一、單選題
1．已知全集，集合A滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
2．數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（ ）
A．8.5B．8.6C．8.7D．8.8
3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設等差數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．－36或36B．－36C．36D．18
4．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設，，（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
5．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學模型是函數(shù)，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的一個周期為B．的最大值為
C．的圖象關于點對稱D．在區(qū)間上有2個零點
6．在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測試結(jié)果相互獨立，測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級的條件下，乙達到優(yōu)秀等級的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐標系中，設，，動點P滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為A，復數(shù)對應的點為，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．向量對應的復數(shù)是1D．
10．如圖，在矩形中，，點與點分別是線段與的四等分點．若把矩形卷成以為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與重合，則以下說法正確的是（ ）

A．直線與異面B．平面
C．直線與平面垂直D．點到平面的距離為
11．已知函數(shù)的定義域為，且，為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．D．
三、填空題
12．拋物線的準線方程為，則實數(shù)a的值為 .
13．在中，的對邊分別為，已知，，，則邊 ，點在線段上，且，則 ．
14．已知不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則的最大值為 .
四、解答題
15．滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立.
(1)求前3局比賽甲都取勝的概率；
(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.
16．已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
17．如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，.
(1)求證：；
(2)若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.
18．已知橢圓E：過點，且焦距為.
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)過點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設弦AB，CD的中點分別為M，N.
①證明：直線MN必過定點；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
19．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)全集和集合在全集中的補集易得集合，逐一判斷選項即可.
【詳解】由，，可得或
則，，，，故B項正確，A,C,D項均是錯誤的.
故選：B.
2．D
【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.
【詳解】因為，
所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為從小到大排列的第、兩數(shù)的平均數(shù)，即為.
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項和公式進行計算即可.
【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設公比為q，且，，
則，則，
則，
則，
故選：C.
4．B
【分析】依題意可得，利用二項式定理說明被除得的余數(shù)為，即可判斷.
【詳解】因為，
所以
，
所以，
即被除得的余數(shù)為，結(jié)合選項可知只有被除得的余數(shù)為.
故選：B
5．D
【分析】對于A，考查函數(shù)與的周期即可；對于B，考查函數(shù)與的最大值，驗證同時取最大值時的條件即可判斷；對于C，利用中心對稱的條件進行驗證即可；對于D，令，解方程即可.
【詳解】對于A,因為的周期為，的周期為，所以的周期為，故A錯誤；
對于B,因為函數(shù)的最大值為1,的最大值為，
故兩個函數(shù)同時取最大值時，的最大值為，
此時需滿足且，不能同時成立，
故最大值不能同時取到，故的最大值不為，則B錯誤；
對于C，，則，
故的圖象不關于點對稱，C錯誤；
對于D,因為時，，又，
所以或者；或者，此時，又，
所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個零點，故D正確，
故選：D.
6．C
【分析】根據(jù)獨立事件乘法公式和條件概率公式可得.
【詳解】分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級為事件，
記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級為事件，
記乙達到優(yōu)秀等級為事件.
由題知，，
所以
，
.
所以.
故選：C
7．C
【分析】設出點，利用數(shù)量積的坐標表示得到點的軌跡，結(jié)合直線與圓的關系進行求解即可.
【詳解】設，則，，
則，即，
化為，則點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，
又，所以三點共線，
顯然當直線與此圓相切時，的值最大.
又,
則,
則.
故選：C.
8．A
【分析】由題意設，則，而，，由三角形面積公式可得，從而，在中，運用余弦定理可得，由此即可得解.
【詳解】
設，則，而，所以，
所以點到的距離為，
又，所以，
解得，即，從而，
又因為，
所以，
在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得，雙曲線C的漸近線方程為.
故選：A.
9．AD
【分析】根據(jù)復數(shù)的模、復數(shù)的幾何意義逐一分析即可.
【詳解】因為，所以，
所以，
，A正確；
，B錯誤；
由上可得，對應復數(shù)為，C錯誤；
，，D正確.
故選：AD
10．ABD
【分析】由是平面內(nèi)不過D的直線，可判斷A；通過判斷可判斷B；由長方形的鄰邊，可判斷C；根據(jù)圓的周長求半徑，然后可得，即可判斷D.
【詳解】A選項：由圖可知，平面，是平面內(nèi)不過D的直線，
所以，直線與異面，A正確；

B選項：由題知，是底面圓的直徑，且，
所以四邊形為正方形，所以，
又平面，平面，
所以平面，B正確；

C選項：由題知，劣弧的長為1，，
所以，所以長方形的對角線不垂直，
所以直線與平面不垂直，C錯誤；

D選項：同上可得為正方向，所以，
由圓柱性質(zhì)可知，，
又，平面，
所以平面，
所以即為點到平面的距離，
記圓的半徑為，則，得，
所以，D正確.
故選：ABD

