1．2024相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）
A．B．C．2024D．
2．據(jù)水利部介紹，自從南水北調(diào)東、中線建成以來，已經(jīng)累計調(diào)水量超過698億立方米，其中698億用科學記數(shù)法表示（ ）
A．B．
C．D．
3．如圖所示的幾何體的左視圖（ ）
A．B．
C．D．
4．下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．若關于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值為（ ）
A．B．1C．D．
6．如圖，是的內(nèi)接四邊形，連接、，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
7．春節(jié)期間，小明和小華分別從三部春節(jié)檔影片《飛馳人生2》《熱辣滾燙》和《第二十條》中隨機選擇兩部部觀看，則小明和小華選擇的兩部影片相同的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，的邊上有D、E、F三點，若，，，根據(jù)圖中標示的長度，四邊形與的面積比是（ ）
A．B．C．D．
9．一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一個平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，在長方形中，，，點P在線段（包括端點）上運動，以線段為邊，向右側作正，連接．下列結論正確的是（ ）
A．當點P與點A重合時，最小B．當點P與點D重合時，最小
C．當最小時，A、E、C三點共線D．當最小時，
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．已知a為整數(shù)，且，則 ；
12．化簡的結果為 ．
13．下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其中外心和內(nèi)心，則．若的外接圓的半徑為，內(nèi)切圓的半徑為，則的外心與內(nèi)心之間的距離為 ．
14．如圖，在平面直角坐標系的第一象限中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．
（1） ；
（2）若直線軸，交一次函數(shù)與點，交反比例函數(shù)與點，當點在點的上方時，面積的最大值是 ．
三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．解不等式，并把解在數(shù)軸上表示出來．
16．某快餐店有線上和線下兩種消費方式．2022年，該快餐店的年收入總額達50萬元，線上收入與線下收入的比是．2023年，該快餐店轉變運營模式，同時加大了線上推廣的力度，因而收入總額明顯提升．與2022年相比，年收入總額增長了，其中線上收入增長了．求該快餐店2023年的線下收入的增長率．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．觀察下列關于自然數(shù)的等式：
，①
，②
，③
…
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：
(1)完成第四個等式： ；
(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并驗證其正確性；
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可知 ．（直接寫出結果即可）
18．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．
(1)以點為旋轉中心，將按逆時針方向旋轉，得到，畫出；
(2)用無刻度直尺畫圖（要求：保留關鍵作圖痕跡，無需寫作法）
①過點作的垂線，交于點，并標出點；
②在上找一點，使得，并標出點．
五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．隨著《義務教育勞動課程標準（2022年版）》的落實，勞動課已成為各中小學不可或缺的獨立課程．某學校利用空地建成勞動實踐基地．已知空地南北邊界，西邊界，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)，點在點的北偏東方向，在點的北偏東方向，米，求空地的面積（參考數(shù)據(jù)：，）．
20．如圖1，是半圓上的兩點，點是直徑上一點，且滿足，則稱是弧的“幸運角”,如圖，
(1)如圖2，若弦，是弧上的一點，連接交于點，連接．求證：是弧的“幸運角”；
(2)如圖3，若直徑，弦，弧的“幸運角”為，求的長．
六、解答題（本大題共1小題，滿分12分）
21．某校七、八年級各有500名學生，為了解兩個年級學生對“防電信詐騙”的關注程度，現(xiàn)從這兩個年級各隨機抽取n名學生進行“防詐反詐”知識測試，將測試成績按以下六組進行整理（得分用x表示）：：，：，：，：，：，：．并繪制了七、八各年級的統(tǒng)計圖，部分信息如下：
已知八年級測試成績組的全部數(shù)據(jù)如下：85，85，86，86，87，88，89．
請根據(jù)以上信息，完成下列問題：
(1)______，______；
(2)八年級測試成績的中位數(shù)是______；
(3)若測試成績不低于90分，則認定該學生對“防電信詐騙”關注程度高，請估計該校七、八兩個年級對“防電信詐騙”關注程度高的學生一共有多少人，并說明理由．
七、解答題（本大題共1小題，滿分12分）
22．如圖，已知正方形，點E在邊上，點在邊的延長線上，且．連接并延長，交于點G．
(1)如圖1，①求證；；②連接，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，求的值．
八、解答題（本大題共1小題，滿分14分）
23．如圖，平面直角坐標系中，點、在拋物線上，該拋物線的頂點為，點是拋物線第一象限內(nèi)一點，且在拋物線對稱軸右側，其橫坐標為．

(1)求該拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；
