1．已知i是虛數(shù)單位，則的虛部為（ ）
A．2B．2iC．1D．i
2．已知向量，滿足|+|＝2，?＝2，則|﹣|＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
3．歐位在1748年給出的著名公式eiθ＝csθ+isinθ（歐拉公式）是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中，底數(shù)e＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式eiθ＝csθ﹣isinθ．任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝r（csθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)z1＝2ei，z2＝ei，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（ ）
A．ABB．ADC．BCD．AC
5．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，bc＝6，則b+c＝（ ）
A．9B．8C．5D．4
6．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則＝（ ）
A．B．
C．D．
7．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若+＝2c，則△ABC是（ ）
A．等邊三角形B．銳角三角形
C．等腰直角三角形D．鈍角三角形
8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC內(nèi)切圓的圓心，若＝x+y，則x+y的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．當(dāng)＝（﹣4，4）時(shí)，t＝﹣1
B．當(dāng)時(shí)，t＝4
C．與夾角為鈍角時(shí)，則t的取值范圍為（﹣∞，4）
D．當(dāng)t＝2時(shí)，在上的投影向量為
（多選）10．若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1﹣i|＝1，則|z+2+3i|可能為（ ）
A．2B．4C．6D．8
（多選）11．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量為
C．若，則P為ED的中點(diǎn)
D．若P在線段BC上，且，則x+y的取值范圍為
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，第13題第一空2分，第二空3分）
12．設(shè)z∈C，且，其中i為虛數(shù)單位，則的模為 ．
13．已知向量，，，＝ ；在上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
14．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O．若?＝6?，則的值是 ．
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．如圖所示，△OBC中，點(diǎn)A為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，CD，OA相交于點(diǎn)E，設(shè)＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若＝λ，求λ．
16．已知復(fù)數(shù)z＝1+i（i是虛數(shù)單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是實(shí)數(shù)．
（1）求p和q的值；
（2）若（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．
17．已知，，在同一平面內(nèi)，且＝（1，2）．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求與的夾角的余弦值．
18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足b＝acsC+csinA．
（1）求A的大??；
（2）若csB＝，BC＝5，＝，求CD的長(zhǎng)．
19．（17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cs2B+cs2C﹣cs2A＝1．
（1）求A；
（2）若bc＝2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|＝t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知i是虛數(shù)單位，則的虛部為（ ）
A．2B．2iC．1D．i
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解．
解：＝＝1+2i，其虛部為2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知向量，滿足|+|＝2，?＝2，則|﹣|＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可得到，進(jìn)而求出的值，從而得出的值．
解：
＝
＝4；
∴．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】考查數(shù)量積的運(yùn)算，求而求的方法．
3．歐位在1748年給出的著名公式eiθ＝csθ+isinθ（歐拉公式）是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中，底數(shù)e＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式eiθ＝csθ﹣isinθ．任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝r（csθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)z1＝2ei，z2＝ei，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】復(fù)數(shù)z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．
解：復(fù)數(shù)z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，
則復(fù)數(shù)z＝＝＝＝﹣i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的指數(shù)與三角函數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
4．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（ ）
A．ABB．ADC．BCD．AC
【分析】由斜二測(cè)畫(huà)法法則知直觀圖△A′B′C′對(duì)應(yīng)的原圖形△ABC是直角三角形，由此判斷出結(jié)論．
解：由斜二測(cè)畫(huà)法法則知，直觀圖△A′B′C′對(duì)應(yīng)的原圖形△ABC是直角三角形，
其中AC是斜邊，AD是直角邊上的中線，所以最長(zhǎng)的線段是AC．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了斜二測(cè)畫(huà)法法則應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
5．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，bc＝6，則b+c＝（ ）
A．9B．8C．5D．4
【分析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知條件，求得A，利用余弦定理求得b+c．
解：∵，A+B+C＝π，
∴，，
∴，
∵△ABC為銳角三角形，∴sinB≠0，
∴．而，∴，
由余弦定理可得，∴7＝b2+c2﹣6，
∴b2+c2＝13，
則．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題．
