2024年高考第二次模擬考試：數(shù)學(xué)（上海專用）（解析版）

這是一份2024年高考第二次模擬考試：數(shù)學(xué)（上海專用）（解析版），共18頁。試卷主要包含了測試范圍，已知隨機變量，若，則　0.2　，曲線在點處的切線方程為　　，函數(shù)，則的最大值為 　　等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷由選擇題、填空題和解答題三大題組成，共21題。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．
3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息．
4．測試范圍：高考全部內(nèi)容
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在
答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．
1．已知，，，為虛數(shù)單位），且，則 ．
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)的模，化簡求解即可．
【解答】解：，，，為虛數(shù)單位），且，
可得，
，
解得，，可得
．
故答案為：
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算，復(fù)數(shù)的乘法，考查計算能力．
2．若集合，，則使得成立的所有的值組成的集合是 ．
【分析】依題意可得，首先求出集合，再分類討論分別計算可得．
【解答】解：因為，，，，所以；
①當(dāng)時，符合題意；
②當(dāng)，即解得，即；
③當(dāng)，即解得，即；
綜上可得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查集合的包含關(guān)系，集合的運算等知識，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知隨機變量，若，則 0.2 ．
【分析】由已知可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，得到，再由得答案．
【解答】解：隨機變量，正態(tài)分布曲線的對稱軸為，
又，且，
．
故答案為：0.2．
【點評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．
4．若關(guān)于的不等式的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是 ， ．
【分析】由絕對值三角不等式求出，再根據(jù)條件求出的范圍．
【解答】解：由絕對值三角不等式，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因為不等式的解集為空集，
所以，即實數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
5．在的展開式中各項的系數(shù)和是 ．
【分析】令，利用賦值法求解即可．
【解答】解：令，可得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題．
6．曲線在點處的切線方程為 ．
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得．
，
則曲線在點處的切線方程為．
故答案為：．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題．
7．函數(shù)，則的最大值為 ．
【分析】首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．
【解答】由于
．
當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．某新能源汽車銷售公司統(tǒng)計了某款汽車行駛里程（單位：萬千米）對應(yīng)維修保養(yǎng)費用（單位：萬元）的四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)如表：
若用最小二乘法求得回歸直線方程為，則估計該款汽車行駛里程為6萬千米時的維修保養(yǎng)費是 3.34 ．
【分析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解線性回歸方程，再將代入，即可求解．
【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，
樣本中心點為，
回歸直線方程為，
，解得，
故回歸直線方程為，
當(dāng)時，，
故估計該款汽車行駛里程為6萬千米時的維修保養(yǎng)費是3.34萬元．
故答案為：3.34．
【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．
9．如圖所示，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，其中點為半圓弧的中點，該幾何體的體積為 ．
【分析】在三角形中作于點，求得圓錐的底面半徑和高，計算出球體和圓錐體積即可求得結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)題意可知，三角形即為等腰直角三角形，
作于點，如下圖所示：
則三角形繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個全等的圓錐和，
由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為，圓錐的高，
則圓錐的體積，
半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為，
因此剩余部分所形成的幾何體的體積為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐和球的體積公式，屬于中檔題．
10．平面向量，滿足，，，則與夾角的最大值為 ．
【分析】設(shè)與夾角為，設(shè)，則，求出，再由向量夾角公式可得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．
【解答】解：設(shè)與夾角為，設(shè)，則，
，則，，
則，
則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則有，
又由，則，
即與夾角的最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量夾角的計算，基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
11．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且，則的最大值為 ．
【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，利用三角換元求出的最大值，即可得出答案．
【解答】解：由題意得設(shè)橢圓，雙曲線，
且設(shè)，，
由橢圓的定義得①，
由雙曲線的定義得②，
由①②得，
由①②得，
在△中，由余弦定理得，
③，
設(shè)，
，
當(dāng)即時，取最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查換元法，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
