考試時(shí)間：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息
2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）
一?單選題（每小題5分，共40分）
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則其共軛復(fù)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
3.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A.12 B.10 C.5 D.
4.已知，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5.若，則（ ）
A. B. C. D.
6.函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
8.如圖，長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，過(guò)作長(zhǎng)方體的截面交棱于，下列正確的是（ ）
①截面可能為六邊形
②存在點(diǎn)，使得截面
③若截面為平行四邊形，則
④當(dāng)與重合時(shí)，截面面積為
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
二?多選題（每小題5分，共20分，少選3分，錯(cuò)選0分，全對(duì)5分）
9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B.
C. D.
11.函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
三?填空題（每小題5分，共20分）
13.已知函數(shù)，則的最大值為_(kāi)_________；曲線在處的切線方程為_(kāi)_________.
14.若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_________.
15.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)_________.
16.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
四?解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）
17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面積.
18.2023世界科幻大會(huì)在成都舉辦，為了讓同學(xué)們更好地了解科幻，某學(xué)校舉行了以“科幻成都，遇見(jiàn)未來(lái)”為主題的科幻知識(shí)通關(guān)賽，并隨機(jī)抽取了該校50名同學(xué)的通關(guān)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現(xiàn)這些同學(xué)的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間，然后把樣本數(shù)據(jù)分成六組，經(jīng)過(guò)整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.
（1）計(jì)算的值，并估算該校同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的概率；
（2）擬在通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的同學(xué)中隨機(jī)選取2位同學(xué)贈(zèng)送科幻大會(huì)入場(chǎng)券，求此2人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間的概率.
19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20.已知橢圓的長(zhǎng)軸為，短軸長(zhǎng)為4.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
21.在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到直線的距離；
（2）求證：面.
22.已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1.B
【分析】求出集合，對(duì)整數(shù)的取值進(jìn)行討論，可求得集合，利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)椋?br>對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，，
因此，.
故選：B.
2.B
【分析】由復(fù)數(shù)除法以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：B.
3.B
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.
【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，
所以，即，則
記，則，
兩式相加得
，
所以即.
故選：B.
4.C
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋海?br>故選：C.
5.C
【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：C
6.B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且增速變緩慢，
，表示直線的斜率，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，
故選：B
7.D
【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再令，解得即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D
8.B
【分析】
利用點(diǎn)的位置不同得到的截面的形狀判斷選項(xiàng)，利用線面垂直的判定定理分析選項(xiàng)
，利用平面幾何知識(shí)求相應(yīng)的量結(jié)合梯形的面積公式求得截面的面積，從而可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】長(zhǎng)方體中，過(guò)作長(zhǎng)方體的截面交棱于，
設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的位置的變化分析可得，
當(dāng)時(shí)，截面為平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，截面為五邊形，
當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，截面為梯形，故①錯(cuò)誤，③正確；
設(shè)截面，因?yàn)樗裕?br>又平面，且平面，所以，
又，所以平面，
所以只能與重合才能使，
因?yàn)轱@然不垂直平面，故此時(shí)不成立，故②錯(cuò)誤；
因?yàn)楫?dāng)與重合時(shí)，截面為梯形，
如圖（2）所示，過(guò)作垂直于于點(diǎn)，
設(shè)梯形的高為，
則由平面幾何知識(shí)可得，
解得，
所以截面的面積為，故④正確.
故選：B.
9.BC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10.AB
【分析】選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到正確；選項(xiàng)，不滿足奇偶性；選項(xiàng)，不滿足單調(diào)性.
【詳解】選項(xiàng)，為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，滿足要求，正確；
B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)，又，故在單調(diào)遞增，B正確；
選項(xiàng)，為指數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖象可知其不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，錯(cuò)誤.
故選：AB
11.ABD
【分析】利用分類討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故A正確；C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
12.ABC
【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，求導(dǎo)，即可根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷.
【詳解】對(duì)于，由，得，則
，因?yàn)?，所?br>，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；
對(duì)于，由，得，則，因?yàn)?，所?br>，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；
對(duì)于，由，得，則，因?yàn)?，所?br>，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；
對(duì)于D，由，得，則，因?yàn)?br>，所以，所以此函數(shù)不是凸函數(shù)，
故選：ABC
13.；
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得
曲線在處的切線方程.
【詳解】由可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故；
由
故曲線在處的切線方程為，
即，
故答案為：
14.1
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，由，即可得到方程的解，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>設(shè)函數(shù)，則，
所以在定義域上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以方程的解為，則所求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
故答案為：1
15.
【分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
即時(shí)，恒成立，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，所以，
故答案為：.
16.
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，分與討論，然后轉(zhuǎn)化為恒成立，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能恒成立；
當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去）.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，故在上有最大值，
由題意知恒成立，即，
令，則在上單調(diào)遞減，且，
故成立的充要條件是.
故答案為：
17.（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)余弦定理，即可求解；
（2）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式，得到角和邊的關(guān)系，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1），且，
所以；
（2）根據(jù)正弦定理，，
所以或
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，
的面積.
18.（1）
（2）0.3
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得，進(jìn)而得到估計(jì)該校同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于鐘的概率；
（2）根據(jù)題意得到通關(guān)時(shí)間位于區(qū)間和的人數(shù)，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以?br>由所給頻率分布直方圖可知，50名同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于鐘的頻率為，據(jù)此估計(jì)該校同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于鐘的概率為0.1.
（2）解：樣本中同學(xué)通關(guān)時(shí)間位于區(qū)間的有人，即為，通關(guān)時(shí)間位于區(qū)間的有：（位），即為，
從這5名入樣同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，分別為，
，
所抽取2人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間的結(jié)果有3種，即，
故此2人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間的概率為.
19.（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)作差即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以，
又當(dāng)時(shí)，也成立，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）可得，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則
.
20.（1）
（2）
【分析】（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)可得橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式即可求得的值，則直線的方程可求.
【詳解】（1）由已知長(zhǎng)軸為，短軸長(zhǎng)為4，
可得，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）依題意，
解得，
因?yàn)?，可得?br>且，
因?yàn)椋?br>解得，
所以直線的方程為.
21.（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離的空間向量計(jì)算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出的坐標(biāo)，分別計(jì)算得到和，由線線垂直推出線面垂直.
【詳解】（1）
如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
正四棱柱為中點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的距離為：.
（2）由（1）可得，
則，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
22.（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，即可求出結(jié)果；
（2）先分離參數(shù)，將原式化為，構(gòu)造函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性進(jìn)而求出的最大值即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
令，則，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
令，
令，則，
令，則，
由得，，所以，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
令，則，所以在單調(diào)遞增，
令，則，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以.
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是分離參數(shù)得對(duì)恒成立，再設(shè)新函數(shù)，對(duì)此求導(dǎo)研究其最值即可.

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