為，
所以小李這項(xiàng)資格考試過關(guān)的概率為；
（ⅱ）每個(gè)科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，X的所有可能取值為60，80，100，
則，，
，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算以及隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．
21．【分析】（Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為，令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最大值，從而求出m的取值范圍即可；
（Ⅱ）問題等價(jià)于g（x1）＝g（x2），求出，要證，轉(zhuǎn)化為證，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為證明，
令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，sinx＞0，
所以由，可得，
令，則，
令g′（x）＝0，則sinx＝csx，而x∈（0，π），得，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜π，
故g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
故m的取值范圍為．
（Ⅱ）證明：易知f（x）≠0，故f（x1）＝f（x2），
等價(jià)于，等價(jià)于g（x1）＝g（x2），
不妨設(shè)x1＜x2，由（Ⅰ）可知，
要證，即證，
又g（x）在上單調(diào)遞減，
故需證，即，
令，
則h′（x）＝g′（x）+g′（﹣x）＝（csx﹣sinx）（﹣），
當(dāng)時(shí)，csx﹣sinx＞0，，
故h′（x）＞0，h（x）在上單調(diào)遞增，
故，即，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22．【分析】（1）根據(jù)sin2α+cs2α＝1消參即可，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式即可；
（2）先求出直線l的參數(shù)方程，聯(lián)立曲線C的普通方程，由t的幾何意義即可求解．
【解答】解：（1）由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)α，得普通方程為．
因?yàn)?，所以?br>將ρcsθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)代入得，即x﹣y+2＝0．
（2）由于直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），傾斜角為，
所以直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
代入，得，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．
[選修4-5：不等式選講]
23．【分析】（1）分段討論解絕對(duì)值不等式；
（2）f（x）+g（x）≥2a2﹣13a恒成立問題，先求得f（x）+g（x）的最小值為7，再解不等式2a2﹣13a≤7即可．
【解答】解：（1）由f（x）+2≤g（x），可得2|x+1|+2≤4+|2x﹣1|，
當(dāng)時(shí)，原不等式可化為2（x+1）+2≤4+（2x﹣1），化簡(jiǎn)得4≤3，不成立；
當(dāng)時(shí)，原不等式可化為2（x+1）+2≤4﹣（2x﹣1），解得，故；
當(dāng)x≤﹣1時(shí)，原不等式可化為﹣2（x+1）+2≤4﹣（2x﹣1），化簡(jiǎn)得0≤5，恒成立，故x≤﹣1．
綜上可知x的取值范圍為．
（2）因?yàn)閒（x）+g（x）＝|2x+2|+4+|2x﹣1|≥|2x+2﹣（2x﹣1）|+4＝7，
當(dāng)（2x+2）（2x﹣1）≤0，即時(shí)，f（x）+g（x）取最小值，且最小值為7，
由題可知關(guān)于x的不等式f（x）+g（x）≥2a2﹣13a的解集為R，即不等式恒成立，
所以7≥2a2﹣13a，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．

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