最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義【講通練透】專題23 數(shù)列的基本知識與概念-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題23 數(shù)列的基本知識與概念
【考點預(yù)測】
1．?dāng)?shù)列的概念
（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．
（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．
（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
2．?dāng)?shù)列的分類
（1）按照項數(shù)有限和無限分：
（2）按單調(diào)性來分：
3．?dāng)?shù)列的兩種常用的表示方法
（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則
注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．
（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則
【題型歸納目錄】
題型一：數(shù)列的周期性
題型二：數(shù)列的單調(diào)性
題型三：數(shù)列的最大（?。╉?br>題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題
題型五：數(shù)列的最值問題
【典例例題】題型一：數(shù)列的周期性
例1．已知無窮數(shù)列滿足，且，，若數(shù)列的前2020項中有100項是0，則下列哪個不能是的取值（）
A．1147B．1148C．D．
【答案】B
【分析】
當(dāng)時，分別令，可求出數(shù)列的前2020項中0的個數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律，可求出滿足題意的的取值；當(dāng)時，分別令，可求出數(shù)列的前2020項中0的個數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律，可求出滿足題意的的取值．
【詳解】
①當(dāng)時，
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列為周期數(shù)列，周期為3，由，
可知數(shù)列的前2020項中有673項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列為周期數(shù)列，周期為3，由，
可知數(shù)列的前2020項中有673項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第3項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有672項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第4項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有672項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第6項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有671項為0；
依次類推，可知當(dāng)，或時，
數(shù)列的前2020項中有100項是0；
②當(dāng)時，若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第7項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有671項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第9項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有670項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第10項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有670項為0；
若，則數(shù)列的各項為，
此時數(shù)列從第12項開始為周期數(shù)列，周期為3，
由，可知數(shù)列的前2020項中有669項為0；
依次類推，可知當(dāng)，或時，
數(shù)列的前2020項中有100項是0．
綜上所述，若數(shù)列的前2020項中有100項是0，
則可取的值有．
故選：B．
【點睛】
本題考查無窮數(shù)列，解題的關(guān)鍵是通過條件探究數(shù)列的性質(zhì)，利用賦值法分別令和，可分別求出數(shù)列的前2020項中0的個數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律．考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于難題．
例2．若表示不超過的最大整數(shù)（如，，），已知，，，則（）
A．2B．5C．7D．8
【答案】B
【分析】
求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．
【詳解】解：．，
∴，，
，
同理可得：；；．；，，……．
∴．
故是一個以周期為6的周期數(shù)列，
則．
故選：B．
【點睛】
本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．
例3．?dāng)?shù)列滿足，，其前項積為，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依次代入可得是以為周期的周期數(shù)列，由可推導(dǎo)得到結(jié)果．
【詳解】
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，
，
．
故選：D．
例4．若數(shù)列滿足，且，則的前100項和為（）
A．67B．68C．134D．167
【答案】B
【分析】
由題意得，根據(jù)，列舉數(shù)列的項，得到數(shù)列從第2項起，3項一個循環(huán)求解．
【詳解】因為，
所以，
因為，
所以數(shù)列的項依次為2，1，1，0，1，1，0，…，
所以從第2項起，3項一個循環(huán)，
所以的前100項的和為，
故選：B．
例5．?dāng)?shù)列滿足若，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)數(shù)列定義求出數(shù)列的前幾項后得出數(shù)列是周期數(shù)列，從而求值．
【詳解】
因為，所以，所以數(shù)列具有周期性，周期為4，所以．
故選：B．
【點睛】
本題考查數(shù)列的周期性，此類問題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項，然后歸納出周期性．
例6．已知數(shù)列滿足，，若且記數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）
A．B．3028C．D．3029
【答案】C
【分析】
根據(jù)遞推公式可逐個代入計算，得出數(shù)列的周期為4，再根據(jù)與前兩項的范圍可求得，再分組求和求解即可．
【詳解】
設(shè)，由，得，，．
故數(shù)列的周期為4，即可得．
，又，．
，即．
，
．
故選：C．
【點睛】
本題考查數(shù)列分組求和、分類討論方法，考查推理能力與計算能力，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．屬于中檔題．
例7．（2022·廣東汕頭·三模）已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，則（）
A．B．C．5D．
【答案】B
【解析】由題意得：，則數(shù)列的周期為3，則．
故選：B．
例8．（2022·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則等于（）
A．B．C．-1D．2
