一、選擇題
1．已知數(shù)列的通項公式,則123是該數(shù)列的( )
A.第9項B.第10項C.第11項D.第12項
2．已知直線方程為,則其傾斜角為( )
A.B.C.D.
3．已知,,若與垂直,則( )
A.B.-2C.2D.
4．已知,,,,且直線AB與直線CD平行,則m的值為( )
A.1B.0C.0或2D.0或1
5．若焦點為F的拋物線上一點P的縱坐標(biāo)為,則原點O到直線PF的距離( )
A.B.C.1D.
6．已知雙曲線,若四個點,,,（,）中有三個點在C上,則該雙曲線的漸近線方程為( )
A.B.C.D.
7．在等差數(shù)列中,p,,且,若,,則( )
A.B.C.D.
8．已知平面上兩定點A,B,滿足（,且）的點P的軌跡是一個圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),稱作阿氏圓．利用上述結(jié)論,解決下面的問題：若直線與x,y軸分別交于A,B兩點,點M,N滿足,,,則直線MN的方程為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的是( )
A.有兩個單調(diào)區(qū)間B.有兩個極值點
C.有最小值D.有最大值e
10．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,公比為,前n項和為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.是等比數(shù)列D.
11．在棱長為2的正四面體中,E,F分別是AD,BC的中點,G是的重心,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.在上的投影向量為D.
12．已知是雙曲線的右焦點,過點F向C的一條漸近線引垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點B,若,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.離心率D.若,則
三、填空題
13．直線被圓截得的弦長為______________．
14．已知,則______________．
15．在棱長為3的正方體中,點到平面的距離為______________．
16．已知數(shù)列各項均為正數(shù),且首項為1,,則______________．
四、解答題
17．在中,O是坐標(biāo)原點,,．
（1）求AB邊上的高所在直線的方程;
（2）求的外接圓方程
18．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）設(shè)是數(shù)列的前n項和,證明：．
19．已知P為拋物線上一點,且點P到拋物線的焦點F的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為10．
（1）求p的值;
（2）過點F作直線l交C于A,B兩點,求AB中點M的軌跡方程．
20．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍．
21．如圖,在斜三棱柱中,所有棱長均相等,O,D分別是AB,的中點．
（1）證明：平面;
（2）若,且,求平面與平面所成角的余弦值．
22．已知橢圓,F是其右焦點,點在橢圓上,且軸,O為原點．
（1）求橢圓C的方程;
（2）若M,N是橢圓C上的兩點,且的面積為,求證：直線OM與ON的斜率之積為定值．
參考答案
1．答案：C
解析：由,解得（舍去）,
故選：C．
2．答案：D
解析：由題知直線斜率為,若直線的傾斜角為,則,
, ,
故選：D．
3．答案：A
解析：, ,解得,
故選：A．
4．答案：D
解析：當(dāng)AB與CD斜率均不存在時,,,故得,此時兩直線平行;
此時,當(dāng)時,,得到,此時.
故答案選：D．
5．答案：B
解析：由已知可得點P的橫坐標(biāo)為,
由拋物線定義知,
因為且,
所以,解得.
故選：B．
6．答案：D
解析： ,關(guān)于原點對稱,線段垂直于y軸且在x軸的同側(cè),
不在雙曲線上,將代入雙曲線方程,
解得,代入點解得,
所以該雙曲線的漸近線方程為．
故選：D．
7．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列公差為d,
則,,
兩式相減得,則,
故選：C．
8．答案：A
解析：由題得,,
設(shè), ,點M在圓上．
,,整理得,
點M也在圓上,同理點N也在這兩個圓上,
MN是這兩圓的公共弦,兩圓方程作差,得,即直線MN的方程為,
故選：A．
9．答案：AC
解析：由已知得,
由解得,由解得,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
只有一個極值點,且在處取得極小值也是最小值,無最大值,
故選：AC．
10．答案：ABD
解析：,,兩式相除可得,故A正確;
因為,由等比數(shù)列求和公式,可得,故B正確;
因為（常數(shù)）,所以是等差數(shù)列,故C不正確;
對于D,,,…,,可看作是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
所以,故D正確.
故選：ABD.
11．答案：AB
解析：如圖,取DC的中點M,連接AM,BM,
,,,,平面,
平面,平面,,故A正確;
取BD的中點H,連接HE,HF,則,,,,
,即,又, ,,
,故B正確;
由B知,在上的投影向量為,故C不正確;
,故D不正確,
故選：AB．
12．答案：ABD
解析：如圖, , ,,
點F到兩條漸近線的距離相等, ,故A正確;
,,,,
,,故B正確;
由B知,一條漸近線的斜率,則,故C不正確;
由C知,,所以,,, ,,,,故D正確,
故選：ABD．
13．答案：
解析：由已知得圓的半徑,圓心為,
圓心到直線的距離,所以弦長為．
故答案為：.
14．答案：
解析：由已知得,
則,解得．
故答案為：．
15．答案：
解析：以B為坐標(biāo)原點,分別以,,的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖：,,,,
,,,
因為,所以,,
又,,平面,所以平面,
所以是平面的一個法向量,又,
點到平面的距離．
故答案為：.
16．答案：210
解析：由已知,得,
, ,得,
由累乘法得, ,
故答案為：210.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）直線AB的斜率,
AB邊上的高所在直線的斜率,
又AB邊上的高所在直線過原點O,
AB邊上的高所在直線的方程為．
（2）設(shè)的外接圓的方程為,
則,
解得,
的外接圓方程為．
18．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為,
,
,,．
由已知得,解得或（舍）,
數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）知,,
,
．
19．答案：（1）4
（2）
解析：（1）由拋物線的定義得,
故．
（2）由（1）得,,則拋物線C的方程為,焦點,
設(shè),,,
,,
當(dāng)M,F不重合時,相減整理得,,
,即,
當(dāng)M,F重合時,滿足上式．
點M的軌跡方程為．
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時,,則,
,,
曲線在點處的切線方程為,即．
（2）由題意得當(dāng)時,恒成立,
在時恒成立,
,則,由于二次函數(shù)在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,
,即實數(shù)a的取值范圍是．
21．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）連接交于點E,連接OE,,
O,E分別是AB,的中點,D為的中點,
,
四邊形為平行四邊形,
．
平面,平面,
平面．
（2）連接OC,
,
為正三角形,
,
,且,
平面ABC,
是正三角形,
．
以O(shè)為原點,OA,,OC所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,,,,
由,可得．
則,,,
設(shè)平面的法向量為,
,即,
令,
,
設(shè)平面的法向量為,
,即,
令, ,
設(shè)平面與平面所成的角為,
則,
即平面與平面所成角的余弦值為．
22．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由已知得,,
,
,,
橢圓C的方程為．
（2）設(shè),,
當(dāng)直線MN的斜率不存在時,不妨令點M在x軸上方,點N在x軸下方,
此時,,即,且
解得：,
得,或,,則;
當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為,
代入橢圓方程,整理得,
,即,
由根與系數(shù)的關(guān)系得,,
∴,
設(shè)點O到直線MN的距離為d,則,
,整理得．
,
．
綜上,直線OM與ON的斜率之積為定值．

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