一、選擇題
1．已知向量,若,則實數(shù)m的值為( )
A.B.C.D.8
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四像限
3．已知直線l與曲線在點處的切線垂直,則直線l的斜率為( )
A.B.1C.D.2
4．已知正項數(shù)列滿足,則( )
A.B.C.D.
5．已知拋物線的準線為,點P,Q在拋物線C上,且線段PQ的中點為,則直線PQ的方程為( )
A.B.C.D.
6．近期,哈爾濱這座“冰城”火了,2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次,神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾,這些英雄的后代講述著英雄的故事,讓哈爾濱大放異彩.現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化,每個景點至少安排1人,則不同的安排方法種數(shù)是( )
A.240B.420C.540D.900
7．如圖,AB為圓錐SO底面圓的一條直徑,點C為線段SA的中點,現(xiàn)沿SA將圓錐SO的側(cè)面展開,所得的平面圖形中為直角三角形,若,則圓錐SO的表面積為( )
A.B.C.D.
8．“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式,其定義如下:設(shè),,則A,B兩點間的曼哈頓距離,已知,點N在圓上運動,若點滿足,則的最大值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知函數(shù),則( )
A.直線為圖象的一條對稱軸
B.點為圖象的一個對稱中心
C.將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于y軸對稱
D.在上單調(diào)遞增
10．已知棱長為2的正方體中,動點M在棱上,記平面截正方體所得的截面圖形為,則( )
A.平面平面
B.不存在點M,使得直線平面
C.的最小值為
D.的周長隨著線段DM長度的增大而增大
11．已知函數(shù),的定義域均為R,其中的圖象關(guān)于點中心對稱,的圖象關(guān)于直線對稱,,,則( )
A.B.C.D.
三、填空題
12．已知集合,,則________.
13．在中,,且,則的面積為________;若,則________.
14．已知橢圓的左?右焦點分別為,,過的直線與C交于M,N兩點,若,且,則C的離心率為________.
四、解答題
15．2023年12月28日,小米汽車舉行了技術(shù)發(fā)布會,首款產(chǎn)品SU7揭開神秘面紗,引起了廣大車迷愛好者的熱議,為了了解車迷們對該款汽車的購買意愿與性別是否具有相關(guān)性,某車迷協(xié)會隨機抽取了200名車迷朋友進行調(diào)查,所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示.
（1）請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,分析車迷們對該款汽車的購買意愿與性別是否有關(guān);
（2）用頻率估計概率,隨機抽取兩名車迷作深度訪談,記其中愿意購置該款汽車的人數(shù)為,求的分布列與期望.
參考公式:,其中.
16．如圖,在正四棱錐中,,點O是AC的中點,點P在棱SD上(異于端點).
（1）若點P是棱SD的中點,求證:平面平面PAC;
（2）若二面角的余弦值為,求線段SP的長.
17．已知雙曲線的左?右焦點分別為,,點在上,且的面積為.
（1）求雙曲線C的方程;
（2）記點A在x軸上的射影為點B,過點B的直線l與C交于M,N兩點.探究:是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
18．已知函數(shù),其中k,.
（1）若,討論在上的單調(diào)性;
（2）若存在正數(shù),使得,,且時,,求的取值范圍.
19．基本不等式可以推廣到一般的情形:對于n個正數(shù),,…,,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均,即,當且僅當時,等號成立.若無窮正項數(shù)列同時滿足下列兩個性質(zhì):①;
②為單調(diào)數(shù)列,則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.
（1）若,求數(shù)列的最小項;
（2）若,記,判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
（3）若,求證:數(shù)列具有性質(zhì)P.
參考答案
1．答案：A
解析：由向量,,因為,可得,解得.
故選:A.
2．答案：D
解析：,
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,位于第四象限.
故選:D.
3．答案：C
解析：由函數(shù),可得,
則,所以直線l的斜率為.
故選:C.
4．答案：B
解析：依題意,,則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,因此,
所以.
故選:B
5．答案：A
解析：由拋物線的準線為,可得,可得,所以,
設(shè),,可得,且,
兩式相減,可得,
可得,所以直線PQ的方程為,
即.
故選:A.
6．答案：C
解析：若三個景點安排的人數(shù)之比為,則有種安排方法;
若三個景點安排的人數(shù)之比為,則有種安排方法;
若三個景點安排的人數(shù)之比為,則有種安排方法,
故不同的安排方法種數(shù)是.
故選:C.
7．答案：B
解析：如圖所示,作出展開圖,
可得,為銳角,故,
由,可得,即為等邊三角形,所以,
則圓錐的側(cè)面積為,底面積,
所以圓錐SO的表面積為.
故選:B.
