考向一 單物體機(jī)械能守恒
考向二 非質(zhì)點(diǎn)類物體機(jī)械能守恒
考向三 連接體（繩桿））系統(tǒng)機(jī)械能守恒
考向四 含彈簧的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問(wèn)題
考向一 單物體機(jī)械能守恒
一、重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系
1．重力做功的特點(diǎn)
(1)重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)．
(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化．
2．重力勢(shì)能
(1)表達(dá)式：Ep＝mgh.
(2)重力勢(shì)能的特點(diǎn)
重力勢(shì)能是物體和地球所共有的，重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)．
3．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系
(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能減小；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能增大；
(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二、彈性勢(shì)能
1．定義：發(fā)生彈性形變的物體之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能．
2．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系：彈力做正功，彈性勢(shì)能減??；彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．即W＝－ΔEp.
三、機(jī)械能守恒定律
1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．
2．表達(dá)式：mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2).
3．機(jī)械能守恒的條件
(1)系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力．
(2)系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內(nèi)力和外力，但這些力對(duì)系統(tǒng)不做功．
(3)系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內(nèi)力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零．
(4)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)、外也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化．
【典例1】(2022·福建三明一中高三月考)如圖所示，下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷不正確的是( )
A．圖甲中，物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中，物體A與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．圖乙中，斜面體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機(jī)械能守恒
C．圖丙中，連接A、B的繩子不可伸長(zhǎng)，不計(jì)任何阻力和定滑輪及繩子的質(zhì)量時(shí)，A加速下落，B加速上升過(guò)程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．圖丁中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的機(jī)械能守恒
【答案】B
【解析】題圖甲中，物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中，物體A與彈簧組成的系統(tǒng)只受重力和系統(tǒng)內(nèi)的彈力，所以機(jī)械能守恒，故A項(xiàng)不符合題意；題圖乙中，物塊B沿A勻速下滑的過(guò)程中，B重力勢(shì)能減小，動(dòng)能不變，所以B的機(jī)械能減小，故B項(xiàng)符合題意；題圖丙中，不計(jì)任何阻力時(shí)A加速下落，B加速上升過(guò)程中，A、B物體只有重力做功，機(jī)械能守恒，故C項(xiàng)不符合題意；題圖丁中，小球在做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重力勢(shì)能和動(dòng)能都不變，則小球的機(jī)械能守恒，故D項(xiàng)不符合題意。
【典例2】 (2022·山東省棗莊市高三上9月月考).如圖所示是一豎直固定在水平地面上的可伸縮細(xì)管，上端平滑連接四分之一細(xì)圓弧彎管，管內(nèi)均光滑，右管口切線水平。豎直細(xì)管底部有一彈射裝置(高度忽略不計(jì))，可以讓靜止在細(xì)管底部的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))瞬間獲得足夠大的速度v0，通過(guò)調(diào)節(jié)豎直細(xì)管的長(zhǎng)度h，可以改變上端管口到地面的高度，從而改變小球平拋的水平距離，重力加速度為g，則小球平拋的水平距離的最大值是( )
A.eq \f(v02,g) B.eq \f(v02,2g) C.eq \f(v02,3g) D.eq \f(v02,4g)
【答案】B
【解析】設(shè)管口到地面的高度是H，小球從管口射出的速度為v，由機(jī)械能守恒定律得eq \f(1,2)mv02＝mgH＋eq \f(1,2)mv2，小球離開(kāi)管口后做平拋運(yùn)動(dòng)，則x＝vt，H＝eq \f(1,2)gt2，聯(lián)立方程，可得x＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq \r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函數(shù)的特點(diǎn)可知當(dāng)H＝eq \f(v02,4g)時(shí)x取最大值，xmax＝eq \f(v02,2g)。
練習(xí)1、(多選)(2022·四川內(nèi)江月考)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A、B，用細(xì)線懸掛在等高的O1、O2點(diǎn)，A球的懸線比B球的懸線長(zhǎng)，把兩球的懸線均拉到水平位置后將小球無(wú)初速度釋放，則經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)(以懸點(diǎn)所在的水平面為參考平面)( )
A．B球的動(dòng)能大于A球的動(dòng)能
B．A球的動(dòng)能大于B球的動(dòng)能
C．A球的機(jī)械能大于B球的機(jī)械能
D．A球的機(jī)械能等于B球的機(jī)械能
【答案】BD
【解析】空氣阻力不計(jì)，小球下落過(guò)程中只有動(dòng)能和重力勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒，故C錯(cuò)誤，D正確；到最低點(diǎn)時(shí)A球減少的重力勢(shì)能較多，增加的動(dòng)能較多，故A錯(cuò)誤，B正確。
練習(xí)2、(2022·江蘇如皋中學(xué)模擬)如圖，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為FN1，在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為FN2。重力加速度大小為g，則FN1－FN2的值為( )
A.3mg B.4mg
C.5mg D.6mg
【答案】D
【解析】在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得FN2＋mg＝meq \f(veq \\al(2,2),r)，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律可得FN1－mg＝meq \f(veq \\al(2,1),r)，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，故有mg·2r＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，聯(lián)立三式可得FN1－FN2＝6mg，選項(xiàng)D正確。
【巧學(xué)妙記】
1.對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解
(1)只受重力作用，例如做平拋運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能守恒。
(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數(shù)和為零。
(3)除重力外，只有系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢(shì)能變化量的負(fù)值，那么系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，注意并非物體的機(jī)械能守恒，如與彈簧相連的小球下擺的過(guò)程中機(jī)械能減少。
2．機(jī)械能是否守恒的三種判斷方法
(1)利用機(jī)械能的定義判斷：若物體動(dòng)能、勢(shì)能之和不變，機(jī)械能守恒。
(2)利用守恒條件判斷。
(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若系統(tǒng)與外界沒(méi)有能量交換，系統(tǒng)內(nèi)也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
3．判斷機(jī)械能守恒的“三點(diǎn)”注意
(1)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，機(jī)械能一般在系統(tǒng)內(nèi)物體間轉(zhuǎn)移，其中的單個(gè)物體機(jī)械能不一定守恒。
(2)合外力所做的功等于零，或者合外力等于零時(shí)，機(jī)械能不一定守恒。
(3)對(duì)于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說(shuō)明，否則機(jī)械能必定不守恒。
考向二 非質(zhì)點(diǎn)類物體機(jī)械能守恒
繩索，鏈條類物體的機(jī)械能守恒問(wèn)題
“繩(考慮重力)”“鏈條”“過(guò)山車”等類物體，它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中將發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理．
物體雖然不能看成質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守恒．一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置及其高度變化量，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的減少量等于動(dòng)能的增加量列式求解．
像“液柱”“鏈條”“過(guò)山車”類物體，在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理了。