6．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可．
解：過(guò)F作FG⊥BC于G，不妨設(shè)BE＝3，EF＝1，
則BF＝4，F(xiàn)C＝BE＝3，所以BC＝5，F(xiàn)G＝，BG＝，
所以＝，＝
所以＝+＝+＝+．
故選B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若+＝2c，則△ABC是（ ）
A．等邊三角形B．銳角三角形
C．等腰直角三角形D．鈍角三角形
【分析】由已知及正弦定理可得：，而+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sinA＝sinB時(shí)取等號(hào)，即2sinC≥2，解得∠C＝90°，A＝B，從而得解．
解：∵+＝2c，
∴由正弦定理可得：，而+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sinA＝sinB時(shí)取等號(hào)．
∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故可得：sinC＝1，
∴∠C＝90°．
又∵sinA＝sinB，可得A＝B，
故三角形為等腰直角三角形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC內(nèi)切圓的圓心，若＝x+y，則x+y的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】建系，根據(jù)坐標(biāo)法，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想即可求解．
解：如圖，∵a＝b＝5，c＝8，∴△ABC內(nèi)切圓的圓心I在AB邊高線OC上（也是AB邊上的中線），
∴OA＝OB＝4，OC＝，
以AB直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（﹣4，0），B（4，0），C（0，3），
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)等面積算法可得：
，
∴，
解得r＝，故內(nèi)心I為（0，），
∴，，，
∵＝x+y，
∴（4，）＝x（8，0）+y（4，3），
∴，∴，∴，
∴x+y＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想，坐標(biāo)法，屬基礎(chǔ)題．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．當(dāng)＝（﹣4，4）時(shí)，t＝﹣1
B．當(dāng)時(shí)，t＝4
C．與夾角為鈍角時(shí)，則t的取值范圍為（﹣∞，4）
D．當(dāng)t＝2時(shí)，在上的投影向量為
【分析】對(duì)于A，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解；
對(duì)于B，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解；
對(duì)于C，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量共線的性質(zhì)，即可求解；
對(duì)于D，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．
解：＝（﹣6，3），＝（2，t），
則＝（﹣4，4）＝（﹣4，3+t），即3+t＝4，解得t＝1，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，
則（﹣6）×2+3t＝0，解得t＝4，故B正確；
當(dāng)與夾角為鈍角時(shí)，
則，解得t＜4且t≠﹣1，
故t的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4），故C錯(cuò)誤；
t＝2，
則＝（﹣6，3），＝（2，2），
故在上的投影向量為＝，故D錯(cuò)誤．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
（多選）10．若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1﹣i|＝1，則|z+2+3i|可能為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】設(shè)z＝x+yi，由復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面的軌跡，再由距離公式結(jié)合圓的性質(zhì)得|z+2+3i|的范圍即可求解．
解：設(shè)z＝x+yi（x，y∈R），
∵|z﹣1﹣i|＝1，
∴，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，表示以A（1，1）為圓心，1為半徑的圓，
|z+2+3i|＝|x+2+（y+3）i|＝，表示點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)B（﹣2，﹣3）之間的距離，
連接AB交圓A于點(diǎn)C，延長(zhǎng)線交圓A于點(diǎn)D，如圖所示：
|BC|＝|AB|﹣1＝5﹣1＝4，|BD|＝|AB|+1＝6，
即|z+2+3i|∈[4，6]，
觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，|z+2+3i|可能為4，6．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
（多選）11．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量為
C．若，則P為ED的中點(diǎn)
D．若P在線段BC上，且，則x+y的取值范圍為
【分析】以AE所在直線為y軸，GC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，A錯(cuò)誤，投影向量為，B正確，直線與正八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤，，D正確，得到答案．
解：如圖所示：以AE所在直線為y軸，GC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝OG＝OH＝a，
則，整理得到，，G（﹣a，0），，設(shè)P（x0，y0），
對(duì)選項(xiàng)A：，，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：，，，即投影向量為，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：，，，，，
整理得到，，故，正確．
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，第13題第一空2分，第二空3分）
12．設(shè)z∈C，且，其中i為虛數(shù)單位，則的模為 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．
解：，
則z（1﹣i）＝2+2i，即z＝，
故．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
13．已知向量，，，＝ ；在上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
【分析】由條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示求，根據(jù)向量的模與數(shù)量積的關(guān)系由條件求，再由投影向量的定義求在上的投影向量的坐標(biāo)．
解：因?yàn)?，所以?br>由可得，
所以，即，
所以，
所以在上的投影向量為．
故在上的投影向量的坐標(biāo)為．
故答案為：；．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
14．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O．若?＝6?，則的值是 ．
【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，結(jié)合?＝6?得＝，進(jìn)一步可得結(jié)果．
