全解全析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.設(shè)集合，則（ ）
A． B． C.,或 D．
【答案】B
【分析】先化簡集合，再利用集合的交并補運算求解即可，
【詳解】由題意得，，又
則 ，故選：B.
2.已知復(fù)數(shù)（，且），且為純虛數(shù)，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及四則運算法則運算即可求解.
【詳解】因為，所以，
又因為為純虛數(shù)，所以，即（舍）或，
所以，所以，
所以.
故選：D
3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)與共線，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量為，計算即可得解.
【詳解】由向量，，
若與共線，則，所以，
，
所以向量在向量上的投影向量為：
，
故選：C
4. “”是“”（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】當時，由，可得，
當時，由，得；
所以“”不是“”的充分條件.
因為，所以，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
【點睛】本題考查不等式性質(zhì)與充分、必要條件的判定，還考查了理解辨析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（ ）
A.60 B.114 C.278D.336
【答案】D
【解析】命題意圖 本題考查排列與組合的應(yīng)用.
錄用3人，有 種情況；錄用4 人，有 種情況；錄用 5 人，有種情況.所以共有336種.
6.已知：，點，若上總存在，兩點使得為等邊三角形，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】的圓心坐標為，半徑為,要使上總存在，兩點使得為等邊三角形，則上存在一點，使得,當與相切時，最大，故，由此可求解.
【詳解】的標準方程為，
圓心坐標為，半徑為.
因為，所以.
所以.
要使上總存在，兩點使得為等邊三角形，
則上存在一點，使得,
當與相切時，最大，此時，
故，即，
整理得，解得.
故選:B.
7.已知中，，，是邊上的動點．若平面，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，則∠ACB＝90°，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．
【詳解】三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，
∵的最大值是，∴，解得，
即PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，
直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°,又∠BAC＝60°，
所以重合，則∠ACB＝90°，
則△ABC的外接圓圓心M為AB的中點，
又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點，
外接球的半徑，
三棱錐的外接球的表面積．
故選：B．
8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（ ）
A．橢圓的離心率為B．橢圓的蒙日圓方程為
C．若為正方形，則的邊長為D．長方形的面積的最大值為18
【答案】D
【分析】由橢圓標準方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平行）求得蒙日圓方程，從而可得長方形邊長的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得面積最大值，并得出長方形為正方形時的邊長．
【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；
當長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和4，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，圓方程為，B正確；
設(shè)矩形的邊長分別為，因此，即，當且僅當時取等號，所以長方形的面積的最大值是20，此時該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯誤．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值是6B．若點，則的最小值是4
C．D．若，則直線的斜率為
【答案】ABD
【分析】A，根據(jù)結(jié)合基本不等式即可判斷；B，由拋物線定義知當三點共線時；C，D，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達定理即可求解.
【詳解】對A，設(shè)，
因為這些傾斜角不為0，
則設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線得，
則，
所以，
則（當且僅當時等號成立），A正確；
對B，如圖拋物線準線，要使其最小，
即三點共線時取得最小值，
即，B正確；
對C，由，C錯誤；
對D，
，解得,D正確
故選：ABD.
10.已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（ ）
A. 若的兩條漸近線相互垂直，則
B. 若的離心率為，則的實軸長為
C. 若，則
D. 當變化時，周長的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；
B選項，若的離心率為，
解得，所以實軸長，故B錯誤；
C選項，若，則，
整理得，故C正確；
D選項，根據(jù)雙曲線的定義可知，，
兩式相加得，
所以周長為，
當時，取得最小值，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以周長的最小值為，故D正確.
故選：ACD
11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，則（ ）
A．與是異面直線
B．存在點，使得，且平面
C．與平面所成角的余弦值為
D．點到平面的距離為
【答案】BC
【分析】A選項，建立空間直角坐標系，根據(jù)得到與平行；B選項，先求出，得到平面的法向量，根據(jù)數(shù)量積為0得到，得到平面；C選項，先求出與平面所成角的正弦值，進而求出余弦值；D選項，求出平面的法向量，根據(jù)點到平面距離公式求出答案.
【詳解】A選項，以作坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，
則，由于，故與平行，A錯誤；
B選項，設(shè)，因為，所以，
即，解得，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，則，
因為，故，平面，
故存在點，使得，且平面，B正確；
C選項，平面的法向量為，
故與平面所成角的正弦值為，
則與平面所成角的余弦值為，C正確；
D選項，設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故，
則點到平面的距離為，D錯誤.
故選：BC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.若二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64，則二項展開式中系數(shù)最大的項為
【答案】240
【解析】
【詳解】因為二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64，
所以，得，所以二項式為，
則二項式展開式的通項，
令第項的系數(shù)最大，則，解得，
因為，所以，則二項展開式中系數(shù)最大的項為，所以填240
13.若函數(shù) 的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實數(shù) 是__________.
【答案】0
【解析】
【詳解】注意到，.
若函數(shù)上存在兩條切線垂直，則存在、，使得


.