【典例3】(2022·貴州安順調(diào)研)一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個(gè)質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端，如圖b、圖c所示，約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當(dāng)整根鏈條剛離開(kāi)桌面時(shí)，設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc，則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系，下列判斷中正確的是( )
A．va＝vb＝vc B．vavb D．va>vb>vc
【答案】C
【解析】設(shè)桌面下方L處為零勢(shì)能面。鏈條由靜止釋放之后，到整根剛離開(kāi)桌面，由于桌面無(wú)摩擦，對(duì)三種情況，則釋放前，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為：圖a中，Ep1＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＝eq \f(7,8)mgL，圖b中，Ep2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m＋m))gL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＝eq \f(15mgL,8)，圖c中，Ep3＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＋mg·eq \f(L,2)＝eq \f(11,8)mgL。釋放后，整根鏈條剛離開(kāi)桌面時(shí)，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為：圖a中，Ep1′＝mgeq \f(L,2)，圖b中，Ep2′＝mgL＋mg·eq \f(L,2)＝eq \f(3,2)mgL，圖c中，Ep3′＝eq \f(1,2)mgL。則系統(tǒng)損失的重力勢(shì)能ΔEp1＝eq \f(3,8)mgL，ΔEp2＝eq \f(3,8)mgL，ΔEp3＝eq \f(7,8)mgL，而ΔEp1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，ΔEp2＝eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,b)，ΔEp3＝eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,c)，解得：veq \\al(2,a)＝eq \f(3,4)gL，veq \\al(2,b)＝eq \f(3,8)gL，veq \\al(2,c)＝eq \f(7,8)gL，顯然veq \\al(2,c)>veq \\al(2,a)>veq \\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正確。
【典例4】(多選)(2022·河北張家口質(zhì)檢)內(nèi)徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內(nèi)裝水，底部閥門(mén)K關(guān)閉時(shí)兩側(cè)水面高度分別為h1和h2，如圖所示。已知水的密度為ρ，不計(jì)水與筒壁的摩擦阻力。現(xiàn)把連接兩筒的閥門(mén)K打開(kāi)，當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，則該過(guò)程中
( )
A．水柱的重力做正功
B．大氣壓力對(duì)水柱做負(fù)功
C．水柱的機(jī)械能守恒
D．當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，水柱的動(dòng)能是eq \f(1,4)ρgS(h1－h(huán)2)2
【答案】ACD
【解析】把連接兩筒的閥門(mén)打開(kāi)到兩筒水面高度相等的過(guò)程中大氣壓力對(duì)左筒水面做正功，對(duì)右筒水面做負(fù)功，抵消為零。水柱的機(jī)械能守恒，重力做功等于重力勢(shì)能的減少量，等于水柱增加的動(dòng)能，等效于把左管高eq \f(h1－h(huán)2,2)的水柱移至右管，如圖中的斜線所示，重心下降eq \f(h1－h(huán)2,2)，重力所做正功：WG＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h(huán)2,2)))ρgS·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h(huán)2,2)))＝eq \f(1,4)ρgS(h1－h(huán)2)2，故A、C、D正確，B錯(cuò)誤。
練習(xí)3、(2022浙江寧波模擬)如圖所示，AB是半徑為R的四分之一圓弧軌道，軌道底端B點(diǎn)與一水平軌道BC相切，水平軌道又在C點(diǎn)與足夠長(zhǎng)的斜面軌道CD平滑連接，軌道B處有一擋板(厚度不計(jì))．在圓弧軌道上靜止擺放著N個(gè)半徑為r(r?R)的光滑剛性小球，恰好將AB軌道鋪滿，小球從A到B依次標(biāo)記為1、2、3、…、N號(hào)．現(xiàn)將B處擋板抽走，N個(gè)小球均開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，考慮小球從AB向CD運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是( )
A．N個(gè)小球在離開(kāi)圓弧軌道的過(guò)程中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．1號(hào)小球第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度一定小于eq \r(2gR)
C．1號(hào)小球第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的向心加速度大小一定等于2g
D．N號(hào)小球第一次沿CD斜面上升的最大高度為R
【答案】B
【解析】通過(guò)受力分析可知，AB軌道上的小球在下滑的過(guò)程中要做加速運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；若只有重力對(duì)1號(hào)小球做功，則在其運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得eq \f(1,2)mv2＝mgR，解得v＝eq \r(2gR)，但是1號(hào)小球在下滑過(guò)程中，始終受到二號(hào)小球?qū)λ膹椓?，該彈力?duì)它做負(fù)功，所以1號(hào)小球第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度v′mBg，則彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，設(shè)伸長(zhǎng)量為x，則有F＝kx＋mBg，代入數(shù)值得x＝0.1 m，即彈簧被拉長(zhǎng)了0.1 m。
(2)物理過(guò)程分析：在小球A由A→C過(guò)程中，小球A到O1間的距離逐漸減小，物體B向下運(yùn)動(dòng)，由于直線CO1與桿垂直，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，沿繩子方向的速度為0，即此時(shí)B的速度為0。小球A從桿頂端運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，對(duì)A由動(dòng)能定理得WF＋mAgh＝eq \f(1,2)mAvA2－0，小球A下降的高度h＝CO1cs 37°＝AO1sin 37°cs 37°＝0.24 m。這一過(guò)程中B下降的高度h′＝AO1－CO1＝0.2 m，由此可知彈簧被壓縮了0.1 m，則彈簧的彈性勢(shì)能在初、末狀態(tài)相同。由于此時(shí)vB＝0，以A、B和彈簧為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒有mAgh＋mBgh′＝eq \f(1,2)mAvA2。
解得WF＝mBgh′＝7 J。
(3)因桿長(zhǎng)L＝0.8 m，故∠CDO1＝θ＝37°，故DO1＝AO1，彈簧的伸長(zhǎng)量依然為0.1 m，與最初狀態(tài)相比彈簧的彈性勢(shì)能相同，物體B又回到了初始位置，其重力勢(shì)能也與最初狀態(tài)相同。在D點(diǎn)將A的速度沿繩和垂直繩分解，如圖所示，其中沿繩方向的分速度vx與B的速度相等，即vB′＝vx＝vA′cs 37°＝0.8vA′，由機(jī)械能守恒：mAgLsin 37°＝eq \f(1,2)mAvA′2＋eq \f(1,2)mBvB′2，代入數(shù)據(jù)得小球A運(yùn)動(dòng)到桿的底端D點(diǎn)時(shí)的速度
vA′＝2 m/s。
練習(xí)7、(多選)(2022·山東師范大學(xué)附中月考)如圖所示，一根輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)帶有孔的小球，小球套在固定的豎直光滑桿上，小球位于圖中的A點(diǎn)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的C點(diǎn)后，小球能運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)D點(diǎn)，OB垂直于桿，則下列結(jié)論正確的是( )
A．小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和可能增大
C．小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，重力對(duì)其做功的功率最大
D．小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能一定最大
【答案】AD
【解析】在B點(diǎn)時(shí)，小球的加速度為g，在BC間彈簧處于壓縮狀態(tài)，小球在豎直方向除受重力外還有彈簧彈力沿豎直方向向下的分力，所以小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正確；由機(jī)械能守恒定律可知，小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，小球做加速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)能增大，所以小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和一定減小，故B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由于彈簧的彈力為零，合力為重力G，所以小球從C點(diǎn)往下還會(huì)加速一段，所以小球在C點(diǎn)的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C錯(cuò)誤；D點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，即速度為零，彈簧形變量最大，所以小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，故D正確．
練習(xí)8、(2022·浙江溫州月考)如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過(guò)細(xì)線繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使細(xì)線剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行．已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為4m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放C后C沿斜面下滑，A剛離開(kāi)地面時(shí)，B獲得最大速度．求：
(1)斜面傾角α；
(2)B的最大速度v.
