【導(dǎo)數(shù)大題】題型刷題突破 第39講 指對函數(shù)問題之指數(shù)化與對數(shù)化

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第39講 指對函數(shù)問題之指數(shù)化與對數(shù)化
1．已知關(guān)于的不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍
【解答】解：由不等式對于任意恒成立，
可得，
令，，
則由題意可得，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
故，即恒成立，當(dāng)時取等號，
又，當(dāng)時取等號，
即，
令，則，
易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，當(dāng)時，且（1），
由（e），即與的圖像有交點，
所以等號成立，
所以．
故答案為：．
2．設(shè)函數(shù)．
（1）證明：，都有；
（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求的極值．
【解答】（1）證明：令，，則，
令，可得，令，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為（4），
所以，
所以，都有．
（2）解：由，得，則，所以，
所以的零點個數(shù)等價于方程解的個數(shù)，
令，則，且（a），
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因為（1），且由（1）知，
則當(dāng)，，
所以時，（a）有且只有一個解，
所以若函數(shù)有且只有一個零點，則，此時，
所以，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（1）（e），
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，則，則，
同理可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，
所以時，的極大值為，極小值為0．
3．已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解答】解：（1）因為，所以 ，
因為 是函數(shù)的一個極值點，故（1），即，當(dāng) 時，當(dāng)經(jīng)驗得是函數(shù)的一個極值點，所以．
（2）因為在， 上恒成立，所以．
當(dāng)時， 在，上恒成立，即在，上為增函數(shù)
所以 成立，即 為所求．
當(dāng)時，令，則，令，則，
即在上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)．當(dāng)時，，這與 矛盾．綜上所述，的取值范圍是，．
（3）要證，只需證．兩邊取自然對數(shù)得，，
上式等價于，只需要證明，只需要證明
，由時，在 單調(diào)遞增．
又，，
，從而原命題成立．
4．已知函數(shù)，其中，．
（1）討論函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性；
（2）求證：．
【解答】解：（1），
當(dāng)，時，，所以在，單調(diào)遞增，
當(dāng)，
由，得，所以在，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
（2）不等式，
即，
為此先證明：，
由
由（1）知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，，
即，
令，則有，故．
由（1）知，當(dāng)，在單調(diào)遞減，，
即，
令，則有，故．
綜上，對，恒成立，
所以．
5．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：是自然對數(shù)的底數(shù)）．
【解答】解：（1），，
，（1），即；
（2）在，上恒成立，，
當(dāng)時，在，上恒成立，即在，上為增函數(shù)，
成立，即，
當(dāng)時，令，則，令，則，
即在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，又，則矛盾．
綜上，的取值范圍為，．
（3）要證，只需證
兩邊取自然對數(shù)得，，即證，
即證，即證，
由（2）知時，在，單調(diào)遞增．
又，，
所以，
所以成立．
6．已知函數(shù)．（注
（1）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：．
【解答】解：（1）函數(shù)．
函數(shù)．
是函數(shù)的一個極值點，
（1）
；（2分）
（2）在，上恒成立，
，（3分）
當(dāng)時，在，上恒成立，即在，上為增函數(shù)，（4分）
成立，
（5分）
當(dāng)時，令，則，令，則，（6分）
即在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，
又，則矛盾．
綜上，的取值范圍為，（8分）
證明：（3）要證：，只需證．
兩邊取自然對數(shù)得，，（9分）
即，
即，
即，（11分）
由（2）知時，在，單調(diào)遞增．
又，，
（13分）
成立（14分）
7．設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在區(qū)間，上的最小值；
（2）求證：．
【解答】解：（1），
，
當(dāng)時，又，上，，
那么在，上單調(diào)遞增，，
即，
所以在，上單調(diào)遞增，，
故得當(dāng)時，在區(qū)間，上的最小值為0；
（2）根據(jù)（1）可知：當(dāng)時，恒大于0，此時，取，
得對任意正整數(shù)都有，即，
所以，
可得恒成立，
令得：．
8．已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范圍；
（3）證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）．
【解答】解：（1），
，
是函數(shù)的一個極值點，
（1）即；
（2）在，上恒成立，，
當(dāng)時，在，上恒成立，
即在，上為增函數(shù)，
成立，即，
當(dāng)時，令，則，
令，則，
即在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
，又，則矛盾．
綜上，的取值范圍為，．
（3）兩邊取自然對數(shù)得，，
，由（2）知時，在，單調(diào)遞增，
又，，
，
故成立．
9．已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底），
（1）若函數(shù)是上的增函數(shù)，求的取值范圍．
（2）若對任意的，都有，求滿足條件的最大整數(shù)的值．
【解答】解：（1）設(shè)，
因為是上的增函數(shù)，
所以，得到；所以的取值范圍為
（2）由條件得到（1）猜測最大整數(shù)，
現(xiàn)在證明對任意恒成立，等價于，
，
設(shè)
故時，，當(dāng)時，，
所以對任意的都有（2），