(2)過點作軸，交拋物線于點，分別過點、作軸的垂線，垂直分別是、，當矩形的周長最大時，求的值．
參考答案與解析
1．B
【分析】
本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)的定義，正確理解相反數(shù)和倒數(shù)的概念是解題的關鍵．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)， 倒數(shù)：如果兩個數(shù)的乘積等于1，那么這兩個數(shù)就互為倒數(shù)．根據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的概念即可判斷答案．
【解答】的相反數(shù)是，
相反數(shù)的倒數(shù)是．
故選：B．
2．B
【分析】
本題考查科學記數(shù)法的表示．科學記數(shù)法的表示形式為，其中，為整數(shù)，根據(jù)表示形式，不難表示出698億．
【解答】1億
698億．
故選：B．
3．C
【分析】
此題考查了簡單幾何體的三視圖，能看到的線條用實線，看不到的線條用虛線表示，解答本題的關鍵是掌握左視圖的觀察位置．
【解答】解：從左邊看，是一個矩形，矩形中間靠上有一條豎向的虛線．
故選：C．
4．D
【分析】
根據(jù)同底數(shù)冪乘除法法則、積的乘方及冪的乘方法則逐一計算即可得答案．
【解答】A．，故該選項計算錯誤，不符合題意，
B．，故該選項計算錯誤，不符合題意，
C．，故該選項計算錯誤，不符合題意，
D．，故該選項計算正確，符合題意，
故選：D．
【點撥】本題考查同底數(shù)冪乘除法、積的乘方及冪的乘方，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
5．A
【分析】整理成一般式后，根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=0，得到關于a的方程，解方程即可得．
【解答】解：x(x+1)+ax=0，
∴x2+(a+1)x=0，
由方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故選A．
【點撥】本題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
6．A
【分析】
本題考查了圓周角定理，掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題關鍵．利用圓周角定理求解即可．
【解答】解：，
,
故選：A．
7．B
【分析】
本題考查了列表法計算概率，熟練掌握列表法是解題的關鍵．
【解答】
解：把三部影片分別記為A、B、C，
列表如下：
共有9種等可能的結果，其中小明和小華選擇的影片相同的結果有3種，
∴小明和小華選擇的影片相同的概率為39=13，
故選：B．
8．D
【分析】
本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．證明，再利用相似三角形的性質求出，得出，再證明，求出，即可求出答案．
【解答】
解：由題意可知，，，
，
，，
，
，
∴，
，
（負值舍去），
，
，
同理可證，
，
，
，
,
故選：D．
9．B
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸，與軸的交點在軸的正半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結論．根據(jù)反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出、、是解題的關鍵．
【解答】解：觀察一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象可知：、、，則，
二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸，與軸的交點在軸的正半軸，
故選：B．
10．D
【分析】
以為邊向右作等邊，連接．利用全等三角形的性質證明，推出點在射線上運動，且，設交于點，再證明，利用等腰三角形的性質，可得結論．
【解答】解：如圖，以為邊向右作等邊，連接．

是等邊三角形，
，，，
，
，
，，
點在射線上運動，且，設交于點，
則，
當時，的長最小，此時，則，
，，
，
，即：點為中點
，
，
．
綜上，當點為中點時，的長最小，此時；
故選：D．
【點撥】本題考查矩形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，添加輔助線，構造全等三角形是解決問題的關鍵．
11．4
【分析】
本題考查了無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算方法是解題關鍵．根據(jù)，即可求出的值．
【解答】解：，
，
，
又，
，
故答案為：4
12．
【分析】
本題主要考查了異分母分式加法計算，先把原式分母進行統(tǒng)一，然后分子合并化簡，最后約分即可得到答案．
【解答】解：
，
故答案為：．
13．
【分析】
本題考三角形的內(nèi)心與外心，理解題意是解決問題的關鍵．
【解答】解：由題意可知，，
∴的外心與內(nèi)心之間的距離，
故答案為：．
14． 2 2
【分析】
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題．
（1）根據(jù)題意，點，都在反比例函數(shù)上，即可得出，可解得的值；
（2）由的值知點的坐標，然后可求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，再假設點的坐標，最后表示出面積求其最大值即可，具體見解答．
【解答】解：（1），都在反比例函數(shù)上
解得（舍棄）；
（2）如圖
一次函數(shù)的解析式為
反比例函數(shù)的解析式為
設
當時，有最大值為2．
15．，數(shù)軸上表示見解答
【分析】
此題主要考查了一元一次不等式的解法，正確解不等式是解題關鍵．
直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．
【解答】解：去分母得：
，
則，
解得：．
解集在數(shù)軸上表示為：
16．
【分析】
