1．若排列數(shù)＝6×5×4，則m＝ ．
2．7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有 種排法．
3．設(shè)直線y＝ax+3與圓x2+y2＝4相交所得弦長(zhǎng)為，則a＝ ．
4．的二項(xiàng)展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為 ．
5．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則p＝ ．
6．若雙曲線的一條漸近線與直線y＝2x﹣1平行，則b＝ ．
7．已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則直線ax+by+c＝0必過定點(diǎn) ．
8．從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則P（B|A）＝ ．
9．有3男3女共6位高三同學(xué)在高考考場(chǎng)外合影留念．若從這6人中隨機(jī)選取2人拍雙人照，則選中的2人恰為1男1女的概率是 ．
10．某校開展“全員導(dǎo)師制”．有2名導(dǎo)師可供5位學(xué)生選擇，若每位學(xué)生必須也只能選取一名導(dǎo)師且每位導(dǎo)師最多只能被3位學(xué)生選擇，則不同的選擇方案共有 種（用數(shù)字作答）．
11．已知無窮數(shù)列{an}滿足，且a2＝1，則ai＝ ．
12．已知曲線C1：y2＝4x（x≤1），曲線C2：x2﹣2x+y2﹣28＝0（x≥6），若△ABC的頂點(diǎn)的A坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)B，C分別在曲線C1和C2上運(yùn)動(dòng)，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為 ．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13、14題每題4分，15、16題每題5分）
13．若直線（a﹣1）x+y﹣1＝0與直線3x﹣ay+2＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．
14．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（1，3，λ），若三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．如果、分別是A、B的對(duì)立事件，下列選項(xiàng)中能判斷事件A與事件B相互獨(dú)立的是（ ）
A．B．
C．D．P（B|A）＝P（A|B）
16．已知數(shù)列{an}，設(shè)（n為正整數(shù)）．若{an}滿足性質(zhì)Ω：存在常數(shù)c，使得對(duì)于任意兩兩不等的正整數(shù)i、j、k，都有（i﹣j）mk+（j﹣k）mi+（k﹣i）mj＝c，則稱數(shù)列{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．有以下三個(gè)命題：
①若數(shù)列{an}是“夢(mèng)想數(shù)列”，則常數(shù)c＝0；
②存在公比不為1的等比數(shù)列是“夢(mèng)想數(shù)列”；
③“夢(mèng)想數(shù)列”一定是等差數(shù)列．
以上3個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)
A．3B．2C．1D．0
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）
17．一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．
（1）從中有放回地依次摸出2個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；
（2）從中不放回地依次摸出2個(gè)球，記兩球中白球的個(gè)數(shù)為X，求X的期望與方差．
18．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1．
（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S10＝70，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4＝，求滿足Sn＞100an時(shí)n的最小值．
19．已知拋物線Γ1：y2＝4x，Γ2：y2＝2x，直線l交拋物線Γ1于點(diǎn)A、D，交拋物線Γ2于點(diǎn)B、C，其中點(diǎn)A、B位于第一象限．
（1）若點(diǎn)A到拋物線Γ1焦點(diǎn)的距離為2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），且線段AC的中點(diǎn)在x軸上，求原點(diǎn)O到直線l的距離．
20．（18分）已知E、F分別是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC、CD的中點(diǎn)，求：
（1）A1D與EF所成角的大??；
（2）二面角C﹣D1B1﹣C1的大小；
（3）點(diǎn)M在棱CD上，若A1M與平面B1C1CB所成角的正弦值為，請(qǐng)判斷點(diǎn)M的位置，并說明理由．
21．（18分）橢圓C的方程為x2+3y2＝4，A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積；
（3）若Q、R為橢圓上異于P的點(diǎn)，直線PQ、PR均與圓x2+y2＝r2（0＜r＜1）相切，記直線PQ、PR的斜率分別為k1、k2，是否存在位于第一象限的點(diǎn)P，使得k1k2＝1？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分）
1．若排列數(shù)＝6×5×4，則m＝ 3 ．
【分析】利用排列數(shù)公式直接求解．
解：∵排列數(shù)＝6×5×4，
∴由排列數(shù)公式得，
∴m＝3．
故答案為：m＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列數(shù)公式的合理運(yùn)用．
2．7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有 240 種排法．