即對任意恒成立，
所以整數(shù)的最大值為2．
10．已知函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：；
（3）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．求的最大值．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域是，
，（1分）當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以，的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2分）
（2）證明：函數(shù)的定義域是，
．（3分）
設(shè)，則．
由（1）得，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
所以在處取得極大值，而，所以，（4分）
函數(shù)在上為減函數(shù)．又，
于是當(dāng)時，，當(dāng)時，（5分）
所以，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)．
當(dāng)時，，在上為減函數(shù)（6分）
所以在處取得極大值，而，所以（7分）
（3）不等式等價于不等式．（8分）
由知，．（9分）
設(shè)，
則．（10分）
由（Ⅰ）知，，即．
所以，，，于是在，上為減函數(shù)．
故函數(shù)在，上的最小值為．（11分）
所以的最大值為． （12分）
11．已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；
（3）對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）的定義域是，，①時，，在遞增，
②時，令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在，遞減；
（2）函數(shù)，
由，可得，，
設(shè)，，
，
當(dāng)時，，遞減；
當(dāng)時，，遞增，
可得處取得最大值1，如圖所示：
當(dāng)或，即或時，直線與有一個交點，
當(dāng)即時，直線與有兩個交點，
當(dāng)即時，直線與沒有交點，
綜上可得，，函數(shù)零點的個數(shù)為0；
，函數(shù)零點的個數(shù)為2；
或時，函數(shù)零點的個數(shù)為1；
（3）任意的，恒成立，
即為恒成立，
設(shè)，
設(shè)，，
，設(shè)的根為，即有，遞增；時，遞減，
可得處取得最小值（a），
由（a），
可得恒成立，即有，
則，即的范圍是，．
另解：任意的，恒成立，
即為恒成立，
由，取得等號），
時，，
即有，
可得，（當(dāng)取得等號），
則．
12．已知函數(shù)．
（1）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，證明：．
【解答】解：（1）因為，
所以，，，
當(dāng)時，，
則在，上單調(diào)遞增，
所以，不合題意，
當(dāng)時，由，得，
則在，上單調(diào)遞增，所以存在，使得，不合題意，
當(dāng)時，因為，
所以，在，上單調(diào)遞減，
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是，．
（2）證明：當(dāng)時，，要證，
只需證，即證，
令，則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
由可知，只需證，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以對于任意，，即，
故原不等式成立．
13．已知函數(shù)，，，．（Ⅰ）設(shè)，求方程的根；
（Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，已知時存在使得．若有且只有一個零點，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時，，
令，即，，
即，，
解得：．
（Ⅱ）（1）當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
是的唯一的零點，符合題意．
（2）當(dāng)時，，
顯然是的一個零點，
當(dāng)時存在使得，且，
在必存在另一零點，
此時，存在2個零點，不符合題意．
綜上可得．
14．已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)，，，時，證明：；
（Ⅱ）若有兩個極值點，，證明：．
【解答】證明：（Ⅰ），即為，亦即，
令，則，令，令對稱軸，
則，時，，時，，，時，，
在上遞增，在，上遞減，且，
在，上遞增，
故只需證（1），即證，即證，
令，則，
在上遞減，而（1），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即時，，當(dāng)時，，即成立，
當(dāng)，，時，成立；
（Ⅱ），
有兩個極值點，，，，
令，則，
易知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上遞減，在上遞增，
，
故，即，
由，可得，
，則，
，則，
，由，得，下證，即證，即證，
，等價于證，
令，
則，故，
，即，
令，則
，
令，則，
在上遞減，
，即．
15．（1）求函數(shù)在上的最大值；
（2）證明：不等式在上恒成立．
【解答】（1）解：，
令，解得：（記為，
則在遞減，在，遞增，
時，，，即，
在，上的最大值是0；
（2）證明：滿足：，
關(guān)于直線對稱，故只需證明：在，恒成立，
而，
而，只需證明，①在，恒成立，
而，
即只需證明：②，
而由（1）可得時，，即③，
要使②式成立，只需證明在，上恒成立，
即只需④，
由（1）得：，而，
從而④式成立，
綜合③④可知②式成立，
故①式得證，從而原不等式得證．
16．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
【解答】證明：（1）的定義域為，
，，
令，則在恒成立，
在上為減函數(shù)，
又，，由零點存在定理可知，
函數(shù)在上存在唯一的零點，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，，
由零點存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點，結(jié)合單調(diào)性可知，
當(dāng)，時，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減．
當(dāng)，時，，，于是，單調(diào)遞減，
其中，
．
于是可得下表：
結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個零點0，
由函數(shù)零點存在性定理可知，在，上有且只有一個零點，
當(dāng)，時，，則恒成立，
因此函數(shù)在，上無零點．
綜上，有且僅有2個零點．0
0
0
單調(diào)遞減
0
單調(diào)遞增
大于0
單調(diào)遞減
大于0
單調(diào)遞減
小于0