12．已知等差數(shù)列滿足：
，則正整數(shù)的最大值為 62 ．
【分析】由題意可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為（不妨設(shè)，首項為，
可得，
記函數(shù)，
可得函數(shù)至少有三個根，，．可知絕對值和為平底型圖像，如下圖所示，故為偶數(shù)，
記，要使，
所以，，對的點都在平底上即，，，，
所以，
即，
所以，所以，
而，所以．
故，即，
所以正整數(shù)的最大值為62，
故答案為62．
【點評】此題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解，此題是一道難題．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分）每題有且僅有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號位置將代表正確選項的小方格涂黑。
13．已知平面，，直線，滿足，，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)題意，由空間中線面的位置關(guān)系，即可判斷．
【解答】解：由題意，當(dāng)時，平面與平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立，
當(dāng)時，直線與直線可能平行，可能相交，還可能異面，故必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件．
故選：．
【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知等比數(shù)列中，，公比，則下列說法正確的是
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列
【分析】利用等比數(shù)列的通項公式求出，利用等比數(shù)列的定義分別判斷，求出數(shù)列的通項公式即可判斷．
【解答】解：等比數(shù)列中，，公比，
，即，
對于，，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤；
對于，，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故錯誤；
對于，，
故數(shù)列是首項為9，公比為3的等比數(shù)列，故正確；
對于，，
所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”——圖書館，建設(shè)高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲．現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，其平面圖形如圖1所示，（百米），建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將曲線看成函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分，若在此地塊上建立一座圖書館，平面圖為直角梯形（如圖，則圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為
A．B．C．D．
【分析】由條件求的解析式，設(shè)，利用表示梯形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值．
【解答】解：將點代入函數(shù)中可得，解得，
所以，
設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
因為直線經(jīng)過點，，所以，，
所以，
設(shè)，則點的坐標(biāo)為，
由可得，
所以點的坐標(biāo)為，
所以，
所以直角梯形的面積，
所以，
令，可得，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值，最大值為．
故選：．
【點評】本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查運算求解能力，屬于中檔題．
16．已知定義在上的函數(shù)，對于給定集合，若對任意，，當(dāng)時都有，則稱是“封閉”函數(shù)．已知給定兩個命題：
：若是“封閉”函數(shù)，則是“封閉”函數(shù)．
：若是“，封閉”函數(shù)，則在區(qū)間，上嚴(yán)格減．
則下列正確的判斷為
A．是真命題，是真命題B．是假命題，是真命題
C．是真命題，是假命題D．是假命題，是假命題
【分析】通過定義進(jìn)行證明若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)，判斷命題，再舉出反例判斷命題．
【解答】解：命題：若是“封閉”函數(shù)，即對，都有，
對于集合，任意的，，使得，則，
而，
所以，故一定是“封閉”函數(shù)，
當(dāng)時，命題正確；
命題：不妨設(shè)，，，當(dāng)，時，
，，
此時是“，封閉”函數(shù)，但為單調(diào)遞增區(qū)間，命題是假命題．
故選：．
【點評】本題考查了命題真假的判斷和函數(shù)新定義問題，屬中檔題．
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．
17．（14分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，平面平面．
（1）證明：；
（2）若為的中點，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成的角的正弦值．
【分析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證明平面即可推理作答；
（2）由給定的線面角求出，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面的正弦作答．
【解答】證明：（1）如圖，在三棱柱中，取的中點，連接，
因為是等邊三角形，則，又平面，
平面平面，平面平面，則平面，
而平面，于是，又，，平面，因此平面，
又平面，則，于是，
所以．
解：（2）取的中點，連接．由（1）得平面，
又，所以是直線與平面所成的角，即，，
由（1）知，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，直線為軸，
過點且平行于的直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，0，，，2，，，，
于是，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
即直線與平面所成的角的正弦值為．
【點評】本題主要考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題．
18．（14分）挑選空間飛行員可以說是“萬里挑一”，要想通過需要五關(guān)：目測、初檢、復(fù)檢、文考（文化考試）、政審．若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過了前兩關(guān)，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)通過復(fù)檢關(guān)的概率分別是0.5、0.6、0.75，能通過文考關(guān)的概率分別是0.6、0.5、0.4，由于他們平時表現(xiàn)較好，都能通過政審關(guān)，若后三關(guān)