【答案】(1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
【解析】(1)當(dāng)物體A剛離開(kāi)地面時(shí)，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為xA，對(duì)A有kxA＝mg，
此時(shí)B受到重力mg、彈簧的彈力kxA、細(xì)線拉力FT
三個(gè)力的作用，設(shè)B的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)B有FT－mg－kxA＝ma，對(duì)C有4mgsin α－FT＝4ma，當(dāng)B獲得最大速度時(shí)，有a＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°.
(2)開(kāi)始時(shí)彈簧壓縮的長(zhǎng)度為xB＝eq \f(mg,k)，顯然xA＝xB.當(dāng)物體A剛離開(kāi)地面時(shí)，B上升的距離以及C沿斜面下滑的距離均為xA＋xB.由于xA＝xB，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能相等，而且物體A剛離開(kāi)地面時(shí)，B、C兩物體的速度相等，設(shè)為v，由機(jī)械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝eq \f(1,2)(4m＋m)v2，代入數(shù)值解得v＝2geq \r(\f(m,5k)).
1. (2022·湖南六校聯(lián)考)關(guān)于機(jī)械能守恒定律，下列說(shuō)法正確的是( )
A．物體所受合力為零，機(jī)械能一定守恒
B．物體所受合力不為零，機(jī)械能一定不守恒
C．只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力作用的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．系統(tǒng)機(jī)械能守恒，說(shuō)明系統(tǒng)只有動(dòng)能和重力勢(shì)能間轉(zhuǎn)化且機(jī)械能總量不變
2. (多選)(2022·廣東南海中學(xué)月考)如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上，若以地面為參考平面且不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．物體落到海平面時(shí)的重力勢(shì)能為mgh
B．物體從拋出到落到海平面的過(guò)程重力對(duì)物體做功為mgh
C．物體在海平面上的動(dòng)能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
D．物體在海平面上的機(jī)械能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
3．(2022·重慶高三模擬)一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B。支架的兩直角邊長(zhǎng)度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。開(kāi)始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，重力加速度為g，則( )
A．A球的最大速度為2eq \r(gl)
B．A球的速度最大時(shí)，兩小球的總重力勢(shì)能最小
C．A球第一次轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直方向的夾角為45°時(shí)，A球的速度大小為eq \r(\f(8?\r(2)＋1?gl,3))
D．A、B兩球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
4．(多選)(2022寧波調(diào)研)某娛樂(lè)項(xiàng)目中，參與者拋出一小球去撞擊觸發(fā)器，從而進(jìn)入下一關(guān)，現(xiàn)在將這個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目進(jìn)行簡(jiǎn)化，假設(shè)參與者從觸發(fā)器的正下方以速率v豎直上拋一小球，小球恰好擊中觸發(fā)器，若參與者仍在剛才的拋出點(diǎn)，沿A、B、C、D四個(gè)不同的光滑軌道分別以速率v拋出小球，如圖所示．則小球能夠擊中觸發(fā)器的可能是( )
5．(2022·浙江溫州月考)如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時(shí)，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
6.(多選)(2022·福建三明一中高三月考)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過(guò)光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m。與定滑輪等高的A點(diǎn)和定滑輪之間的距離d＝3 m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略?，F(xiàn)將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)速度為0，重力加速度取g＝10 m/s2，則下列說(shuō)法正確的是(sin53°＝0.8，cs53°＝0.6)( )
A．A、C間距離為4 m
B．小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)
C．小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能始終等于物塊增加的機(jī)械能
D．當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時(shí)，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1
7．(多選)(2022·吉林調(diào)研)重10 N的滑塊在傾角為30°的光滑斜面上，從a點(diǎn)由靜止下滑，到b點(diǎn)接觸到一個(gè)輕彈簧，滑塊壓縮彈簧到c點(diǎn)開(kāi)始彈回，返回b點(diǎn)離開(kāi)彈簧，最后又回到a點(diǎn)，已知ab＝0.7 m，bc＝0.5 m，那么在整個(gè)過(guò)程中( )
A．滑塊動(dòng)能的最大值是6 J
B．彈簧彈性勢(shì)能的最大值是6 J
C．從c到b彈簧的彈力對(duì)滑塊做的功是6 J
D．整個(gè)過(guò)程滑塊與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
8.(多選)(2022·廣東深圳高三測(cè)試)如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長(zhǎng)為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)．圖中AO水平，BO間連線長(zhǎng)度恰好與彈簧原長(zhǎng)相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°.現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有( )
A．下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒
B．小球滑到B點(diǎn)時(shí)的加速度大小為eq \f(\r(3),2)g
C．小球下滑到B點(diǎn)時(shí)速度最大
D．小球下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq \r(2gl0)
9、(多選)(2022·吉林調(diào)研)如圖所示，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g，則( )
A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功
B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq \r(2gh)
C．a(chǎn)下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于g
D．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg
10、(2022·河北衡水中學(xué)高三月考)如圖所示，在傾角為θ＝30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200 N/m的輕質(zhì)彈簧一端固定在擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4 kg的物體A，一輕細(xì)繩通過(guò)定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細(xì)繩與斜面平行，斜面足夠長(zhǎng)，B距地面足夠高．用手托住物體B使繩子剛好伸直且沒(méi)有拉力，然后由靜止釋放．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)細(xì)繩上的拉力大?。?br>(2)物體A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)時(shí)獲得最大速度；
(3)物體A的最大速度的大?。?br>1.(2022·山東德州月考)以下對(duì)機(jī)械能守恒的理解，正確的是( )
A．如果機(jī)械能只在系統(tǒng)內(nèi)部物體間轉(zhuǎn)移，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
B．如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
C．如果物體受力平衡，則物體與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
D．如果外力對(duì)一個(gè)系統(tǒng)所做的功為0，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
2、(2022·河北衡水中學(xué)高三月考)如圖所示，將一個(gè)內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一豎直墻壁．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開(kāi)始下落，小球從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功
B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球處于失重狀態(tài)
C．小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．小球從下落到從右側(cè)離開(kāi)槽的過(guò)程中機(jī)械能守恒
3. (2022·山東青島月考)一輕繩系住一質(zhì)量為m的小球懸掛在O點(diǎn)，在最低點(diǎn)先給小球一水平初速度，小球恰能在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，若在水平半徑OP的中點(diǎn)A處釘一枚光滑的釘子，仍在最低點(diǎn)給小球同樣的初速度，則小球向上通過(guò)P點(diǎn)后將繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)N時(shí)繩子的拉力大小為( )
A．0 B．2mg
C．3mg D．4mg
4．(2022安徽皖南八校第一次聯(lián)考)(多選)如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直面內(nèi)，質(zhì)量均為m的兩球用輕桿連接套在圓環(huán)上，開(kāi)始時(shí)輕桿豎直并同時(shí)由靜止釋放兩球，當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到B開(kāi)始的位置時(shí)，輕桿剛好水平，重力加速度為g，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到輕桿水平的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是( )
A．小球A、B的機(jī)械能均保持守恒
B．小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．輕桿對(duì)小球A做的功為0
D．輕桿對(duì)小球B做的功為eq \f(\r(2),2)mgR
5．(2022安徽名校聯(lián)考)如圖所示，豎直平面內(nèi)固定著一光滑的直角桿，水平桿和豎直桿上分別套有質(zhì)量為mP＝0.8 kg和mQ＝0.9 kg的小球P和Q，兩球用不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，開(kāi)始時(shí)輕繩水平伸直．小球Q由頂角位置O處?kù)o止釋放，當(dāng)輕繩與水平桿的夾角θ＝37°時(shí)，小球P的速度為3 m/s.已知兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)．重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，則連接P、Q的輕繩長(zhǎng)度為( )

A．0.8 m B．1.2 m
C．2.0 m D．2.5 m
6．(多選)(2021年8省聯(lián)考·河北卷)如圖，一頂角為直角的“”形光滑細(xì)桿豎直放置。質(zhì)量均為m的兩金屬環(huán)套在細(xì)桿上，高度相同，用一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧處于原長(zhǎng)l0。兩金屬環(huán)同時(shí)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧的伸長(zhǎng)在彈性限度內(nèi)。對(duì)其中一個(gè)金屬環(huán)，下列說(shuō)法正確的是[彈簧的長(zhǎng)度為l時(shí)彈性勢(shì)能為eq \f(1,2)k(l－l0)2]( )
A．金屬環(huán)的最大加速度為eq \r(2)g
B．金屬環(huán)的最大速度為g eq \r(\f(m,2k))
C．金屬環(huán)與細(xì)桿之間的最大壓力為eq \f(3\r(2),2)mg
D．金屬環(huán)達(dá)到最大速度時(shí)重力的功率為mg2eq \r(\f(m,2k))
7、(多選)(2022吉林長(zhǎng)春檢測(cè))如圖所示，質(zhì)量為m的物體P套在固定的光滑水平桿上．輕繩跨過(guò)光滑的滑輪O和O′，一端與物體P相連，另一端與質(zhì)量同為m的物體Q相連，用手托住物體Q使整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)輕繩剛好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABveq \\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正確。
【典例4】(多選)(2022·河北張家口質(zhì)檢)內(nèi)徑面積為S的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內(nèi)裝水，底部閥門(mén)K關(guān)閉時(shí)兩側(cè)水面高度分別為h1和h2，如圖所示。已知水的密度為ρ，不計(jì)水與筒壁的摩擦阻力?，F(xiàn)把連接兩筒的閥門(mén)K打開(kāi)，當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，則該過(guò)程中
( )
A．水柱的重力做正功
B．大氣壓力對(duì)水柱做負(fù)功
C．水柱的機(jī)械能守恒
D．當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，水柱的動(dòng)能是eq \f(1,4)ρgS(h1－h(huán)2)2
【答案】ACD
【解析】把連接兩筒的閥門(mén)打開(kāi)到兩筒水面高度相等的過(guò)程中大氣壓力對(duì)左筒水面做正功，對(duì)右筒水面做負(fù)功，抵消為零。水柱的機(jī)械能守恒，重力做功等于重力勢(shì)能的減少量，等于水柱增加的動(dòng)能，等效于把左管高eq \f(h1－h(huán)2,2)的水柱移至右管，如圖中的斜線所示，重心下降eq \f(h1－h(huán)2,2)，重力所做正功：WG＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h(huán)2,2)))ρgS·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h(huán)2,2)))＝eq \f(1,4)ρgS(h1－h(huán)2)2，故A、C、D正確，B錯(cuò)誤。
