1．為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，倡導健康生活方式，某中學本學期開設了校本課程“八段錦”，為了解同學們對該課程的滿意度，在全校的1500名學生中隨機抽取了100名學生對該課程的滿意程度打分，下列說法正確的是（ ）
A．此次調查屬于全面調查B．總體是100名學生
C．樣本是抽取的100名學生所打的分數(shù)D．個體是被抽取的每一名學生
2．下列式子的變形正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某中學計劃在生物園栽72棵樹，開工后每天比原計劃多栽2棵，結果提前3天完成任務，問原計劃每天栽幾棵？設原計劃栽x棵，則（ ）
A．=+3B．=﹣3C．=+3D．=﹣3
4．下列整數(shù)中，與最接近的是
A．4B．5C．6D．7
5．如圖，在中，對角線、相交于點O，過點O作交于點E，連接．若的周長為20，則的周長為（ ）
A．5B．10C．15D．20
6．如圖，正方形和正方形的對稱中心都是點，其邊長分別是3和2，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．B．1.25C．1.5D．無法確定
二、填空題（每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卷相應位置上）
7．若在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 ．
8．一個不透明的袋子中裝有個只有顏色不同的球，其中有個白球、個紅球、個綠球、個黑球，從中任意摸出個球，摸到 球的可能性最?。?br>9．若，則，，，按從小到大的順序排列為 ．
10．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉后得到，若，則 ．
11．已知中，，則 ．
12．若平行四邊形的一條邊長是10，一條對角線長為8，則它的另一條對角線長x的取值范圍是 ．
13．對于任意兩個不相等的正數(shù)，，定義一種運算，，例如，則 ．
14．若關于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 ．
15．在中，平分交點，平分交于點，且，則的長為 .
16．根據(jù)，，，，…所蘊含的規(guī)律可得等于 ．
三、解答題（本大題共11小題，共68分，請在答題卷指定區(qū)域作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．計算：
(1)；
(2)．
18．解分式方程：
19．下面是某同學計算的解題過程：
解：
……………………①
………………………②
………………………③
．……………………………④
上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出正確的解題過程．
20．對某工廠生產的直徑為的乒乓球進行產品質量檢查，結果如下表所示：
(1)計算各次檢查中“優(yōu)等品”的頻率，將結果填入上表（保留兩位小數(shù)）；
(2)估計該廠生產的乒乓球“優(yōu)等品”的概率大約是多少（保留兩位小數(shù)）？請簡單說明理由．
21．國家創(chuàng)新指數(shù)是反映一個國家科學技術和創(chuàng)新競爭力的綜合指數(shù)．對國家創(chuàng)新指數(shù)得分排名前40的國家的有關數(shù)據(jù)進行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息：
a．國家創(chuàng)新指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成7組：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．國家創(chuàng)新指數(shù)得分在60≤x＜70這一組的是：61．7 62．4 63．6 65．9 66．4 68．5 69．1 69．3 69．5
c．40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖：
d．中國的國家創(chuàng)新指數(shù)得分為69．5．
（以上數(shù)據(jù)來源于《國家創(chuàng)新指數(shù)報告（2018）》）
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）中國的國家創(chuàng)新指數(shù)得分排名世界第______；
（2）在40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖中，包括中國在內的少數(shù)幾個國家所對應的點位于虛線的上方．請在圖中用“”圈出代表中國的點；
（3）在國家創(chuàng)新指數(shù)得分比中國高的國家中，人均國內生產總值的最小值約為______萬美元；（結果保留一位小數(shù)）
（4）下列推斷合理的是______．
①相比于點A，B所代表的國家，中國的國家創(chuàng)新指數(shù)得分還有一定差距，中國提出“加快建設創(chuàng)新型國家”的戰(zhàn)略任務，進一步提高國家綜合創(chuàng)新能力；
②相比于點B，C所代表的國家，中國的人均國內生產總值還有一定差距，中國提出“決勝全面建成小康社會”的奮斗目標，進一步提高人均國內生產總值．