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算即可．
解：7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，先排甲，乙有＝2種排法，
在排剩余5人，有＝120種排法，
故共有2×120＝240種排法．
故答案為：240．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．設(shè)直線y＝ax+3與圓x2+y2＝4相交所得弦長(zhǎng)為，則a＝ ± ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及垂徑定理，即可求解．
解：圓x2+y2＝4，
則圓心為O（0，0），半徑r＝2，
∵直線y＝ax+3與圓x2+y2＝4相交所得弦長(zhǎng)為，
∴圓心O到直線y＝ax+3的距離d＝＝1，
又圓心O（0，0）到直線y＝ax+3的距離為，
∴＝1，解得a＝±2．
故答案為：±2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
4．的二項(xiàng)展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為 210 ．
【分析】由題意，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．
解：在的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1＝?x10﹣2r，
令10﹣2r＝2，求得r＝4，可得x2項(xiàng)的系數(shù)為＝210．
故答案為：210．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
5．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則p＝ ．
【分析】直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差列出方程求解即可．
解：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，
可得np＝30，npq＝20，q＝，則p＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計(jì)算能力．
6．若雙曲線的一條漸近線與直線y＝2x﹣1平行，則b＝ 2 ．
【分析】先求出a＝1，再結(jié)合漸近線的定義，以及直線平行的性質(zhì)，即可求解．
解：雙曲線，
則a＝1，
雙曲線的一條漸近線與直線y＝2x﹣1平行，
則．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7．已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則直線ax+by+c＝0必過定點(diǎn) （1，﹣2） ．
【分析】由a，b，c成等差數(shù)列，可得2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，故直線ax+by+c＝0可得．
解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b＝a+c，∴a﹣2b+c＝0，
∴直線ax+by+c＝0必過點(diǎn)（1，﹣2）．
故答案為：（1，﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查恒過定點(diǎn)的直線，屬于基礎(chǔ)題．
8．從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則P（B|A）＝ ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．
解：由題意可知，P（A）＝，P（AB）＝，
故P（B|A）＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
9．有3男3女共6位高三同學(xué)在高考考場(chǎng)外合影留念．若從這6人中隨機(jī)選取2人拍雙人照，則選中的2人恰為1男1女的概率是 ．
【分析】根據(jù)組合數(shù)公式結(jié)合古典概率公式即可得到答案．
解：設(shè)選中的2人恰為1男1女為事件A，
故，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
10．某校開展“全員導(dǎo)師制”．有2名導(dǎo)師可供5位學(xué)生選擇，若每位學(xué)生必須也只能選取一名導(dǎo)師且每位導(dǎo)師最多只能被3位學(xué)生選擇，則不同的選擇方案共有 20 種（用數(shù)字作答）．
【分析】根據(jù)題意可知，將學(xué)生分組為2，3，分好之后再對(duì)其進(jìn)行分配，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．
解：有2名導(dǎo)師可供5位學(xué)生選擇，若每位學(xué)生必須也只能選取一名導(dǎo)師且每位導(dǎo)師最多只能被3位學(xué)生選擇，
故可將學(xué)生分組為2，3，共有＝10種，
再將分好的學(xué)生分配給2名導(dǎo)師，共＝2種，
故不同的選擇方案共有10×2＝20種．
故答案為：20．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
11．已知無窮數(shù)列{an}滿足，且a2＝1，則ai＝ 4 ．
【分析】由已知可得數(shù)列{an}為以為公比的等比數(shù)列，再結(jié)合無窮等比數(shù)列求和公式求解即可．
解：由數(shù)列{an}滿足，且a2＝1，
則數(shù)列{an}為以為公比的等比數(shù)列，
由a2＝1，
則a1＝2，
則ai＝，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無窮等比數(shù)列求和，屬基礎(chǔ)題．
12．已知曲線C1：y2＝4x（x≤1），曲線C2：x2﹣2x+y2﹣28＝0（x≥6），若△ABC的頂點(diǎn)的A坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)B，C分別在曲線C1和C2上運(yùn)動(dòng)，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為 7+ ．