8．答案：D
解析：如圖所示,由圓,可得,
則圓心,半徑,
設(shè),則,可得點P的軌跡為如下所示的正方形,
其中,,則,,
則,所以的最大值為.
故選:D.
9．答案：AC
解析：A:,故A正確;
B:,故B錯誤;
C:將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后,得到,偶函數(shù),故C正確;
D:因為,所以,則函數(shù)在上先增后減,故D錯誤.
故選:AC.
10．答案：ACD
解析：由于正方體的對角面相互垂直,故正確;
當點M與重合時,直線平面,故錯誤;
將四邊形翻折至與四邊形共面,則,故C正確;
當時,為,且的周長為.
當時,為四邊形,且四邊形的周長為.
當時,如圖,過點M作,易得,所以為四邊形,
設(shè),四邊形的周長為l,則,
所以,令,解得,
所以在上單調(diào)遞增,所以的周長隨著線段長度的增大而增大,故D正確.
故選:ACD.
11．答案：BD
解析：由題意知,,
所以,所以,所以A錯誤;
又由,因為關(guān)于點中心對稱,
所以,所以,
又因為,所以,
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù),所以,所以B正確;
由,所以C錯誤;
因為,,
所以,所以,所以D正確.
故選:BD.
12．答案：
解析：因為,
又,所以.
故答案為:
13．答案：4,/
解析：設(shè)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,
因為,由正弦定理可得,
又因為,則,
所以的面積;
當時,則,即,
由余弦定理可得,即,
所以,.
故答案為:4;.
14．答案：
解析：如圖所示,作,垂足為E,
因為,所以,點E為的中點,
所以,,
因為,所以,
所以,
所以,
所以,
在直角中,由勾股定理可得,
整理得到,即,
因為,解得.
故答案為:.
15．答案：（1）認為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關(guān).
（2）分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為.
解析：（1）零假設(shè)為:車迷們對該款汽車的購買意愿與性別無關(guān).
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得,
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,我們推斷不成立,
即認為車迷們對該款汽車的購買意愿與性別有關(guān).
（2）由題意得,隨機抽取到1名愿意購置該款汽車的車迷的概率為,
故,
所以,,
,
故X的分布列為
(或)
16．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）由題意得,正四棱錐所有棱長均為,
因為P是SD的中點,所以,,
因為,且平面,所以平面PAC,
又因為平面,所以平面平面PAC.
（2）如圖,連接OB,易知OB,OC,OS兩兩垂直,分別以,為x軸?y軸?z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,
則,,,,
所以,.
設(shè),則,
所以,所以.
設(shè)平面的法向量為,則,
令,則,所以平面PAC的一個法向量為.
易知平面SAC的法向量為,
設(shè)二面角的平面角為,
則,
即,解得或(不合題意,舍去),
此時.
17．答案：（1）
（2）,為定值.
解析：（1）設(shè)雙曲線的焦距為,
由題意得,,
解得,故雙曲線C的方程為.
（2）由題意得,,
當直線MN的斜率為零時,則.
當直線MN的斜率不為零時,設(shè)直線MN的方程為,點,,
聯(lián)立,整理得,
則,解得且,
所以,,
所以
.
綜上,,為定值.
18．答案：（1）答案見解析.
（2）
解析：（1）由題意得,,,.
若,則,此時在上單調(diào)遞增;
若,則,此時在上單調(diào)遞增;
若,則,此時在上單調(diào)遞減;
若,則當時,,當時,,
故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當時,在上單調(diào)遞增;
當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當時,在上單調(diào)遞減.
（2）由題意得,,使得函數(shù)在上單調(diào)遞減,
.
令,
問題即轉(zhuǎn)化為:.
①當時,,且單調(diào)遞增,
易知,,不合題意,舍去.
②當時,因為,
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
.
即,使得.
令,
故,
在上單調(diào)遞減,且當時,,
.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.
19．答案：（1）最小項為
（2）數(shù)列具有性質(zhì)P,理由見解析.
（3）證明見解析
解析：（1）,當且僅當,即時,等號成立,
數(shù)列的最小項為.
（2）數(shù)列具有性質(zhì)P.
,
,
數(shù)列滿足條件①.
,,為單調(diào)遞增數(shù)列,數(shù)列滿足條件②.
綜上,數(shù)列具有性質(zhì)P.
（3）先證數(shù)列滿足條件①:
.
當時,
則,
數(shù)列滿足條件①.
再證數(shù)列滿足條件②:
(,等號取不到)
為單調(diào)遞增數(shù)列,數(shù)列滿足條件②.
綜上,數(shù)列具有性質(zhì)P.
性別
購車意愿
合計
愿意購置該款汽車
不愿購置該款汽車
男性
100
20
120
女性
50
30
80
合計
150
50
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P

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