練習(xí)3、(2022浙江寧波模擬)如圖所示，AB是半徑為R的四分之一圓弧軌道，軌道底端B點(diǎn)與一水平軌道BC相切，水平軌道又在C點(diǎn)與足夠長(zhǎng)的斜面軌道CD平滑連接，軌道B處有一擋板(厚度不計(jì))．在圓弧軌道上靜止擺放著N個(gè)半徑為r(r?R)的光滑剛性小球，恰好將AB軌道鋪滿，小球從A到B依次標(biāo)記為1、2、3、…、N號(hào)．現(xiàn)將B處擋板抽走，N個(gè)小球均開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，考慮小球從AB向CD運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是( )
A．N個(gè)小球在離開(kāi)圓弧軌道的過(guò)程中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．1號(hào)小球第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度一定小于eq \r(2gR)
C．1號(hào)小球第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的向心加速度大小一定等于2g
D．N號(hào)小球第一次沿CD斜面上升的最大高度為R
【答案】B
【解析】通過(guò)受力分析可知，AB軌道上的小球在下滑的過(guò)程中要做加速運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；若只有重力對(duì)1號(hào)小球做功，則在其運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得eq \f(1,2)mv2＝mgR，解得v＝eq \r(2gR)，但是1號(hào)小球在下滑過(guò)程中，始終受到二號(hào)小球?qū)λ膹椓?，該彈力?duì)它做負(fù)功，所以1號(hào)小球第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度v′mBg，則彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，設(shè)伸長(zhǎng)量為x，則有F＝kx＋mBg，代入數(shù)值得x＝0.1 m，即彈簧被拉長(zhǎng)了0.1 m。
(2)物理過(guò)程分析：在小球A由A→C過(guò)程中，小球A到O1間的距離逐漸減小，物體B向下運(yùn)動(dòng)，由于直線CO1與桿垂直，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，沿繩子方向的速度為0，即此時(shí)B的速度為0。小球A從桿頂端運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，對(duì)A由動(dòng)能定理得WF＋mAgh＝eq \f(1,2)mAvA2－0，小球A下降的高度h＝CO1cs 37°＝AO1sin 37°cs 37°＝0.24 m。這一過(guò)程中B下降的高度h′＝AO1－CO1＝0.2 m，由此可知彈簧被壓縮了0.1 m，則彈簧的彈性勢(shì)能在初、末狀態(tài)相同。由于此時(shí)vB＝0，以A、B和彈簧為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒有mAgh＋mBgh′＝eq \f(1,2)mAvA2。
解得WF＝mBgh′＝7 J。
(3)因桿長(zhǎng)L＝0.8 m，故∠CDO1＝θ＝37°，故DO1＝AO1，彈簧的伸長(zhǎng)量依然為0.1 m，與最初狀態(tài)相比彈簧的彈性勢(shì)能相同，物體B又回到了初始位置，其重力勢(shì)能也與最初狀態(tài)相同。在D點(diǎn)將A的速度沿繩和垂直繩分解，如圖所示，其中沿繩方向的分速度vx與B的速度相等，即vB′＝vx＝vA′cs 37°＝0.8vA′，由機(jī)械能守恒：mAgLsin 37°＝eq \f(1,2)mAvA′2＋eq \f(1,2)mBvB′2，代入數(shù)據(jù)得小球A運(yùn)動(dòng)到桿的底端D點(diǎn)時(shí)的速度
vA′＝2 m/s。
練習(xí)7、(多選)(2022·山東師范大學(xué)附中月考)如圖所示，一根輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一個(gè)帶有孔的小球，小球套在固定的豎直光滑桿上，小球位于圖中的A點(diǎn)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)將小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱的C點(diǎn)后，小球能運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)D點(diǎn)，OB垂直于桿，則下列結(jié)論正確的是( )
A．小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和可能增大
C．小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，重力對(duì)其做功的功率最大
D．小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能一定最大
【答案】AD
【解析】在B點(diǎn)時(shí)，小球的加速度為g，在BC間彈簧處于壓縮狀態(tài)，小球在豎直方向除受重力外還有彈簧彈力沿豎直方向向下的分力，所以小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正確；由機(jī)械能守恒定律可知，小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，小球做加速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)能增大，所以小球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和一定減小，故B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由于彈簧的彈力為零，合力為重力G，所以小球從C點(diǎn)往下還會(huì)加速一段，所以小球在C點(diǎn)的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C錯(cuò)誤；D點(diǎn)為小球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，即速度為零，彈簧形變量最大，所以小球在D點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大，故D正確．
練習(xí)8、(2022·浙江溫州月考)如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上，B、C兩物體通過(guò)細(xì)線繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使細(xì)線剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行．已知A、B的質(zhì)量均為m，C的質(zhì)量為4m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放C后C沿斜面下滑，A剛離開(kāi)地面時(shí)，B獲得最大速度．求：
(1)斜面傾角α；
(2)B的最大速度v.
【答案】(1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
【解析】(1)當(dāng)物體A剛離開(kāi)地面時(shí)，設(shè)彈簧的伸長(zhǎng)量為xA，對(duì)A有kxA＝mg，
此時(shí)B受到重力mg、彈簧的彈力kxA、細(xì)線拉力FT
三個(gè)力的作用，設(shè)B的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)B有FT－mg－kxA＝ma，對(duì)C有4mgsin α－FT＝4ma，當(dāng)B獲得最大速度時(shí)，有a＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°.
(2)開(kāi)始時(shí)彈簧壓縮的長(zhǎng)度為xB＝eq \f(mg,k)，顯然xA＝xB.當(dāng)物體A剛離開(kāi)地面時(shí)，B上升的距離以及C沿斜面下滑的距離均為xA＋xB.由于xA＝xB，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能相等，而且物體A剛離開(kāi)地面時(shí)，B、C兩物體的速度相等，設(shè)為v，由機(jī)械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝eq \f(1,2)(4m＋m)v2，代入數(shù)值解得v＝2geq \r(\f(m,5k)).