本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
【解答】解：設2022年線上收入萬元，線下收入萬元，
則，解得：，
則，，
即：2022年線上收入20萬元，線下收入30萬元，
設該快餐店2023年的線下收入的增長率為，
則，解得：，
答：該快餐店2023年的線下收入的增長率為．
17．(1)
(2)第n個等式為：，驗證見解析
(3)
【分析】
（1）觀察前三個等式，找到相同點和不同點，相同點每個式子第一個都是3，不同點在于第二個就是序號數(shù)字，第三個是序號數(shù)字加1，根據(jù)此即可解出此題．
（2）根據(jù)所給的等式的特點，不難得出第n個等式為：，對等式右邊進行整理即可求證；
（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可．
【解答】（1）
解：觀察可發(fā)現(xiàn)，等號右邊第一個乘式的第一個數(shù)字均是序列號，后面就是連續(xù)的整數(shù)，第二個乘式的第二個數(shù)字是序列號，第一個和第三個分別是序列號的相鄰數(shù)字，
所以第四個式子右邊應該是：；
故答案為：；
（2）
由觀察可得，等式左邊乘式的組成為，第一個數(shù)字為3，第二個數(shù)字為序列號，第三個數(shù)字為序列號加1，
再由（1）可知，第n個式子應該就是：；
等式右邊左邊，
所以猜想正確；
（3）
，
故答案為：．
【點撥】
本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規(guī)律．
18．(1)見解答
(2)①見解答；②見解答
【分析】本題主要考查了旋轉作圖，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，畫三角形的高．
（1）先將繞點逆時針旋轉，畫出相應的線，再連接即可；
（2）①如圖所示， 取格點K，連接交于H，點H即為所求；②如圖所示，取于格線的交點P，點即為所求．
【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：①如圖所示， 取格點K，連接交于H，點H即為所求；
易證明，則點H即為所求；
②如圖所示，取于格線的交點P，點即為所求．
易證明，即可得到。
19．1680平方米
【分析】
本題考查解直角三角形．根據(jù)題意，過點作于，把空地分成一個矩形和一個直角三角形即可．
【解答】解：如圖所示，過點作于
，
四邊形是矩形
在中，
,,
（米）
在中，
,,
（平方米）．
20．(1)見解答
(2)
【分析】
本題考查垂徑定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質．
（1）根據(jù)垂徑定理易得是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的知識及對頂角的性質可得；
（2）連接，根據(jù)垂徑定理求得,進而得出，再用勾股定理即可．
【解答】（1）解：是直徑，
平分
是等腰三角形
是弧的“幸運角”；
（2）如圖，連接
弧的“幸運角”為
即的長為．
21．(1)，4
(2)87
(3)275
【分析】
本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、用樣本估計總體等知識，解題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想解答．
（1）根據(jù)八年級組人數(shù)及其所占百分比即可得出的值，用的值分別減去其它各組的頻數(shù)即可得出的值；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可；
（3）用樣本估計總體即可．
【解答】（1）
解：八年級測試成績組：的頻數(shù)為7，由扇形統(tǒng)計圖知D組占
∴進行冬奧會知識測試學生數(shù)為（人），
∴，解得
故答案為：，4；
（2）A、B、C三組的頻率之和為，
A、B、C、D四組的頻率之和為，
∴中位數(shù)在D組，將D組數(shù)據(jù)從小到大排序為85，85，86，86，88，88，89
∵，即：第6個數(shù)據(jù)在組
則，第10與第11兩個數(shù)據(jù)為86，88，
∴中位數(shù)為，
故答案為：87；
（3）
八年級E：，F(xiàn)：，兩組占，
該校七年級對“防電信詐騙”關注程度高的學生有人
七年級E：，F(xiàn)：兩組人數(shù)為人
該校八年級對“防電信詐騙”關注程度高的學生有人
∴該校七、八兩個年級對“防電信詐騙”關注程度高的學生一共有人．
22．(1)①見解析；②
(2)
【分析】
（1）①根據(jù)正方形的性質，結合，利用可證明，再利用全等三角形的性質可證明，即可證明結論；
②連接，可知，由①可知，，則點、、、四點共圓，結合圓周角定理即可求解；
（2）由題意設，則，，，再證，得，求出即可求解．
【解答】（1）解：①證明：∵四邊形是正方形，
∴，，則，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：；
②連接，
∵，，
∴，
由①可知，，則點、、、四點共圓，
∴；
（2）∵，設，則，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【點撥】
本題考查正方形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．
23．(1),頂點的坐標為
(2)的值為2
【分析】
本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及二次函數(shù)的解析式、頂點坐標、最值．
（1）將、代入即可，將求出的解析式化成頂點式就能寫出頂點的坐標；
（2）先將矩形的周長表示成關于的二次函數(shù)，再求其最值即可，具體見解答．
【解答】（1）解：將、代入得
解得
該拋物線的解析式為
頂點的坐標為；
（2）
的對稱軸為
矩形的周長為
當時，周長最大為10
故的值為2．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC

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