【導(dǎo)數(shù)大題】題型刷題突破 第37講 指對函數(shù)問題之指數(shù)找基友

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第37講 指對函數(shù)問題之指數(shù)找基友
1．若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍
【解答】解：當(dāng)時，為的增函數(shù)，無最小值，不符合題意；
當(dāng)時，即為顯然成立；
當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)為，
由于在遞增，設(shè)的根為，即有，
當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，
可得處取得極小值，且為最小值，
由題意可得，即，
化為，設(shè)，，
當(dāng)時，（1），時，，遞增，
可得的解為，
則，，
綜上可得，，
故選：．
2．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)．
（1）若對函數(shù)存在極小值，且極小值為0，求的值；
（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1），，
當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；
當(dāng)時，由，可得，由，可得，為函數(shù)的極小值點，
由已知，，即，；
（2）不等式，即，
設(shè)，則，，時，，則在時為增函數(shù)，．
①，即時，，在時為增函數(shù)，，此時恒成立；
②，即時，存在，使得，從而時，，在，上是減函數(shù)，
時，，不符合題意．
綜上，的取值范圍是，．
3．已知為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若在處的切線過點，求實數(shù)的值；
（2）當(dāng)，時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），．，
在處的切線方程為，
切線過點，，．
（2）由，可得，
令，，
，且，，
存在，使得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
①當(dāng)時，，，
此時，對于任意式恒成立；
②當(dāng)時，，
由，得，
令，下面研究的最小值．
與同號，且對成立，
函數(shù)在上為增函數(shù)，而，
時，，，
函數(shù)在上為減函數(shù)，，．
③當(dāng)，時，，
由，得，
由②可知函數(shù)在，上為減函數(shù)，
當(dāng)，時，，，
綜上，．
4．已知，．
（1）求在處的切線方程；
（2）若，證明：在上單調(diào)遞增；
（3）設(shè)對任意，成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1），，，
所以在處的切線方程為，即．
（2），
則，
由于，故，
又，，故，
故，即在上恒成立，
故在遞增．
（3），
由對任意，恒成立，設(shè)，
則，
再設(shè)，
則，
，
因此在上遞增，
故，
①當(dāng)時，即，在遞增，故，
即適合題意，
②當(dāng)時，，，
若，則取，時，，
若，則在上存在唯一零點，記為，
當(dāng)時，，
總之，存在使時，
即，故遞減，，
故時，存在使，不合題意，
綜上，．
所以的取值范圍為，．
5．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，證明：在上為減函數(shù)．
（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】（1）證明：當(dāng)時，，則，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則（1），，故在上為減函數(shù)．
（2）解：等價于對于恒成立，
設(shè)，則，易知在上為增函數(shù)，
所以，所以在上為增函數(shù)，
因為，，所以存在唯一的，使得，
當(dāng)，時，，由得，
令，則，
所以在，上為減函數(shù)，則，所以，
當(dāng)時，，對于任意實數(shù)，恒成立，
當(dāng)時，，由得，
由上可知，令，
則，易知在上為增函數(shù)，
又，因為，，
所以，
又，所以存在唯一，使得，
當(dāng)，時，；當(dāng)時，，
所以在，上遞減，在上遞增，
因為，，
所以，即，所以在為減函數(shù)，
，所以，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．
6．已知函數(shù)．
（1）證明：函數(shù)有三個零點；
（2）若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：因為為奇函數(shù)，且，
只需證在上有且只有一個零點即可．
當(dāng)，，記，，
，在上遞增，
又，在上遞增，
又，，
所以存在唯一實數(shù)，使得，
當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
，，又，
所以函數(shù)在，上有且只有一個零點，
所以函數(shù)有三個零點．
（2）法一：由，可得，
由（1）知：①當(dāng)時，，，
此時，對于任意，恒成立．
②當(dāng)時，，
由，得，
令，下面研究的最小值，
，
令，，對成立，
函數(shù)在上為增函數(shù)，
而，
又，存在唯一實數(shù)，使得，
當(dāng)，時，；當(dāng)時，．
函數(shù)在，上遞減，在遞增，
，，
函數(shù)在上遞減，，．
③當(dāng)，時，，
由，得，
由②可知，
所以函數(shù)在，上為減函數(shù)，
當(dāng)，時，，
，綜上，．
法二：原命題等價于在，上恒成立，
令，則，
當(dāng)，時，，，，
①當(dāng)時，原命題成立，
②當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，，由，可得，
③當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，，由，可得，綜上，的取值范圍是，．
7．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù)；
（2）若，時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由，得，
令，則，
，，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無極值點，
當(dāng)時，，，故，
故在單調(diào)遞增，又，，
故存在，使得，且時，，遞減，
，時，，單調(diào)遞增，故為的極小值點，
此時在區(qū)間內(nèi)存在1個極小值點，無極大值點；
綜上：當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)無極值點，
