一、選擇題
1．某體育老師記錄了班上12名同學(xué)1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù),得到如下數(shù)據(jù)：88,114,94,96,101,98,89,99,98,100,102,116,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是( )
A.100B. 101C. 101.5D. 102
2．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
3．展開式中的系數(shù)為( )
A.15B.20C.75D.100
4．已知圓與圓關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為( )
A.B.
C.D.
5．已知A,B,C是表面積為的球O的球面上的三個點(diǎn),且,,則三棱錐的體積為( )
A.B.C.D.
6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F,漸近線方程為,焦距為8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)P為C的右支上的一點(diǎn),則的最小值為( )
A.B.C.D.
7．在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則的值為( )
A.-2B.-3C.3D.2
8．若,,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知m,n是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,則下列命題為真命題的有( )
A.若,,則
B. 若,,則
C.若,,則
D.若m,n為異面直線,,, ,,則
10．已知函數(shù),則下列說法正確的是( )
A.函數(shù)的最小正周期為
B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象
D.若,則
11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交E于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交E于另一點(diǎn)C,直線交E于另一點(diǎn)D,其中,,記,的面積分別為,則下列說法正確的是( )
A.B.C.D.
三、填空題
12．若復(fù)數(shù),則______________．
13．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,滿足,且當(dāng)時(shí),,則的值為___________．
14．如圖,在矩形中,,,點(diǎn)E,F分別在線段,上,且,則的最小值為__________．
四、解答題
15．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
（1）求a的值;
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.
16．如圖,在直三棱柱中,,,,點(diǎn)D是棱上的一點(diǎn),且,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面;
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
17．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生,報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測?背景調(diào)查?高考選拔這5項(xiàng)流程,其中前4項(xiàng)流程選拔均通過,則被確認(rèn)為有效招飛申請,然后參加高考,由招飛院校擇優(yōu)錄?。畵?jù)統(tǒng)計(jì),每位報(bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為,,,1．假設(shè)學(xué)生能否通過這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立,現(xiàn)有某校高三學(xué)生A,B,C這三人報(bào)名民航招飛．
（1）求A,B,C這三人中恰好有兩人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率;
（2）根據(jù)A,B,C這三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績,預(yù)估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為,,設(shè)隨機(jī)變量X為A,B,C這三人中能被招飛院校錄取的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．如圖,已知橢圓的左頂點(diǎn)為,離心率為,M,N是直線上的兩點(diǎn),且,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AM與E交于另外一點(diǎn)B,直線與E交于另外一點(diǎn)C．
（1）記直線,的斜率分別為,,求的值;
（2）求點(diǎn)O到直線的距離的最大值．
19．如果數(shù)列,,其中,對任意正整數(shù)都有,則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．已知數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．
（1）若,求,,的值;
（2）若數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為,求證：數(shù)列是等差數(shù)列;
（3）若數(shù)列滿足,且,記數(shù)列,的前n項(xiàng)和分別為,試判斷是否存在正整數(shù)n,使得？若存在,請求出正整數(shù)n的最小值;若不存在,請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
參考答案
1．答案：D
解析：先將數(shù)據(jù)由小到大排序:88,89,94,96,98,98,99,100,101,102,114,116,
又,故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)據(jù)102.
故選：D.
2．答案：B
解析：,,
,
所以,
故選：B.
3．答案：A
解析：展開式中：
若提供常數(shù)項(xiàng)3,則提供含有的項(xiàng),可得展開式中的系數(shù)：
若提供項(xiàng),則提供含有的項(xiàng),可得展開式中的系數(shù)：
由通項(xiàng)公式可得．
可知時(shí),可得展開式中的系數(shù)為．
可知時(shí),可得展開式中的系數(shù)為．
展開式中的系數(shù)為：．
故選：A．
4．答案：C
解析：圓,圓心,半徑,
,圓心,半徑,
由題意知,l是圓和圓圓心連線的垂直平分線,
,,的中點(diǎn),
圓心連線的斜率為,則直線l的斜率為2,
故的方程：,即,故C正確．
故選：C．
5．答案：D
解析：設(shè)球O的半徑為R,因?yàn)榍騉的表面積為,解得.
在中,由余弦定理可得,
所以的外接圓半徑為,所以,
設(shè)的外接圓的圓心為G,則平面,
則球心O到平面的距離為,則,
所以三棱錐的體積為.
故選：D.
6．答案：C
解析：如圖所示
由題意知,解得,,
記C的右焦點(diǎn)為,即,
由雙曲線的定義,得,即
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)等號成立,
所以的最小值為.
故選：C.
7．答案：A
解析：因?yàn)?