【分析】求出圓的圓心與半徑，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及準(zhǔn)線方程，畫出圖形，轉(zhuǎn)化求解即可．
解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，
曲線C2：x2﹣2x+y2﹣28＝0（x≥6），圓的圓心（1，0），半徑為，
△ABC的頂點(diǎn)的A坐標(biāo)為（1，0），與拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的圓心重合，過B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，可知|AB|＝|BD|，
頂點(diǎn)B，C分別在曲線C1和C2上運(yùn)動(dòng)，則△ABC周長(zhǎng)|AB|+|BC|+|CA|≥|AC|+|CD|，
當(dāng)且僅當(dāng)B、C、D共線時(shí)，取得最小值．此時(shí)C（6，±2），
最小值為：7+．
故答案為：7+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，是中檔題．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13、14題每題4分，15、16題每題5分）
13．若直線（a﹣1）x+y﹣1＝0與直線3x﹣ay+2＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用直線垂直的充要條件求出結(jié)果．
解：直線（a﹣1）x+y﹣1＝0與直線3x﹣ay+2＝0垂直，
則3（a﹣1）﹣a＝0，解得a＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（1，3，λ），若三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用向量共面定理，設(shè)，即（1，3，λ）＝（2m﹣n，﹣m+4n，3m﹣2n），列出方程組，能求出實(shí)數(shù)λ．
解：＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（1，3，λ），
三向量共面，
∴可設(shè)，即（1，3，λ）＝（2m﹣n，﹣m+4n，3m﹣2n），
∴，解得m＝1，n＝1，λ＝1．
∴實(shí)數(shù)λ等于1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量共面定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
15．如果、分別是A、B的對(duì)立事件，下列選項(xiàng)中能判斷事件A與事件B相互獨(dú)立的是（ ）
A．B．
C．D．P（B|A）＝P（A|B）
【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的關(guān)系即可判斷A，根據(jù)假設(shè)即可判斷BCD．
解：對(duì)于A，由P（A∩）＝P（A）P（），且P（）＝1﹣P（B），可得P（A∩）＝[1﹣P（B）]P（A）＝P（A）﹣P（A）P（B），
所以P（AB）＝P（A）﹣P（A∩）＝P（AB），所以事件A與事件B相互獨(dú)立，故A正確；
對(duì)于B，若事件A與事件B相互獨(dú)立，則需滿足P（AB）＝P（A）P（B），
由于P（）＝P（A）P（B），所以于P（）＝P（AB），
故無法確定事件A與事件B相互獨(dú)立，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，P（B|A）＝，P（B）＝P（AB），
若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P（A）P（B）＝P（AB）＝P（B），則P（B）＝0或P（A）＝1，
故事件A為必然事件或事件B為不可能事件，
顯然無法確定事件A與事件B相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由P（B|A）＝P（A|B），可得，即P（A）＝P（B），無法確定事件A與事件B相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．已知數(shù)列{an}，設(shè)（n為正整數(shù)）．若{an}滿足性質(zhì)Ω：存在常數(shù)c，使得對(duì)于任意兩兩不等的正整數(shù)i、j、k，都有（i﹣j）mk+（j﹣k）mi+（k﹣i）mj＝c，則稱數(shù)列{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”．有以下三個(gè)命題：
①若數(shù)列{an}是“夢(mèng)想數(shù)列”，則常數(shù)c＝0；
②存在公比不為1的等比數(shù)列是“夢(mèng)想數(shù)列”；
③“夢(mèng)想數(shù)列”一定是等差數(shù)列．
以上3個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)
A．3B．2C．1D．0
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“夢(mèng)想數(shù)列”的定義，依次分析3個(gè)命題是否正確，綜合可得答案．
解：根據(jù)題意，依次分析3個(gè)命題：
對(duì)于①，若數(shù)列{an}是“夢(mèng)想數(shù)列”，則（i﹣j）mk+（j﹣k）mi+（k﹣i）mj＝c，同時(shí)有（j﹣i）mk+（k﹣j）mi+（i﹣k）mj＝c，必有c＝0，①正確；
對(duì)于②③，令i＝1，j＝2，k＝3，
有（1﹣2）+（2﹣3）+（3﹣1）＝0，
變形可得a1+a3＝2a2，即a1、a2、a3成三項(xiàng)成等差數(shù)列，
令i＝1，j＝2，k＝n（n≥3），
則有（1﹣2）+（2﹣n）a1+（n﹣1）＝0，
變形可得：2Sn+（n2﹣3n）a1﹣n（n﹣1）a2＝0，
則有2Sn+1+（n2﹣2n﹣2）a1﹣n（n+1）a2＝0，
兩式相減可得：2an+1+2na1﹣2a1﹣2na2＝0，
則有an+1＝a1+nd，
所以有an＝a1+（n﹣1）d（n≥4）成立，