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)存在1個極小值點，無極大值點．
（2）若，時，恒成立，則，故，
下面證明時，在，恒成立，
，時，，故時，，
令，，，故，
令，則，在區(qū)間，單調(diào)遞增，
又，故在，上單調(diào)遞減，又，，
故存在，，使得，且，時，，遞增，
，時，，單調(diào)遞減，故時，取得最大值，且，
，，，
故單調(diào)遞減，故，時，即成立，
綜上，若，時，恒成立，則的取值范圍是，．
8．設(shè)函數(shù)，．
（1）當(dāng)時，求的值域；
（2）當(dāng)，時，不等式恒成立是的導(dǎo)函數(shù)），求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）由題可得．
令，得．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，．
因為，所以，
所以的值域為．
（2）由得，
即．
設(shè)，則．設(shè)，則．
當(dāng)，時，，，所以．
所以即在，上單調(diào)遞增，則．
若，則，所以在，上單調(diào)遞增．
所以恒成立，符合題意．
若，則，必存在正實數(shù)，滿足：當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時，不符合題意
綜上所述，的取值范圍是，．
9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，曲線在點，（1）的切線與軸平行，是的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）求的值及當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)對于任意，證明．
【解答】（Ⅰ）解：由，得，
，即．
，
為減函數(shù)，且（1），
當(dāng)時，，．
當(dāng)時，，．
的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（Ⅱ）證明：．記，
，令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，時，，單調(diào)遞減．
，
．
令，，
在上單調(diào)遞減，
．
．
10．已知函數(shù)，．
當(dāng)時，求過點且和曲線相切的直線方程；
（2）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解（1）當(dāng)時，，，
當(dāng)點為切點時，所求直線的斜率為，則過點且和曲線相切的直線方程為，
當(dāng)點不是切點時，設(shè)切點坐標(biāo)為，
則所求直線的斜率為，所以，①易知，②
由①②可得
即，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，
所以有唯一的零點，
因為，所以方程的根為，即切點坐標(biāo)為，
故所求切線的斜率為（1），則過點且和曲線相切的直線方程為，
綜上，所求直線的方程為或，
（2）解法一、，
因為，所以函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點，
當(dāng)時，，沒有零點，所以沒有零點．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)在上的最小值，
當(dāng)上沒有零點，即在上沒有零點；
當(dāng)上只有一個零點，即在上只有一個零點；
易知對任意的，都有，即，所以，即，令，則，所以，
故在上有一個零點，
因此在上有兩個不同的零點，即在上有兩個不同的零點；
綜上，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．
解法二、由，
令，
則函數(shù)在上有兩個不同的零點，即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點），
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上的最大值為，
因為，并且當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，在上的圖象與直線有兩個不同的交點，
即當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個不同的零點．
所以，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．
11．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求曲線在，（1）處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ），（1），
（1），
所求切線方程為（4分）
（Ⅱ）令
①當(dāng)時，，時，；時，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
，即（7分）
②當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù)，
要使，
則，解得（9分）
③當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，
，成立 （10分）④當(dāng)時，在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
要使，
則，解得
綜上，實數(shù)的取值范圍為（12分）
12．已知函數(shù)（其中，為實數(shù)）的圖象在點，處的切線方程為．
（1）求實數(shù)，的值；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)，
則，
因為的圖象在點，處的切線方程為，
則，解得，；
（2）由（1）可知，，
則函數(shù)，
所以，
令，
則，
①當(dāng)時，由，，則，
所以在上單調(diào)遞減，
則，故無最小值；
②當(dāng)時，由，，則，
所以在，上單調(diào)遞增，故，
則在，上單調(diào)遞增，
所以．
綜上所述，的最小值為1；
（3）對分情況討論如下：
①當(dāng)時，對任意的，不等式恒成立；
②當(dāng)時，不等式等價于，
即，
令，
則，
當(dāng)時，由（2）可知，，
所以單調(diào)遞增，
則，滿足題意；
當(dāng)時，由（2）可知，在上單調(diào)遞增，
因為，
故，
從而，
又，
所以存在唯一的實數(shù)，使得，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，不符合題意；
③當(dāng)時，不等式等價于，
同上，令，則，
當(dāng)時，由（2）可知，，
所以單調(diào)遞增，故，滿足題意．
綜上所述，的取值范圍為．