解：設(shè)＝λ＝（），
＝+＝+μ＝+μ（）
＝（1﹣μ）+μ＝+μ
∴，∴，
∴＝＝（），
＝＝﹣+，
6?＝6×（）?（﹣+）
＝（++）
＝++，
∵?＝++，
∴＝，∴＝3，
∴＝．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計(jì)算，考查計(jì)算能力．
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．如圖所示，△OBC中，點(diǎn)A為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，CD，OA相交于點(diǎn)E，設(shè)＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若＝λ，求λ．
【分析】（1）直接利用向量的線性運(yùn)算和加減法的應(yīng)用求解；
（2）直接利用向量的線性運(yùn)算和共線向量的充要條件求λ．
解：（1）∵＝，＝，
∴＝＝＝2＝；
＝＝＝；
（2）設(shè)＝μ（μ＞0），
∴＝＝＝＝（1﹣μ）+μ，
∵＝，，
∴＝，
又＝λ＝，且，不共線，
∴λ＝2μ且，
得λ＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，向量的加法和減法運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知復(fù)數(shù)z＝1+i（i是虛數(shù)單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是實(shí)數(shù)．
（1）求p和q的值；
（2）若（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合一元二次函數(shù)在復(fù)平面中的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解．
解：（1）∵z＝1+i（i是虛數(shù)單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，
∴也是方程x2﹣px+q＝0的根，
∴，解得p＝q＝2．
（2）由（1）可得，（p+qi）?（m2+2mi）＝（2+2i）?（m2+2mi）＝2m2﹣4m+（4m+2m2）i，
∵（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數(shù)，
∴，解得m＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
17．已知，，在同一平面內(nèi)，且＝（1，2）．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求與的夾角的余弦值．
【分析】（1）由題意利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出求得的坐標(biāo)．
（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，求得與的夾角的余弦值．
解：（1）設(shè)＝（x，y），∵＝（1，2），||＝3，且∥，
∴y＝2x，x2+y2＝45，
解得x＝3，y＝6；或 x＝﹣3，y＝﹣6，即 ＝（3，6），或 ＝（﹣3，﹣6）．
（2）∵||＝，且（+2）⊥（﹣），
∴（+2）?（﹣）＝﹣2+＝5﹣4+＝0，∴＝﹣1．
故與的夾角的余弦值為 ＝＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量平行垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．
18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足b＝acsC+csinA．
（1）求A的大?。?br>（2）若csB＝，BC＝5，＝，求CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式得出tanA；
（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．
解：（1）在△ABC中，∵b＝acsC+csinA中，∴sinB＝sinAcsC+sinCsinA，
又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+sinCcsA，
∴sinAcsC+csAsinC＝sinAcsC+sinCsinA，
∴csAsinC＝sinCsinA，
∵sinC≠0，∴csA＝sinA，
∴tanA＝1．
∴．
（2）∵csB＝，∴sinB＝＝，
∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＝．
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得AB＝7．
∵＝，∴BD＝．
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BC?BDcsB＝1+25﹣2×＝20．
∴CD＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理，余弦定理，屬于中檔題．
19．（17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cs2B+cs2C﹣cs2A＝1．
（1）求A；
（2）若bc＝2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
（3）設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|＝t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)cs2B+cs2C﹣cs2A＝1可得a2＝b2+c2，即可求得答案；
（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；
（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)|PB|＝m|PA|，|PC|＝n|PA|，|PA|＝x，推出m+n＝t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2＝mn，再結(jié)合基本不等式，即可求得答案．
解：（1）由已知△ABC中cs2B+cs2C﹣cs2A＝1，即1﹣2sin2B+1﹣2sin2C﹣1+2sin2A＝1，
故sin2A＝sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2＝b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即；
（2）由（1）可得，所以三角形ABC的三個(gè)角都小于120°，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
設(shè)，
由S△APB+S△BPC+S△APC＝S△ABC，得，
整理得，
則＝；
（3）點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)|PB|＝m|PA|，|PC|＝n|PA|，|PA|＝x，m＞0，n＞0，x＞0，
則由|PB|+|PC|＝t|PA|，得m+n＝t；
由余弦定理得，
，
，
故由|AC|2+|AB|2＝|BC|2，得（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2＝（m2+n2+mn）x2，
即m+n+2＝mn，而m＞0，n＞0，故，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n，結(jié)合m+n+2＝mn，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又m+n＝t，即有t2﹣4t﹣8≥0，解得或（舍去）．
故實(shí)數(shù)t的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，利用基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

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