又由當(dāng)n＝1、2、3時(shí)也成立，故“夢(mèng)想數(shù)列”一定是等差數(shù)列，則②錯(cuò)誤，③正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及等差、等比數(shù)列的判定和性質(zhì)，屬于中檔題．
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）
17．一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．
（1）從中有放回地依次摸出2個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；
（2）從中不放回地依次摸出2個(gè)球，記兩球中白球的個(gè)數(shù)為X，求X的期望與方差．
【分析】（1）由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式即得；
（2）由題意知x可能取0，1，2，根據(jù)取值對(duì)應(yīng)的事件求出相應(yīng)的概率，再代入期望和方差公式計(jì)算即可．
解：（1）記“摸出一球，放回后再摸出一球，兩球顏色不同”為事件A，
摸出一球得白球的概率為，
摸出一球得黑球的概率為，
由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式可得P（A）＝；
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，
其中，P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
∴E（X）＝＝，
D（X）＝（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×＝，
即摸出白球個(gè)數(shù)的期望和方差分別是和，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬中檔題．
18．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1．
（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S10＝70，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4＝，求滿足Sn＞100an時(shí)n的最小值．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，解方程可得d，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q，再由等比數(shù)列的求和公式，解不等式可得n的最小值．
解：（1）數(shù)列{an}為公差為d的等差數(shù)列，S10＝70，a1＝1，
可得10+×10×9d＝70，解得d＝，
則an＝1+（n﹣1）＝n﹣；
（2）數(shù)列{an}為公比為q的等比數(shù)列，a4＝，a1＝1，
可得q3＝，即q＝，
則an＝（）n﹣1，Sn＝＝2﹣（）n﹣1，
Sn＞100an，即為2﹣（）n﹣1＞100?（）n﹣1，
即2n＞101，可得n≥7，即n的最小值為7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．已知拋物線Γ1：y2＝4x，Γ2：y2＝2x，直線l交拋物線Γ1于點(diǎn)A、D，交拋物線Γ2于點(diǎn)B、C，其中點(diǎn)A、B位于第一象限．
（1）若點(diǎn)A到拋物線Γ1焦點(diǎn)的距離為2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），且線段AC的中點(diǎn)在x軸上，求原點(diǎn)O到直線l的距離．
【分析】（1）求得拋物線Γ1：y2＝4x的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可得所求坐標(biāo)；
（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到C的坐標(biāo)，可得直線l的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得所求距離．
解：（1）拋物線Γ1：y2＝4x的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，
若點(diǎn)A到拋物線Γ1焦點(diǎn)的距離為2，可得xA+1＝2，解得xA＝1，yA＝2，即A（1，2）；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），且線段AC的中點(diǎn)在x軸上，
則yC＝﹣4，代入拋物線Γ2：y2＝2x，可得xC＝8，即C（8，﹣4），
直線l的斜率為k＝＝﹣2，
直線l的方程為y﹣4＝﹣2（x﹣4），即為2x+y﹣12＝0，
可得原點(diǎn)O到直線l的距離為d＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
20．（18分）已知E、F分別是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC、CD的中點(diǎn)，求：
（1）A1D與EF所成角的大??；
（2）二面角C﹣D1B1﹣C1的大??；
（3）點(diǎn)M在棱CD上，若A1M與平面B1C1CB所成角的正弦值為，請(qǐng)判斷點(diǎn)M的位置，并說明理由．
【分析】（1）將，向量分別表示出來即可；（2）分別找到兩個(gè)平面的法向量即可；（3）找到平面B1C1CB的法向量和代入公式計(jì)算即可．
解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以分別為x，y，z軸正方向，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．D（0，0，0），A1（1，0，1），E（，1，0），F(xiàn)（0，，0），
D1（0，0，1），C（0，1，0），B1（1，1，1），
（1），，
設(shè)A1D 與EF所成角為θ，csθ＝＝，
所以A1D與EF所成角的大小是60°；
（2）平面B1D1C1的一個(gè)法向量為＝（0，0，1），
設(shè)平面CB1D1的一個(gè)法向量為，
，，由，
則有，得，令z＝1，則，
設(shè)的夾角為α，，
由圖可知二面角C﹣D1B1﹣C1為銳二面角，