故答案為0
14. 若過點的直線自左往右交拋物線及圓于四點，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義求得求出，當軸時，則，可求的值；當直線方程為時，代入拋物線方程，根據(jù)韋達定理結(jié)合基本不等式求得此時的最小值，即可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，其中拋物線的焦點坐標為，
拋物線的準線方程為：，圓的半徑
又拋物線的定義可得：，又，
當軸時，則，所以；
當不垂直于軸時，設(shè)的方程為：，代入拋物線方程得：，
所以。
所以，
當且僅當，即時，等號成立.
綜上，的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知數(shù)列的前n項和為，且對于任意的都有．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記數(shù)列的前n項中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)可得是以公比為的等比數(shù)列，進而可求解，
（2）根據(jù)數(shù)列的通項性質(zhì)可對分奇偶，進而可得，，分組求和即可求解.
【小問1詳解】
對于任意的都有,
當時，，兩式相減得，即，
進而得， 分
當時，，故，
所以數(shù)列是以首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以 分
【小問2詳解】
當為奇數(shù)時，，且，當為偶數(shù)時，，且，
因此當為大于1的奇數(shù)時，的前n項中的最大值為，最小值為，此時，
因此當為偶數(shù)時，的前n項中的最大值為，
最小值為，此時， 分
當時，，
因此的前20項和
分
16．（15分）燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元/只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，n表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量.
（1）求的分布列；
（2）若滿足的n的最小值為，求；
（3）在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù)，比較與哪種方案更優(yōu).
【答案】（1）分布列見解析；
（2）13； （3）更優(yōu)
【解析】
【分析】(1)由條件確定隨機變量可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
(2)根據(jù)分布列結(jié)合條件求n的最小值；
(3)分別計算與時購買替換燈珠所需總費用的期望值，比較大小確定結(jié)論.
【小問1詳解】
設(shè)ξ表示1條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，
則0.2，，
X的取值范圍是，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列為
6分
【小問2詳解】由（1）可知，
，
故. 分
【小問3詳解】
由（2）可知.
在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，當時，設(shè)購買替換燈珠所需總費用為u元，當時，設(shè)購買替換燈珠所需總費用為v元，則，
，
故以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù)，比的方案更優(yōu)。 13分
17．（15分）如圖,在三棱柱中,直線平面ABC,平面平面.
(1)求證:;
(2)若,在棱上是否存在一點,使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
17.【解析】(1)在平面中作于,
因為平面平面,
且平面平面,
所以平面,從而. 分
在三棱柱中,平面平面ABC,
所以.
又因為,所以平面,因此. 分
(2)由(1)可知,兩兩垂直,如圖,以為原點建立空間直角坐標系.
則.
設(shè),
則. 分
設(shè)平面PBC的一個法向量為,
因為,
所以即
則有
令,得.10分
而平面的一個法向量可以是,
則,解得,
即為棱的三等分點,. 分
18．（17分）已知函數(shù)．
(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)有兩個極值點和，且，證明：．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
【答案】(1)2；(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知求出a的值.
（2）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，確定有兩個極值點的條件，再由變形并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理論證即得.
【詳解】（1）依題意，設(shè)切點，求導(dǎo)得，
則，解得，又，，則，
所以實數(shù)a的值為2. 6分
（2）依題意，的定義域為，
求導(dǎo)得，
則有兩個不等的正根，且是的變號零點，
令，求導(dǎo)得，
當時，，當時，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由函數(shù)有兩個零點，得，解得， 分
此時，令，求導(dǎo)得，
當時，，
當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
則，即，，
因此當時，函數(shù)必有兩個零點，且是變號零點，由，得，
由，得，令，則，
于是，解得，， 13分
因此要證，只需證，
即，只證，
令，， 分
求導(dǎo)得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以. 分
【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).
19．（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點Q,P的距離之比是一個常數(shù)，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為,定點分別為橢圓的右焦點與右頂點A,且橢圓C的離心率為
(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖，過右焦點F斜率為的直線與橢圓相交于,D(點B在軸上方),點S,T是橢圓上異于B,D的兩點，SF平分平分
（1）求的取值范圍；
（2）將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若△SFT外接圓的面積為,求直線的方程.
19.【答案】(1)(2)(1)(2)
【解析】(1)方法(1)特殊值法,令,且,解得.
,橢圓的方程為, 5分
方法(2)設(shè),由題意(常數(shù)),整理得：
,故,又,解得:.
,橢圓的方程為. 5分
(2)(1),又,
(或由角平分線定理得),令,則,設(shè),
則有,又直線的斜率,則
代人得:,即,
. 11分
(2)由(1)知,,由阿波羅尼斯圓定義知,
S,T,F在以B,D為定點的阿波羅尼斯圓上,設(shè)該圓圓心為,半徑為,與直線的另一個交點為,則有,即,解得:.
又,故13分
又,
,
解得:直線的方程為.
17分X
10
11
12
13
14
15
16
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04

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