1. (2022·湖南六校聯(lián)考)關(guān)于機(jī)械能守恒定律，下列說(shuō)法正確的是( )
A．物體所受合力為零，機(jī)械能一定守恒
B．物體所受合力不為零，機(jī)械能一定不守恒
C．只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力作用的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．系統(tǒng)機(jī)械能守恒，說(shuō)明系統(tǒng)只有動(dòng)能和重力勢(shì)能間轉(zhuǎn)化且機(jī)械能總量不變
【答案】 C
【解析】物體所受合力為零，可能有除了重力以外的力做功，如物體勻速下降，機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；物體所受的合力不等于零，它的機(jī)械能可能守恒，例如物體自由下落，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；系統(tǒng)內(nèi)如果只受重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力作用，即只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，沒(méi)有其他力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)C正確；系統(tǒng)機(jī)械能守恒，說(shuō)明系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能間轉(zhuǎn)化且機(jī)械能總量不變，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
2. (多選)(2022·廣東南海中學(xué)月考)如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上，若以地面為參考平面且不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．物體落到海平面時(shí)的重力勢(shì)能為mgh
B．物體從拋出到落到海平面的過(guò)程重力對(duì)物體做功為mgh
C．物體在海平面上的動(dòng)能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
D．物體在海平面上的機(jī)械能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
【答案】BCD
【解析】物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，所以任意一點(diǎn)的機(jī)械能相等，都等于拋出時(shí)的機(jī)械能，物體在地面上的重力勢(shì)能為零，動(dòng)能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，故整個(gè)過(guò)程中的機(jī)械能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，所以物體在海平面上的機(jī)械能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，在海平面上的重力勢(shì)能為－mgh，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得－mgh＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，所以物體在海平面上的動(dòng)能為eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh，從拋出點(diǎn)到落到海平面，重力做功為mgh，所以B、C、D三項(xiàng)正確，A項(xiàng)錯(cuò)誤。
3．(2022·重慶高三模擬)一質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為m和2m的小球A和B。支架的兩直角邊長(zhǎng)度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。開(kāi)始時(shí)OA邊處于水平位置，由靜止釋放，重力加速度為g，則( )
A．A球的最大速度為2eq \r(gl)
B．A球的速度最大時(shí)，兩小球的總重力勢(shì)能最小
C．A球第一次轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直方向的夾角為45°時(shí)，A球的速度大小為eq \r(\f(8?\r(2)＋1?gl,3))
D．A、B兩球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
【答案】B
【解析】根據(jù)題意知無(wú)論何時(shí)兩球的角速度均相同，線速度大小之比均為vA∶vB＝2∶1，D錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒可知，A球的速度最大時(shí)，二者的動(dòng)能最大，此時(shí)兩球總重力勢(shì)能最小，B正確；當(dāng)OA與豎直方向的夾角為θ時(shí)，由機(jī)械能守恒得mg·2lcs θ－2mg·l(1－sin θ)＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)×2mvB2，解得vA2＝eq \f(8,3)gl(sin θ＋cs θ)－eq \f(8,3)gl，由數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)θ＝45°時(shí)，sin θ＋cs θ有最大值，最大值為vA＝eq \r(\f(8?\r(2)－1?gl,3))，A、C錯(cuò)誤。
4．(多選)(2022寧波調(diào)研)某娛樂(lè)項(xiàng)目中，參與者拋出一小球去撞擊觸發(fā)器，從而進(jìn)入下一關(guān)，現(xiàn)在將這個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目進(jìn)行簡(jiǎn)化，假設(shè)參與者從觸發(fā)器的正下方以速率v豎直上拋一小球，小球恰好擊中觸發(fā)器，若參與者仍在剛才的拋出點(diǎn)，沿A、B、C、D四個(gè)不同的光滑軌道分別以速率v拋出小球，如圖所示．則小球能夠擊中觸發(fā)器的可能是( )
【答案】CD
【解析】豎直上拋時(shí)小球恰好擊中觸發(fā)器，則由－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2，h＝2R得v＝2eq \r(gR)，沿圖A中軌道以速率v拋出小球，小球沿光滑圓弧內(nèi)表面做圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)的速率應(yīng)大于或等于eq \r(gR)，所以小球不能到達(dá)圓弧最高點(diǎn)，即不能擊中觸發(fā)器．沿圖B中軌道以速率v拋出小球，小球沿光滑斜面上滑一段后做斜拋運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)具有水平方向的速度，所以也不能擊中觸發(fā)器．圖C及圖D中小球在軌道最高點(diǎn)速度均可以為零，由機(jī)械能守恒定律可知小球能夠擊中觸發(fā)器．
5．(2022·浙江溫州月考)如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面上時(shí)，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
【答案】C
【解析】設(shè)B球質(zhì)量為m，則A球質(zhì)量為2m，A球剛落地時(shí)，兩球速度大小都為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，得v2＝eq \f(2,3)gR，B球繼續(xù)上升的高度h＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(R,3)，B球上升的最大高度為h＋R＝eq \f(4,3)R，故選C.
6.(多選)(2022·福建三明一中高三月考)如圖所示，質(zhì)量為m的小環(huán)(可視為質(zhì)點(diǎn))套在固定的光滑豎直桿上，一足夠長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕繩一端與小環(huán)相連，另一端跨過(guò)光滑的定滑輪與質(zhì)量為M的物塊相連，已知M＝2m。與定滑輪等高的A點(diǎn)和定滑輪之間的距離d＝3 m，定滑輪大小及質(zhì)量可忽略?，F(xiàn)將小環(huán)從A點(diǎn)由靜止釋放，小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)速度為0，重力加速度取g＝10 m/s2，則下列說(shuō)法正確的是(sin53°＝0.8，cs53°＝0.6)( )
A．A、C間距離為4 m
B．小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)
C．小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能始終等于物塊增加的機(jī)械能
D．當(dāng)小環(huán)下滑至繩與桿的夾角為60°時(shí)，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1
【答案】AD
【解析】小環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得mgLAC＝Mg(eq \r(d2＋L\\al(2,AC))－d)，解得LAC＝4 m，故A項(xiàng)正確；由幾何關(guān)系知，小環(huán)在C點(diǎn)時(shí)輕繩與水平方向的夾角為53°，假設(shè)小環(huán)最終靜止在C點(diǎn)，則繩中的拉力大小等于2mg，在C點(diǎn)對(duì)小環(huán)有FT＝eq \f(mg,sin53°)＝eq \f(5,4)mg≠2mg，所以假設(shè)不成立，小環(huán)不能靜止在C點(diǎn)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律可知，小環(huán)下落過(guò)程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊增加的機(jī)械能和小環(huán)增加的動(dòng)能，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；將小環(huán)的速度沿繩和垂直繩方向分解，沿繩方向的速度即為物塊的速度vM＝vmcs60°，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，小環(huán)與物塊的動(dòng)能之比為2∶1，故D項(xiàng)正確。
