考生須知：
1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2，答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。
3，所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．D．0
2．已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．1
3．在中，，且（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在中，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，以向量為基底，則向量（ ）
A．B．C．D．
5．已知的三內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
6．已知，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在山腳A測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上走米到，在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，則山高（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。
9．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)的虛部等于B．對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)在第三象限
C．D．若是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則
10．下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．若，則，且四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形．
B．若為非零實(shí)數(shù)，且，則與共線．
C．在中，若有，那么點(diǎn)一定在角的平分線所在直線上．
D．若向量，則與的方向相同或相反．
11．如圖，直線與的邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)，則（ ）
A．的面積B．
C．D．
非選擇題部分
三、填空題：本題3小題，每小題5分，共15分．
12．已知平面向量滿足，則與夾角的大小為_(kāi)_____．
13．在中，，點(diǎn)在線段上，，則______．
14．已知和是夾角為的兩個(gè)單位向量，且，則的最小值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）（1）已知，若為實(shí)數(shù)，求的值．
（2）已知復(fù)數(shù)滿足，若復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求的值．
16．（15分）如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，且交于．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
17．（15分）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個(gè)哨所，位于的正南方向。哨所在凌晨1點(diǎn)發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時(shí)，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上。兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點(diǎn)南偏西的點(diǎn)，且與相距海里，試求：
（1）剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船與哨所的距離；
（2）剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？
（3）若緝私艇得知走私船以海里/時(shí)的速度從向北偏東方向逃車，立即以30海里/時(shí)的速度進(jìn)行追截，緝私艇至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上走私船？
18．（17分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
（1）求角；
（2）若，求面積的最大值；
（3）若為銳角三角形，求的取值范圍．
19．（17分）設(shè)是單位圓上不同的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為銳角）線段交于點(diǎn)（不包括），點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)且在圓外，過(guò)作圓的兩條切線．
（1）求的范圍
（2）求的最小值，
（3）若，求的最小值。
2023學(xué)年第二學(xué)期浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟3月聯(lián)考
高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題答案
命題人：樂(lè)清市二中高一數(shù)學(xué)備課組 審題人：龍港中學(xué)朱書鉆
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。
9．BCD 10．AD 11．AD
三、填空題：本題3小題，每小題5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）解（1），
所以
（2）設(shè)，
則，
，
，，
16．（15分）解：（1）在中，因?yàn)椋裕?br>所以，因?yàn)椋裕?br>所以。
（3）設(shè)，則由（1）知，，因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，
所以
因?yàn)?，所以，所?br>17．（15分）解：（1）由在的南偏東，在的東北偏方向，
，由正弦定理得，
，代入上式得：海里．
答：走私船與觀測(cè)點(diǎn)的距離為海里；
（2）中，海里，海里，，
．
，
解得海里，
易知，故剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上．
（3）設(shè)小時(shí)后緝私艇在處追上走私船，則，
，在中，由余弦定理得
，化簡(jiǎn)得
解得．故緝私艇至少需要小時(shí)追上走私船．
18．（17分）解：（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得．因?yàn)椋?br>所以．
（2）由余弦定理得，
所以，即.9分
所以
即當(dāng)為正三角形是，面積最大值為。（其他方法酌情給分）
（3）由正弦定理得
，
其中為銳角，且，所以
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以
解得，所以，
所以，即
故的取值范圍為．
19．（17分）解：（1）
為銳角，
解法一：
取的中點(diǎn)為
解法二：
以為原點(diǎn)，以為軸，建立直角坐標(biāo)系
（2）解法一
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．
解法二
以為原點(diǎn)，以為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)，則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．
解法三：
設(shè)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．
（3）解法一
令，則原式
當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，的最小值為
解法二
以為原點(diǎn)，以為軸，建立直角坐標(biāo)系
三點(diǎn)共線
解法三
下同解法二

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