22．如圖，在中，點在邊上，以為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連接、．求證：．
23．如圖，已知，請你用尺規(guī)在邊上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
24．某超市用3000元購進某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調撥9000元資金購進該種干果，但這次的進價是第一次進價的倍，購進干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克．
(1)該種干果的第一次進價是每千克多少元？
(2)若超市將這批干果按每千克8元的價格全部出售，超市銷售這種干果共盈利多少元？
25．觀察下列各式：
第1個等式：；第2個等式：；
第3個等式：；第4個等式：；…
根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問題：
(1)若；則______，______．
(2)的值為_________．
(3)請寫出第n個等式（n是正整數(shù)，用含n的式子表示），并證明．
26．如圖，正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求解答下列問題：
(1)與關于坐標原點O成中心對稱，則的坐標為__ ____．
(2)的面積為______．
(3)將繞某點逆時針旋轉90°后，其對應點分別為則旋轉中心的坐標為______．
(4)直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標______．
27．在數(shù)學活動課上，黃老師給出如下問題：在中，，，點D和點B位于直線異側，且．
【問題初探】
（1）當時，求證：．
數(shù)學活動小組同學經過討論得出下面的解題思路并解決了這個問題．
解題思路：如圖2，將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接．易證是等邊三角形，易證，將線段之間的數(shù)量關系轉化為線段之間的數(shù)量關系．
數(shù)學活動小組同學解決完上述問題后，感悟了此題的數(shù)學思想方法，發(fā)現(xiàn)此題還有不同位置的情況，請你解答
②如圖3，點D不在的延長線上時，連接，求證：．
【類比探究】
數(shù)學活動小組還有同學提出將其角度變化進行變式，請你解答．
（2）當時，
①發(fā)現(xiàn)點D在的延長線上時，點D與點C重合（不需要證明）．
②如圖4，點D不在的延長線上時，連接，判斷（1）②中的結論是否仍然成立，若成立，請加以證明；若不成立，請寫出正確的結論并說明理由．
【拓展提升】
黃老師在此基礎上提出了下面的問題，請你解答．
（3）當，點D不在的延長線上時，連接，若，，求的長．
參考答案與解析
1．C
【分析】
本題主要考查了總體，個體，樣本，樣本容量，全面調查與抽樣調查，先根據(jù)全面調查與抽樣調查的定義判斷A，再根據(jù)總體的定義判斷B，然后根據(jù)樣本的定義判斷C，最后根據(jù)個體的定義判斷D即可．
【解答】解：A. 此次調查屬于抽樣調查，故此選項說法不正確；
B. 總體是1500名學生對該課程的滿意度，故此選項說法不正確；
C. 樣本是抽取的100名學生所打的分數(shù)，此選項說法正確；
D. 個體是被抽取的每一名學生的滿意度，故此選項說法不正確；
故選：C．
2．B
【分析】此題考查了約分，以及分式的基本性質．根據(jù)分式的基本性質解答即可．
【解答】解：A、，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、，原變形正確，故此選項符合題意；
C、分式的分子分母沒有公因式，不能約分，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
D、分式的分子分母沒有公因式，不能約分，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
故選：B．
3．D
【分析】設原計劃每天栽x棵，實際每天栽（x+2）天，根據(jù)實際比計劃提前3天完成任務，列方程即可．
【解答】解：設原計劃每天栽x棵，實際每天栽（x+2）天，
由題意得，．
故選D．
【點撥】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程．
4．C
【分析】由于9＜＜16，可判斷與4最接近，從而可判斷與10?最接近的整數(shù)為6．
【解答】解：∵12.25＜13＜16，
∴3.5＜＜4，
∴與最接近的是4，
∴與10?最接近的是6．
故選C．
【點撥】此題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)的方法是解本題的關鍵．
5．B
【分析】
本題主要平行四邊形的性質，線段垂直平分線的性質和判定，先說明是線段的中垂線，可得，然后說明的周長為，即可得出答案.
【解答】
解：∵在中，對角線相互平分，
∴O是中點.
∵，
∴是線段的中垂線，
∴，
∴的周長為.
∵的周長為20，
∴，即的周長為10．
故選：B．
6．B
【分析】
連接，根據(jù)中心對稱圖形的性質，即可求解.
【解答】解：連接，

∵正方形的邊長分別是3和2，
∴兩個正方形的面積分別是：9和4，
∵正方形和正方形的對稱中心都是點，
∴，
故選：B．
【點撥】本題主要考查正方形的性質，掌握正方形是中心對稱圖形是關鍵.