11．ACD
【分析】令，可判斷A；令，可判斷B；由函數(shù)圖象的變換可得的圖象關于對稱，結(jié)合奇偶性可得周期性，即可判斷C；根據(jù)周期性和賦值法求得，然后可判斷D.
【詳解】令，得，即，A正確；
令，得，
又，所以對任意恒成立，
因為，所以不恒為0，
所以，即，B錯誤；
將的圖象向左平移1個單位后，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，可得的圖象，
因為的圖象關于對稱，所以的圖象關于對稱，
所以，
又為奇函數(shù)，
所以，
所以，所以4為的周期.
由可得，C正確；
因為，，，
所以，D正確.
故選：ACD
【點睛】難點點睛：本題難點在于合理賦值，利用對稱性求得周期，然后即可求解.
12．/
【分析】根據(jù)拋物線方程及準線方程列出方程，解出即可.
【詳解】依題可知，
則，
故答案為：.
13． /
【分析】利用余弦定理角化邊，即可構(gòu)造方程求得；利用余弦定理可求得，在中，利用正弦定理即可求得結(jié)果.
【詳解】由余弦定理得：，即，
，解得：（舍）或；
在中，由余弦定理得：，
，
在中，由正弦定理得：.
故答案為：；.
14．
【分析】通過換元將不等式化成,對任意的實數(shù)x恒成立，設，對的取值分類討論，得到時，依題得，即再令，分析得到，從而即得.
【詳解】令，則，不等式可化為：對任意的實數(shù)x恒成立，
即對任意的實數(shù)x恒成立.
設，則，
當時，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；
當時，由可得，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
則當時，.
因?qū)θ我獾膶崝?shù)x恒成立，故恒成立，
即，則.
令，則
當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.
故，
即,故的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，屬于難題.
解題的關鍵在于通過設進行換元，將不等式化成，設函數(shù)，分析得到，然后分離出，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值即得.
15．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算即得；
（2）列出隨機變量X的所有可能的值，分別求出每個值對應的概率，列出分布列，求出期望值.
【詳解】（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨立，前3局比賽甲都獲勝，
則前3局甲都取勝的概率為.
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.
其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；
表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，
則；
所以X的分布列為
故X的數(shù)學期望為.
16．(1)1
(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
【分析】（1）由是函數(shù)的極值點，，求解驗證即可；
（2）利用導函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，
因為是函數(shù)的極值點，
所以，解得或，
因為，所以.此時，
令得，令得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點.
所以.
（2）.
因為，所以，令得；令得；
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取BC中點O，連接AO，EO，利用線面垂直的判斷定理證明平面，繼而可解；
（2）以O為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用線面角的向量表示進行計算即可.
【詳解】（1）取BC中點O，連接AO，EO.
∵是等邊三角形，O為BC中點，
∴，
又，∴，
∵，平面,
∴平面，
又平面AEO，∴.
（2）連接DO，則，
由，
得，，
又，∴，∴，
又，平面,
∴平面.
如圖，以O為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則，，，，
∴，，
設平面ACD的法向量為，
則即
取，則.
∵是二面角的平面角，
∴，
又，∴，，
則，
∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.
18．(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)題意有，，即可求解；
（2）①設直線：的方程，聯(lián)立與橢圓方程消元后，利用韋達定理可求得點的坐標，繼而可得點坐標，考慮直線斜率情況，得到其方程，即可求解；②根據(jù)，表示出的面積后，換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得最大值.
【詳解】（1）依題意有，，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）①設：，，，則：，
聯(lián)立，故，，，
故，由代替m，得，
當，即時，：，過點.
當，即時，，：，
令，，直線MN恒過點.
當，經(jīng)驗證直線MN過點.
綜上，直線MN恒過點.
②，
令，，
∵在上單調(diào)遞減，
∴，當且僅當，時取等號.
故面積的最大值為.

19．(1)1，2，1和1，3
(2)7
(3)1250
【分析】（1）由于或，從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3；
（2）分析得到且，當時，不合要求，當時，滿足要求，得到答案；
（3）分析得到數(shù)列的各項只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式，設其中有x項為1，有y項為2，得到，，配方后求出最值.
【詳解】（1）由題意得，
且對于，使得的正整數(shù)對有1個，
由于或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.
（2）當時，存在m的6增數(shù)列，
即，且對于，使得的正整數(shù)對有6個，
所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且.
若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，
所以，不符合題意，所以.
若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，
此時數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對分別為，
符合m的6增數(shù)列，
所以當時，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.
（3）若數(shù)列中的每一項都相等，則，
若，所以數(shù)列中存在大于1的項，
若首項，將拆分成個1后k變大，
所以此時k不是最大值，所以.
當時，若，交換，的順序后k變?yōu)椋?br>所以此時k不是最大值，所以.
若，所以，
所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項1，所以k的值變大，
所以此時k不是最大值，所以.
若數(shù)列中存在相鄰的兩項，，設此時中有x項為2，
將改為2，并在數(shù)列首位前添加個1后，k的值至少變?yōu)椋?br>所以此時k不是最大值，
所以數(shù)列的各項只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式.
設其中有x項為1，有y項為2，
因為存在100的k增數(shù)列，所以，
所以，
所以，當且僅當，時，k取最大值為1250.
【點睛】數(shù)列新定義問題，主要針對于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運用，對常見的求通項公式和求和公式要掌握牢固，同時涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項式定理，數(shù)列與排列組合等知識的綜合，要將“新”性質(zhì)有機地應用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.
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