7．(多選)(2022·吉林調(diào)研)重10 N的滑塊在傾角為30°的光滑斜面上，從a點(diǎn)由靜止下滑，到b點(diǎn)接觸到一個(gè)輕彈簧，滑塊壓縮彈簧到c點(diǎn)開(kāi)始彈回，返回b點(diǎn)離開(kāi)彈簧，最后又回到a點(diǎn)，已知ab＝0.7 m，bc＝0.5 m，那么在整個(gè)過(guò)程中( )
A．滑塊動(dòng)能的最大值是6 J
B．彈簧彈性勢(shì)能的最大值是6 J
C．從c到b彈簧的彈力對(duì)滑塊做的功是6 J
D．整個(gè)過(guò)程滑塊與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
【答案】BCD
【解析】以滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在滑塊的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只發(fā)生動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，D正確；滑塊從a到c重力勢(shì)能減少了G(ab＋bc)sin 30°＝6 J，全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，B正確；以c點(diǎn)所在水平面為參考平面，系統(tǒng)的機(jī)械能為6 J，滑塊動(dòng)能最大時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)，A錯(cuò)誤；從c到b彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，彈簧的彈力對(duì)滑塊做功，將6 J的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為滑塊的機(jī)械能，C正確．
8.(多選)(2022·廣東深圳高三測(cè)試)如圖所示，質(zhì)量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長(zhǎng)為l0的輕質(zhì)彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內(nèi)．圖中AO水平，BO間連線長(zhǎng)度恰好與彈簧原長(zhǎng)相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°.現(xiàn)讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有( )
A．下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒
B．小球滑到B點(diǎn)時(shí)的加速度大小為eq \f(\r(3),2)g
C．小球下滑到B點(diǎn)時(shí)速度最大
D．小球下滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為eq \r(2gl0)
【答案】BD
【解析】下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能會(huì)與彈簧的彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，因此小球的機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樵贐點(diǎn)，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，因此重力沿桿的分力提供加速度，根據(jù)牛頓第二定律可得mgcs 30°＝ma，解得a＝eq \f(\r(3),2)g，故B正確；到達(dá)B點(diǎn)時(shí)加速度與速度方向相同，因此小球還會(huì)加速，故C錯(cuò)誤；因?yàn)镃是AO′段的中點(diǎn)，θ＝30°，所以當(dāng)小球到C點(diǎn)時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度與在A點(diǎn)時(shí)相同，故在A、C兩位置彈簧彈性勢(shì)能相等，小球重力做的功全部轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，所以得mgl0＝eq \f(1,2)mvC2，解得vC＝eq \r(2gl0)，故D正確．
9、(多選)(2022·吉林調(diào)研)如圖所示，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g，則( )
A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功
B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq \r(2gh)
C．a(chǎn)下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于g
D．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg
【答案】BD
【解析】設(shè)桿與豎直方向夾角為θ，某一時(shí)刻a、b速度分別為va、vb，則vacs θ＝vbsin θ.當(dāng)a落到地面時(shí)，θ＝90°，cs θ＝0，故vb為0，可知a下落過(guò)程中b先加速后減速，輕桿對(duì)b先做正功后做負(fù)功，A錯(cuò)誤．輕桿對(duì)a的作用力先為支持力后為拉力，故a的加速度先小于g后大于g，C錯(cuò)誤．由于a、b系統(tǒng)只有重力和系統(tǒng)內(nèi)桿的彈力做功，故a、b機(jī)械能守恒，a落地時(shí)b速度為零，由機(jī)械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，得va＝eq \r(2gh)，B正確．當(dāng)a機(jī)械能最小時(shí)，b的機(jī)械能最大，即動(dòng)能最大，此時(shí)F桿＝0，故FN＝mg，D正確．
10、(2022·河北衡水中學(xué)高三月考)如圖所示，在傾角為θ＝30°的光滑斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200 N/m的輕質(zhì)彈簧一端固定在擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4 kg的物體A，一輕細(xì)繩通過(guò)定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的物體B相連，細(xì)繩與斜面平行，斜面足夠長(zhǎng)，B距地面足夠高．用手托住物體B使繩子剛好伸直且沒(méi)有拉力，然后由靜止釋放．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)細(xì)繩上的拉力大?。?br>(2)物體A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)時(shí)獲得最大速度；
(3)物體A的最大速度的大?。?br>【答案】 (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
【解析】(1)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，
對(duì)B：mg－FT＝ma
對(duì)A：FT－mgsin 30°＝ma
代入數(shù)據(jù)可求得：FT＝30 N.
(2)初態(tài)彈簧壓縮量x1＝eq \f(mgsin 30°,k)＝10 cm
當(dāng)A速度最大時(shí)有FT′＝mg＝kx2＋mgsin 30°
彈簧伸長(zhǎng)量x2＝eq \f(mg－mgsin 30°,k)＝10 cm
所以A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)x1＋x2＝20 cm時(shí)獲得最大速度．
(3)因x1＝x2，
故彈簧彈性勢(shì)能的改變量ΔEp＝0
由機(jī)械能守恒定律有
mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝eq \f(1,2)×2mv2
解得v＝1 m/s.
1.(2022·山東德州月考)以下對(duì)機(jī)械能守恒的理解，正確的是( )
A．如果機(jī)械能只在系統(tǒng)內(nèi)部物體間轉(zhuǎn)移，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
B．如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
C．如果物體受力平衡，則物體與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
D．如果外力對(duì)一個(gè)系統(tǒng)所做的功為0，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒
【答案】B
【解析】如果系統(tǒng)內(nèi)部只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，不發(fā)生機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)機(jī)械能一定守恒，A錯(cuò)誤，B正確；如果物體受力平衡，勻速上升，動(dòng)能不變，但是重力勢(shì)能增大，機(jī)械能不守恒，C錯(cuò)誤；如果外力對(duì)一個(gè)系統(tǒng)所做的功為0，說(shuō)明是動(dòng)能不變，但是機(jī)械能可能變化，比如物體勻速上升，動(dòng)能不變，但是重力勢(shì)能增大，機(jī)械能不守恒，D錯(cuò)誤。
2、(2022·河北衡水中學(xué)高三月考)如圖所示，將一個(gè)內(nèi)外側(cè)均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側(cè)有一豎直墻壁．現(xiàn)讓一小球自左端槽口A點(diǎn)的正上方由靜止開(kāi)始下落，小球從A點(diǎn)與半圓形槽相切進(jìn)入槽內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．小球在半圓形槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中，只有重力對(duì)它做功