所以二面角C﹣D1B1﹣C1大小為；
（3）設(shè)M（0，y，0），y∈[0，1]，則，
平面B1C1CB的一個(gè)法向量為，
設(shè)A1M與平面B1C1CB所成角為β，
，，
所以當(dāng)時(shí)，A1M與平面B1C1CB所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量求線面所成的角，二面角，異面直線所成的角，屬于中檔題．
21．（18分）橢圓C的方程為x2+3y2＝4，A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積；
（3）若Q、R為橢圓上異于P的點(diǎn)，直線PQ、PR均與圓x2+y2＝r2（0＜r＜1）相切，記直線PQ、PR的斜率分別為k1、k2，是否存在位于第一象限的點(diǎn)P，使得k1k2＝1？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）由已知易求橢圓的離心率；
（2）分∠F1PF2＝，∠PF1F2＝兩種情況可求△PF1F2的面積；
（3）設(shè)P（x0，y0），則直線PQ的方程為y﹣y0＝k1（x﹣x0），可得（﹣r2）﹣2x0y0k1+﹣r2＝0，進(jìn)而可得k1k2＝＝1，可求P的坐標(biāo)．
解：（1）由橢圓C的方程為x2+3y2＝4，得標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1，
∴a＝2．c＝＝，離心率e＝＝．
（2）設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，
當(dāng)∠F1PF2＝時(shí)，＝m2+n2，∴＝（m+n）2﹣2mn，∴mn＝，
此時(shí)；S＝mn＝×＝，
由對(duì)稱性，不妨設(shè)∠PF1F2＝時(shí)，且P在第一象限，則P（，），
此時(shí)；S＝××＝，
綜上，△PF1F2的面積為或．
（3）設(shè)P（x0，y0），則直線PQ的方程為y﹣y0＝k1（x﹣x0），
由已知＝r．∴（﹣r2）﹣2x0y0k1+﹣r2＝0，
同理：（﹣r2）﹣2x0y0k2+﹣r2＝0，
因而k1，k2，是方程（﹣r2）k2﹣2x0y0k+﹣r2＝0 的兩根，所以k1k2＝＝1，
得＝，由P在第一象限得P（1，1），
∴存在位于第一象限的點(diǎn)P，使得k1k2＝1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查三角形的面積，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題．

相關(guān)試卷

2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)高二（下）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷（3月份）(含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)高二（下）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷（3月份）(含解析），共12頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

上海市寶山區(qū)上海師大附屬寶山羅店中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次診斷性測(cè)試（3月）數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）：

這是一份上海市寶山區(qū)上海師大附屬寶山羅店中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次診斷性測(cè)試（3月）數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版），文件包含精品解析上海市寶山區(qū)上海師大附屬寶山羅店中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次診斷性測(cè)試3月數(shù)學(xué)試卷原卷版docx、精品解析上海市寶山區(qū)上海師大附屬寶山羅店中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次診斷性測(cè)試3月數(shù)學(xué)試卷解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共17頁， 歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)顧村中學(xué)高二（下）段考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)顧村中學(xué)高二（下）段考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析），共14頁。試卷主要包含了選擇題本大題共4題，每題6分等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)

2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)
2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）

2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）
2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)上海師大附屬羅店中學(xué)高二上學(xué)期第二次診斷調(diào)研數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年上海市寶山區(qū)上海師大附屬羅店中學(xué)高二上學(xué)期第二次診斷調(diào)研數(shù)學(xué)試題含答案
2022-2023學(xué)年上海市上海師范大學(xué)附屬寶山羅店中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年上海市上海師范大學(xué)附屬寶山羅店中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部