7．
【分析】
本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)非負是解決本題的關鍵．
根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負可得，解不等式即可．
【解答】由題意得：，
解得：，
故答案為：．
8．黑
【分析】本題考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等．解題的關鍵是根據(jù)概率公式先分別求出摸出白球、紅球、綠球和黑球的概率，再進行比較，即可得出答案．
【解答】解：∵摸到白球的概率是，
摸到紅球的概率是，
摸到綠球的概率是，
摸到黑球的概率是，
又∵，
∴摸到黑球的可能性最?。?br>故答案為：黑．
9．
【分析】
本題考查了二次根式的性質，實數(shù)的大小比較．根據(jù)的取值范圍，設，分別求出，，的值，比較大小即可求解．
【解答】解：∵，
∴設，
則，故，
，，
∵，，，
∴；
即．
故答案為：．
10．
【分析】本題考查了旋轉的性質，直角三角形兩銳角互余，由旋轉的性質可得，，由可得，即可求解，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
【解答】解：由旋轉可得，，
設和相交于點，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
11．##度
【分析】
此題考查了平行四邊形的性質．根據(jù)平行四邊形對角相等得，再根據(jù)，，即可得到答案．
【解答】解：如圖，

在中，，，，
∴，，
∴，
故答案為：
12．##
【分析】
本題主要考查了平行四邊形的性質以及三角形三邊關系，解題的關鍵是把平行四邊形的問題轉化為三角形的問題．根據(jù)平行四邊形的性質可知由對角線和邊組成的三角形的三邊是10和4、，利用三角形三邊關系可求x的取值范圍．
【解答】
解：如圖所示：
∵四邊形是平行四邊形，，
∴，，
在中，，
∴的取值范圍是，即，
∴的取值范圍是．
故答案為：．
13．
【分析】
本題考查了實數(shù)的運算，分母有理化，理解定義的新運算是解題的關鍵．按照定義的新運算進行計算，即可解答．
【解答】
解：由題意得：，
故答案為：
14．且
【分析】先解分式方程，用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．
【解答】解：
去分母，得：，
去括號，得：
移項，得：
合并同類項，得：．
∵關于x的分式方程的解為正數(shù)，
∴．
又∵，
∴．
∴．
解得：且．
故答案為：且．
【點撥】
本題考查的是根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，可以正確用m表示出x的值是解題的關鍵．
15．或
【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代換得到∠DFC＝∠FDC，根據(jù)等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到結論．
【解答】解：①如圖1，在?ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF?EF＝2AB?EF＝8，
∴AB＝5；
②在?ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE＋CF＝2AB＋EF＝8，
∴AB＝3；
綜上所述：AB的長為3或5．
故答案為3或5.
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是判斷出AB＝BE，CF＝CD．
16．
【分析】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，涉及了分式的有關計算．根據(jù)分式的運算，求得，，的值，找到規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．
【解答】解：，
，
，
∴
可知此組數(shù)三個一循環(huán)，
，
∴．
故答案為：．
17．(1)
(2)
【分析】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．
（1）直接化簡二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式進行乘法運算，同時進行除法運算后化簡，進而得出答案；
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
18．
【分析】本題考查解分式方程．利用去分母將原方程化為整式方程，解得的值后進行檢驗即可．
【解答】解：原方程去分母得：，
解得：，
檢驗：當時，，
是原分式方程的解．
19．從第①步開始出錯，正確的解題過程見解答
【分析】
本題考查分式的加減運算，熟練掌握分式的通分是解題的關鍵，在運算過程中還要注意符號的變化，根據(jù)分式加減運算法則逐步進行運算即可得到答案．
【解答】解：從第①步開始出錯．正確的解題過程如下：
解：
．
20．(1)、、
(2)
【分析】
（1）用優(yōu)等品數(shù)除以抽取球數(shù)即可得出答案；
（2）根據(jù)隨著抽取球數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于0.90可得答案．
【解答】（1）解：完成表格如下：
故答案為：、、．
（2）估計該廠生產的乒乓球“優(yōu)等品”的概率大約是，
由表知，隨著抽取球數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于，
所以估計該廠生產的乒乓球“優(yōu)等品”的概率大約是．
【點撥】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
21．（1）17；（2）如圖所示，見解析；（3）2．8；（4）①②．
【分析】（1）由國家創(chuàng)新指數(shù)得分為69．5以上（含69．5）的國家有17個，即可得出結果；
（2）根據(jù)中國在虛線l1的上方，中國的創(chuàng)新指數(shù)得分為69．5，找出該點即可；
（3）根據(jù)40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖，即可得出結果；
（4）根據(jù)40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖，即可判斷①②的合理性．
【解答】解：（1）∵國家創(chuàng)新指數(shù)得分為69．5以上（含69．5）的國家有17個，
∴國家創(chuàng)新指數(shù)得分排名前40的國家中，中國的國家創(chuàng)新指數(shù)得分排名世界第17，
故答案為17；
（2）如圖所示：
（3）由40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖可知，在國家創(chuàng)新指數(shù)得分比中國高的國家中，人均國內生產總值的最小值約為2．8萬美元；
故答案為2．8；
（4）由40個國家的人均國內生產總值和國家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖可知，
①相比于點A、B所代表的國家，中國的國家創(chuàng)新指數(shù)得分還有一定差距，中國提出“加快建設創(chuàng)新型國家”的戰(zhàn)略任務，進一步提高國家綜合創(chuàng)新能力；合理；
②相比于點B，C所代表的國家，中國的人均國內生產總值還有一定差距，中國提出“決勝全面建成小康社會”的奮斗目標，進一步提高人均國內生產總值；合理；
故答案為①②．
【點撥】本題考查了頻數(shù)分布直方圖、統(tǒng)計圖、樣本估計總體、近似數(shù)和有效數(shù)字等知識；讀懂頻數(shù)分布直方圖和統(tǒng)計圖是解題的關鍵．
22．見解析.