B．小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球處于失重狀態(tài)
C．小球從A點(diǎn)經(jīng)最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
D．小球從下落到從右側(cè)離開(kāi)槽的過(guò)程中機(jī)械能守恒
【答案】C
【解析】小球從A點(diǎn)向半圓形槽的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，半圓形槽有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，但實(shí)際上沒(méi)有動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)中只有重力做功，所以小球與槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒；小球過(guò)了半圓形槽的最低點(diǎn)以后，半圓形槽向右運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)沒(méi)有其他形式的能量產(chǎn)生，滿足機(jī)械能守恒的條件，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒；小球從A點(diǎn)至到達(dá)槽最低點(diǎn)過(guò)程中，小球先失重，后超重；小球由最低點(diǎn)向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，半圓形槽也向右移動(dòng)，半圓形槽對(duì)小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能不守恒，故選項(xiàng)C正確．
3. (2022·山東青島月考)一輕繩系住一質(zhì)量為m的小球懸掛在O點(diǎn)，在最低點(diǎn)先給小球一水平初速度，小球恰能在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，若在水平半徑OP的中點(diǎn)A處釘一枚光滑的釘子，仍在最低點(diǎn)給小球同樣的初速度，則小球向上通過(guò)P點(diǎn)后將繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)N時(shí)繩子的拉力大小為( )
A．0 B．2mg
C．3mg D．4mg
【答案】 C
【解析】小球恰能在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)有mg＝eq \f(mv2,R)，解得v＝eq \r(gR)，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律可知eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2，解得初速度v0＝eq \r(5gR)；若在水平半徑OP的中點(diǎn)A處釘一枚光滑的釘子，設(shè)小球到最高點(diǎn)N時(shí)速度為v′，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(3,2)mgR＋eq \f(1,2)mv′2，根據(jù)向心力公式有T＋mg＝eq \f(mv′2,\f(R,2))，聯(lián)立解得T＝3mg，故C正確。
4．(2022安徽皖南八校第一次聯(lián)考)(多選)如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直面內(nèi)，質(zhì)量均為m的兩球用輕桿連接套在圓環(huán)上，開(kāi)始時(shí)輕桿豎直并同時(shí)由靜止釋放兩球，當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到B開(kāi)始的位置時(shí)，輕桿剛好水平，重力加速度為g，則從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到輕桿水平的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是( )
A．小球A、B的機(jī)械能均保持守恒
B．小球A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．輕桿對(duì)小球A做的功為0
D．輕桿對(duì)小球B做的功為eq \f(\r(2),2)mgR
【答案】BD
【解析】由于圓環(huán)是光滑的，因此對(duì)于A、B組成的系統(tǒng)，只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，B正確；當(dāng)桿水平時(shí)，設(shè)A、B兩球的速度均為v，由題意可知，A球下落的高度h＝eq \r(2)R，則對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)能定理有mg×eq \r(2)R＝eq \f(1,2)×2mv2，則v＝eq \r(\r(2)gR)，因此從開(kāi)始到輕桿水平時(shí)，B球的機(jī)械能增加，則A球的機(jī)械能減少，根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)A球有mgh＋W1＝eq \f(1,2)mv2，解得W1＝－eq \f(\r(2),2)mgR，A、C錯(cuò)誤；對(duì)B球，根據(jù)動(dòng)能定理得W2＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(\r(2),2)mgR，D正確．
5．(2022安徽名校聯(lián)考)如圖所示，豎直平面內(nèi)固定著一光滑的直角桿，水平桿和豎直桿上分別套有質(zhì)量為mP＝0.8 kg和mQ＝0.9 kg的小球P和Q，兩球用不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，開(kāi)始時(shí)輕繩水平伸直．小球Q由頂角位置O處?kù)o止釋放，當(dāng)輕繩與水平桿的夾角θ＝37°時(shí)，小球P的速度為3 m/s.已知兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)．重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，則連接P、Q的輕繩長(zhǎng)度為( )

A．0.8 m B．1.2 m
C．2.0 m D．2.5 m
【答案】C
【解析】將小球P和Q的速度分解為沿繩的方向和垂直于繩的方向，兩小球沿繩子方向的速度相等，vPcs 37°＝vQcs 53°，解得vQ＝eq \f(4,3)vP＝4 m/s.兩小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則mQgh＝eq \f(1,2)mPveq \\al(2,P)＋eq \f(1,2)mQveq \\al(2,Q)，連接P、Q的繩長(zhǎng)l＝eq \f(h,sin 37°)，聯(lián)立解得l＝2 m，選項(xiàng)C正確．
6．(多選)(2021年8省聯(lián)考·河北卷)如圖，一頂角為直角的“”形光滑細(xì)桿豎直放置。質(zhì)量均為m的兩金屬環(huán)套在細(xì)桿上，高度相同，用一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧處于原長(zhǎng)l0。兩金屬環(huán)同時(shí)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧的伸長(zhǎng)在彈性限度內(nèi)。對(duì)其中一個(gè)金屬環(huán)，下列說(shuō)法正確的是[彈簧的長(zhǎng)度為l時(shí)彈性勢(shì)能為eq \f(1,2)k(l－l0)2]( )
A．金屬環(huán)的最大加速度為eq \r(2)g
B．金屬環(huán)的最大速度為g eq \r(\f(m,2k))
C．金屬環(huán)與細(xì)桿之間的最大壓力為eq \f(3\r(2),2)mg
D．金屬環(huán)達(dá)到最大速度時(shí)重力的功率為mg2eq \r(\f(m,2k))
【答案】BC
【解析】剛釋放時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，彈力為0，所以金屬環(huán)的最大加速度為am＝gsin 45°＝eq \f(\r(2),2)g，故A錯(cuò)誤；設(shè)平衡位置彈簧的伸長(zhǎng)量為x1，根據(jù)平衡條件，沿桿方向有mgsin 45°＝kx1cs 45°，由機(jī)械能守恒定律得2mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)))＝eq \f(1,2)kx12＋eq \f(1,2)(2m)v02，解得金屬環(huán)的最大速度為v0＝geq \r(\f(m,2k))，金屬環(huán)達(dá)到最大速度時(shí)重力的功率為P＝mgv0cs 45°＝eq \f(mg2,2)eq \r(\f(m,k))，故B正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)金屬環(huán)下落到最低點(diǎn)，金屬環(huán)速度為0，金屬環(huán)與細(xì)桿之間的壓力最大。設(shè)此時(shí)彈簧的形變量為x2，由機(jī)械能守恒定律得2mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)))＝eq \f(1,2)kx22，對(duì)金屬環(huán)進(jìn)行受力分析，垂直于桿方向有FN＝mgcs 45°＋kx2sin 45°，解得金屬環(huán)與細(xì)桿之間的最大壓力為FN＝eq \f(3\r(2),2)mg，故C正確。
7、(多選)(2022吉林長(zhǎng)春檢測(cè))如圖所示，質(zhì)量為m的物體P套在固定的光滑水平桿上．輕繩跨過(guò)光滑的滑輪O和O′，一端與物體P相連，另一端與質(zhì)量同為m的物體Q相連，用手托住物體Q使整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)輕繩剛好拉直，且AO＝L，OB＝h，AB

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