【導數(shù)大題】題型刷題突破第36講指對函數(shù)問題之分離與不分離-試卷下載-教習網(wǎng)

1、多加總結(jié)。這是非常重要的一點，當三年所有的數(shù)學知識點加在一起，可能會使有些基礎不牢固的學生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗。更簡單的來說：“一個知識點對應的題目有無數(shù)個”，哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯題。對于備考當中的學生來說“多刷錯題能夠進一步地掃清知識盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識點?！?br>對于學生來說，三輪復習就相當于是最后的“救命稻草”，家長們同樣是這樣，不要老是去責怪孩子考試成績不佳，相反，更多的來說，如果能夠陪同孩子去反思成績不佳的原因，找到問題的癥結(jié)所在，更加重要。
第36講指對函數(shù)問題之分離與不分離
1．若關于不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍
【解答】解：【方法一】設，，
則，
且（1），
是的極值點，也是最值點；
恒成立，
又時，恒成立，
的取值范圍是，．
【方法二】不等式可化為，
設，，其中；
，
令，解得或（舍去），
時取得極大值，也是最大值，為0；
又，
令，解得，
時取得極值，也是最值，時取得最小值為；
由題意知實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
2．若關于的不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的最小值
【解答】解：對任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又時，，
原問題等價于恒成立，則，即在恒成立，
設，則，令，解得，當時，遞減，時，遞增，
則（1），
故，即，
故答案為：，．
3．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：．
【解答】（1）解：，，
①若時，，在上單調(diào)遞減；
②若時，當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
綜上，若時，在上單調(diào)遞減；
若時，在上單調(diào)遞減；
在上單調(diào)遞增；
（2）證明：要證，只需證，
由（1）可知當時，，即，
當時，上式兩邊取以為底的對數(shù)，可得，
用代替可得，又可得，
所以，
，
即原不等式成立．
4．已知．
（1）時，求的單調(diào)區(qū)間和最值；（2）①若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；
②求證：．
【解答】解：（1）當時，，則，
易知函數(shù)在，上為增函數(shù)，而（1），
故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，最小值為（1），無最大值；
（2）①不等式即為，令，
若，則，令，易知函數(shù)（a）在上單調(diào)遞增，故（a）（1），矛盾；
若，即為，
令，這可以看作關于的二次函數(shù)，其對稱軸為，
現(xiàn)比較與1的大?。?br>作差可得，令，
則，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，
故函數(shù)（a）在，上單調(diào)遞增，故（a）（1），
而，設，則，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，而（1），
故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞減，
故（1），即（1），即不等式恒成立，
綜上，實數(shù)的取值范圍為，；
②證明：由①知，要證，只需證，即證，
易知，故，即得證．5．已知函數(shù)．
（1）為正實數(shù)，若在上恒成立，求的取值范圍；
（2）證明：當時，有成立．
【解答】解：（1）令，
則，是增函數(shù)，
令時，解得：，
令，解得：，
故在遞減，在遞增，
故，
而，故，解得：，
所以的取值范圍為，．
（2）證明：對的取值范圍分類討論：
①時，，，所以，
有，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
即，
故時，不等式成立．
②時，由（1）中結(jié)論，在，上恒成立，
而此時，于是有，
要證成立，可證其加強條件：，
即證在時成立，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
由于，因此，所以，
所以，
即，即，
所以，
故時，命題成立．
綜上，當時，有成立．
6．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對任意的，恒成立，請求出的取值范圍．
【解答】解：（1），，
當時，，在遞增；
當時，對于，△，故有在時，有一個解，
當時，，遞減；
當時，，遞增；
綜上，當時，在遞增；
當時，在，遞增；在遞減；
（2）根據(jù)題意，任意的，恒成立，即，
分離參數(shù)得，
令，，，
單調(diào)遞增，，（1），故存在唯一的零點，，
當，時，，遞減，當時，，遞增，
故，
故在遞增，
故．
7．已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）對任意的，恒成立，請求出的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，所以，（1），（1），
所以切線方程為．
（2）不等式，對任意的恒成立，
即對任意的恒成立．
令，則，令，則，
易知在上單調(diào)遞增，
因為，（1），且的圖象在上連續(xù)，
所以存在唯一的，使得，即，則．
當時，單調(diào)遞減；當，時，單調(diào)遞增．
則在處取得最小值，
且最小值為，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以．
8．已知函數(shù)為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點，（1）處的切線與軸平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設，其中為的導函數(shù)．證明：對任意，．
【解答】解：（Ⅰ），，
且在，（1）處的切線與軸平行，
（1），
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，
令，，
當時，，當時，，
又，
時，，
時，，
在遞增，在遞減；
證明：（Ⅲ），
，，
，，
由（Ⅱ），，
，，時，，遞增，
，時，，遞減，
，
，
設，
，
時，，遞增，
，
時，，
即，
，
，．
9．已知函數(shù)，，其中
（1）若，其函數(shù)在，的值域；
（2）若對任意的，恒成立，求正實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）時，，
；
故當，時，；
故在，上是增函數(shù)，故（3），（1）；
（3）令
，，；
則；
令，則，
故在上是增函數(shù)，
，且當時，；
，使；
當時，，即，故在上單調(diào)遞減；
當，時，，即，故在，上單調(diào)遞增；
，①
由得，，故，②
代入①中得，；
對任意的，恒成立可化為；
又，
，又由解得，，
由②得，，
易知在，上是增函數(shù)，
故；
故，
故實數(shù)的取值范圍為，．
10．已知函數(shù)
（1）令，若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時．證明
【解答】解：（1）由題意可得，
所以，
令，
所以，
當時，，在，上單調(diào)遞增，
所以，
①當時，即時，恒成立，即，
所以在，上單調(diào)遞增，
所以，解得，
所以，
②當時，即時，在，上單調(diào)遞增，且，
因為當時，，
所以存在，，使，即，
所以當時，，即，單調(diào)遞減，當，時，，即，單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以，
由得，記，，，
所以，
所以在，上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
綜上所述，，．（2）證明：要證，
即證，
即證，
因為，所以即證，
令，
則，
因為，所以，
所以當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以在處有極小值，即最小值，
所以（1），
所以當時，成立．
11．已知函數(shù)．
（1）曲線在點，（1）處的切線斜率為0，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)的導數(shù)為，
則曲線在點，（1）處的切線斜率為，解得；
（2）可化為，
即，設，
，
由的導數(shù)為，
當時，，遞減；當時，，遞增．
則的最小值為，
所以時，，遞減；時，，遞增．
所以的最小值為（1），故，即，所以的取值范圍是，．
12．已知函數(shù)，．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在，上恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，，則，，
令，得，令，解得：，
故在遞增，在遞減，
故，
故對任意恒成立，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（2）即為，
得，同時除以得，
令，則原不等式即為證明，
，，，
令，，，則，
故在，上，，遞減，易得，，
當時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
（1），即，解得：，故，
當時，，函數(shù)在，遞減，（1），不合題意，
當時，則存在，使得，
則函數(shù)在遞減，在，遞增，
故，
解得：，即，綜上，的取值范圍是，．

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