之間通過與否沒有影響．
（1）求甲被錄取成為空軍飛行員的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一個人通過復(fù)檢的概率．
【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式求解；
（2）利用獨立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：設(shè)甲乙丙三位同學(xué)分別通過復(fù)檢為事件，，，甲乙丙同學(xué)通過文考為事件，，，
可得（A），（B），（C），（D），（E），，
（1）由題意，可得甲被錄取成為空軍飛行員的概率為：
（A）（D）；
（2）由題意，甲乙丙三位同學(xué)分別通過復(fù)檢，即為事件，，，
利用獨立事件的概率計算公式，可得甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一個人通過復(fù)檢的概率為：
．
【點評】本題主要考查了相互獨立事件的概率的求解，次獨立重復(fù)試驗恰好發(fā)生得概率的求解，屬于中檔題．
19．（14分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長．
【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，結(jié)合范圍，可得的值．
（2）由正弦定理化簡已知等式可得，又由余弦定理有，可得，又由題意利用三角形的面積公式可求得，從而可得，的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解三角形的周長的值．
【解答】解：（1）由，
可得，可得，即，
可得，
由，
可得．
（2）因為，
由正弦定理有：，可得，
又由及余弦定理有：，有，
有，可得：，
又因為的面積為，可得，
所以解得，，
由余弦定理可得，可得，
可得的周長．
【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
20．（18分）已知橢圓的離心率為，軸被拋物線截得的線段長與長軸長的比為．
（1）求、的方程；
（2）設(shè)與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于點、，直線、分別與相交于、．
（ⅰ）設(shè)直線、的斜率分別為、，求的值；
（ⅱ）記、的面積分別是、，求的最小值．
【分析】（1）解，即可得出軸被拋物線截得的線段長，進(jìn)而列出方程組，求解即可得出答案；
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，根據(jù)韋達(dá)定理，即可得出斜率之間的關(guān)系，求出的值；聯(lián)立方程組，表示出各個點的坐標(biāo)．結(jié)合圖象，將三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，即可得出表達(dá)式，然后根據(jù)基本不等式即可得出最小值．
【解答】解：（1）解，可得，
所以，軸被拋物線截得的線段長為．
由已知可得，，解得．
所以橢圓的方程為，拋物線的方程為．
（2）由（1）知，．
設(shè)直線的方程為，，，，．
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
可得，
則．
又，，
所以．
聯(lián)立直線與拋物線的方程，
可得，則．
同理：．
設(shè)，，，．
聯(lián)立直線與橢圓的方程，
可得，
則，
同理可得，．
由圖象知，，，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
所以，的最小值為．
【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
21．（18分）三個互不相同的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有或恒有，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”．
（1）設(shè)，，試分別判斷、是否是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，請說明理由；
（2）求所有的二次函數(shù)（用表示，，使得該函數(shù)是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”；
（3）若，，，且存在實數(shù)，，使得為與在區(qū)間，上的“分割函數(shù)”，求的最大值．
【分析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)時，恒成立，結(jié)合“分割函數(shù)”的定義依次判斷，即可求解；
（2）根據(jù)“分割函數(shù)”的性質(zhì)，則對一切實數(shù)恒成立，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和恒成立可得且對一切實數(shù)恒成立，結(jié)合圖形即可求解；（3）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值，則，，作出其函數(shù)與函數(shù)的圖象，設(shè)直線與的圖象交于點，，，，利用代數(shù)法求出弦長，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，，的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）因為恒成立，且恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，
故是與在上的“分割函數(shù)”；
又因為，當(dāng)與1時，其值分別為1與，
所以與在上都不恒成立，
故不是與在上的“分割函數(shù)”；
（2）設(shè)是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，
則對一切實數(shù)恒成立，
又因為，當(dāng)時，它的值為4，
可知的圖象在處的切線為直線，
它也是的圖象在處的切線，
所以，可得，
所以對一切實數(shù)恒成立，
即且對一切實數(shù)恒成立，
可得且，即，
又時，與為相同函數(shù)，不合題意，
故所求的函數(shù)為；
（3）關(guān)于函數(shù)，令，可得，，
當(dāng)與時，；當(dāng)，與，時，，
可知是函數(shù)極小值點，0是極大值點，
該函數(shù)與的圖象如圖所示：
由為與在區(qū)間，上的“分割函數(shù)”，
故存在使得且直線與的圖象相切，并且切點橫坐標(biāo)，，，
此時切線方程為，
即，，
設(shè)直線與的圖象交于點，，，，
則由，可得，
所以，，
令，，，
則，當(dāng)時，，
所以在，上單調(diào)遞減，
所以（2），
所以，
所以的最大值為．
【點評】本題屬于新概念題，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運用，理解定義及作出圖象是關(guān)鍵，屬于難題．行駛里程萬千米
1
2
4
5
維修保養(yǎng)費用萬元
0.50
0.90
2.30
2.70