由正弦定理得,即,
由余弦定理得,
化簡得,即,
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
又,故,因?yàn)?故,則,
由,則,
整理得,故
故選：A.
8．答案：B
解析：令,則,
令,則在區(qū)間上恒成立,
即在區(qū)間上單調(diào)遞減,又,
而,所以,
即在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,
得到,即,所以,
令,則,當(dāng)時(shí),,
即在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,得到,即,所以,
綜上所述,,
故選：B.
9．答案：AD
解析：對于A,若,,,是兩個不同的平面,則可得,即A正確;
對于B,若,,,當(dāng)m,n都平行于兩平面的交線時(shí),,可知B錯誤;
對于C,若,,則可能會,即C錯誤;
對于D,若,,,又m,n為異面直線,所以,即D正確.
故選：AD.
10．答案：ACD
解析：,
對于A,的周期為,A正確,
對于B,當(dāng),則,故B錯誤,
對于C,將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到,故C正確,
對于D,,則,
故,
故,D正確,
故選：ACD.
11．答案：BCD
解析：由題意知,.
設(shè),,,,顯然.
那么由經(jīng)過點(diǎn)F,有,
也就是,即,
也就是,也就是,
同時(shí),經(jīng)過點(diǎn)P,所以,
也就是,也就是,
也就是,也就是,
同理,,
綜上,我們有,,,,,,,,.
故,,
所以,,,.
這就得到：,所以,A錯誤;
,所以,B正確;
由于,故,同理,這就說明,且相似比為.
所以,,得C,D正確.
故選：BCD.
12．答案：
解析：,
,
故答案為：.
13．答案：
解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽,滿足,
且當(dāng),時(shí),,
,
,
,
,
,
．
故答案為：．
14．答案：
解析：設(shè),則,
故,
故
,
當(dāng),時(shí),,即時(shí),
此時(shí)取最小值.
故答案為：．
15．答案：（1）
（2）單調(diào)遞減區(qū)間為和,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極大值為,極小值為.
解析：（1）因?yàn)?所以,
則,因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直,
故,解得;
（2）因?yàn)?所以,
令,解得或,令得或,令得,
列表如下：
故的單調(diào)遞減區(qū)間為和,單調(diào)遞增區(qū)間為,
的極大值為,極小值為.
16．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）因?yàn)橹比庵?,,故,所以,,兩兩垂直,
分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
,,,,點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)
所以,,
所以,,,,,,
所以,,,
設(shè)平面法向量為,則,
令,則,,所以平面法向量．
設(shè)平面法向量為,則,
令,則,,所以平面的法向量．
由于,故,
因此平面平面;
（2）由（1）知平面的法向量．
設(shè)直線與平面所成的角為,
則,
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17．答案：（1）
（2）分布列見解析,
解析：（1）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過前4項(xiàng)流程的概率依次約為,,,1且能否通過相互獨(dú)立,
所以每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為,
故A,B,C這三人中恰好有兩人被確認(rèn)為有效招飛申請的概率.
（2）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請的概率為,且預(yù)估A,B,C能被招飛院校錄取的概率分別為,,
所以A能被招飛院校錄取的概率為,
B能被招飛院校錄取的概率為,
C能被招飛院校錄取的概率為,
由題知,X的可能取值為0,1,2,3,
所以,
,
,
,
所以X的分布列為
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè),,所以,
又,所以,
又,,
所以
（2）由題意可知,解得,,
所以橢圓E的方程為
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,,
由,消去y,得,
則,
所以,,
由（1）知,所以,
整理得,
所以,整理得,
即,解得,或
當(dāng)時(shí),直線的方程為,過定點(diǎn),不符合題意,舍去;
當(dāng),直線的方程為,過定點(diǎn)
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),易得,,
所以直線的方程為,
由,消去y,得,解得,或,
所以,同理得,
此時(shí)直線的方程是,過定點(diǎn)
綜上,直線過定點(diǎn)
又,
所以點(diǎn)O到直線的距離的最大值為.
19．答案：（1）,,
（2）證明見解析
（3）存在,17
解析：（1）由題：令,則,即,故,
得,又,,同理可得,,.
（2）由題意,
故,,
從而,即,
因?yàn)?,所以,即,故數(shù)列是等差數(shù)列.
（3）因?yàn)?則,解得,
又,故是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,
則,即,
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,易知單調(diào)遞減,
故,得,進(jìn)一步有;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,易知單調(diào)遞增,
故,即,得,進(jìn)一步有;
綜上,,
易知,
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;由,得,即,無解;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
由,得即,
故,所以存在正整數(shù)n,使得,正整數(shù)n的最小值為17.
x
-1
3
0
+
0
↘
極小值
↗
極大值
↘
X
P

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