【分析】直接利用已知作圖方法結合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】證明：由題意可得：AE=FC，
在平行四邊形ABCD中，AB=DC，∠A=∠C，
在△ABE和△CDF中，，
所以，△ABE≌△CDF（SAS）．
【點撥】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定，正掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．
23．見解析
【分析】
本題考查了作圖復雜作圖、平行四邊形的性質，解決本題的關鍵是掌握平行四邊形的性質．連接和交于點，再過點作垂直交于點，根據(jù)平行四邊形的性質，可得，進而可得，，所以可得，可得點，使．
【解答】
解：如圖所示：點即為所求．
24．(1)該種干果的第一次進價是每千克5元
(2)超市銷售這種干果共盈利4800元
【分析】
本題考查了分式方程的實際應用，有理數(shù)混合運算的應用；
（1）等量關系式：3000元購進干果數(shù)量的倍9000元購進干果的數(shù)量，據(jù)此列方程，即可求解；
（2）第一次、第二次的銷售總額減去兩次購買干果的金額，即可求解；
找出等量關系式是解題的關鍵．
【解答】（1）
解：設該種干果第一次進價是每千克x元，則第二次進價是每千克元，依題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：該種干果的第一次進價是每千克5元．
（2）
解：第一次購進（千克），
第二次購進（千克），
（元）．
答：超市銷售這種干果共盈利4800元．
25．(1)，；
(2)；
(3)，證明見解答；
【分析】
（1）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第8個等式，即可答案；
（2）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第100個等式：即可答案；
（3）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第個等式：，再證明即可
【解答】（1）解：由題意可得，
，
∴，，
故答案為：，；
（2）解：由題意可得，
，
故答案為：；
（3）解：由題意可得，
第n個等式為：，
證明：左邊
右邊，
∴．
26．(1)
(2)2.5
(3)圖見解答，
(4)
【分析】（1）根據(jù)原點對稱的兩點的橫縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此解答；
（2）運用割補法列式進行計算，即可作答．
（3）連接對應點，它們相交于一點，即為旋轉中心；
（4）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等進行分類討論，靈活運用數(shù)形結合思想，進行作答即可．
【解答】（1）
解：如圖所示：
則的坐標為；
（2）
解：的面積；
（3）解：如圖所示：
旋轉中心為；
（4）解：如圖：
當為邊時，根據(jù)
∴滿足條件，且
當為對角線時，根據(jù)
∴滿足條件，且
綜上，以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．
【點撥】本題考查坐標與圖形，旋轉，中心對稱，平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握旋轉的性質，中心對稱．綜合性較強，難度適中．
27．（1）②，證明見解析；（2）②不成立，；（3）的長為6或
【分析】
（1）②將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接，證明是等邊三角形，得，證明，可得，證明，根據(jù)勾股定理可得結論；
（2）將線段繞點A順時針旋轉，得到線，連接．由旋轉得 ，，證明，得，證明，根據(jù)勾股定理可得結論；
根據(jù)題意知點D有兩處，如圖3，過點C作，交的延長線于點E，證是等邊三角形，得，，根據(jù)勾股定理求出，，，，從而根據(jù)可求出；如圖4，過點C作，垂足為點F，求出，，，根據(jù)可求出
【解答】
（1）②
證明：如圖1，將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接．
由旋轉可得，，
∴是等邊三角形
∴，
∵，
∴是等邊三角形
∴
∴
即
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴
（2）② 中的結論不成立，
如圖2，將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接．
由旋轉可得，，
∴是等腰直角三角形
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
即
∴
∴，
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
（3）如圖3，過點C作，交的延長線于點E，
∵，，
∴是等邊三角形
∴，
∵
∴
∵在中，，
∴，
在中，
∴
∴
由（1）②得，
∴
如答圖4，過點C作，垂足為點F，
∵，，
∴是等邊三角形
∴，
∵
∴
∵在中，，
∴，
在中，
∴
∴
由（1）②得，
∴
答：的長為6或．
【點撥】
本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確作出輔助線構造全等三角形，運用直角三角形的性質是解答本題的關鍵．
抽取球數(shù)
優(yōu)等品數(shù)
優(yōu)等品頻率
抽取球數(shù)
優(yōu)等品數(shù)
優(yōu)等品頻率

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