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
∴，，，，…，
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，∴，
故選：D．
題型二：數(shù)列的單調(diào)性例9．（2022·四川達(dá)州·二模（理））已知單調(diào)遞增數(shù)列滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】為單調(diào)遞增數(shù)列，，即，解得：，
即實數(shù)的取值范圍為．
故選：B．
例10．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若數(shù)列滿足且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則函數(shù)在上為增函數(shù)，可得，
函數(shù)在上為增函數(shù)，可得，可得，
且有，即，即，解得或．
綜上所述，．
故選：C．
例11．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項為，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時，，因此有，
得：，說明該數(shù)列從第2項起，偶數(shù)項和奇數(shù)項都成等差數(shù)列，且它們的公差都是2，由可得：，因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以有，
即，解得：，
故選：C
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列前項和滿足（），數(shù)列是遞增的，且，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因為等比數(shù)列前項和滿足（），
所以，
，
，
因為等比數(shù)列中，
所以，解得或（舍去），
所以，
因為數(shù)列是遞增的，
所以，
所以，
因為，所以，
故選：C
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，若對于任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由條件可得，解出即可．
【詳解】
因為對于任意都有，
所以，解得
故選：C
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可得，從而有恒成立，由，可求得的取值范圍．
【詳解】
由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，
即，即（）恒成立，
又?jǐn)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，取得最大值，所以．
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法
作差比較法
根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列
作商比較法
根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷
數(shù)形結(jié)合法
結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷
題型三：數(shù)列的最大（?。╉?br>例15．已知數(shù)列的首項為1，且，則的最小值是（）
A．B．1
C．2D．3
【答案】B
【分析】
根據(jù)得出，然后通過累加法求出，根據(jù)均值不等式及，即可求出結(jié)果．
【詳解】
由得
所以
則
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，故取或最小，又，所以的最小值為1
故選：B
【點睛】
思路點睛：本題通過累加法求數(shù)列通項公式，根據(jù)均值不等式及，求得最值．
例16．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）
A．2 -1B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)累加法得，進(jìn)而得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得當(dāng)時，的最小值為．
【詳解】
解：由得，
所以，，，，，，累加上述式子得：，
所以，，
檢驗已知時，滿足．
故，，
由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的最小值為．
故選：C．
例17．已知數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的最小項為（）
A．第3項B．第4項 C．第5項 D．第6項
【答案】A
【分析】
由與的關(guān)系化簡即可求出及，可得，分析單調(diào)性即可求解．
【詳解】
∵，
∴，則，即，
∴．
易知，
∵，
當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又，
∴當(dāng)時，有最小值．
故選：A例18．已知數(shù)列的前n項和數(shù)列的前n項和則的最小值____
【答案】5
【分析】
由和的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)正負(fù)表示出數(shù)列的通項公式為，求出，并表示出，再分別求出和時的最小值，即可判斷的最小值．
【詳解】
由題意，數(shù)列的前n項和，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，
數(shù)列的前n項和，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，的最小值為6；
當(dāng)時，，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，有最小值5；
綜上所述，的最小值為5
故答案為：5
【點睛】
本題主要考查由求數(shù)列通項公式的求法、等差數(shù)列前項和公式、對勾函數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于難題．
例19．?dāng)?shù)列，，，，中的最小項的值為__________．【答案】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性分析最大值，得出數(shù)列的最大項，即可得解．
【詳解】
考慮函數(shù)，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以數(shù)列的最大項為，所以的最小項為．
故答案為：
【點睛】
此題考查求數(shù)列中的最小項，利用函數(shù)單調(diào)性討論數(shù)列的最大項和最小項，涉及導(dǎo)函數(shù)處理單調(diào)性問題．
【方法技巧與總結(jié)】
求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?br>（2）通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項，利用確定最小項．
（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．
題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題
例20．蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)，則（）；（）．
A．35
B．36
C．37
D．38
【答案】C
【分析】
結(jié)合圖形中的規(guī)律直接求出和，進(jìn)而總結(jié)出遞推公式時，，利用累加法即可求出結(jié)果．
【詳解】
由圖中規(guī)律可知：，
所以，
，
，
，
因此當(dāng)時，，
所以
，
經(jīng)檢驗當(dāng)時，符合，所以，
故選：C．
例21．由正整數(shù)組成的數(shù)對按規(guī)律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若數(shù)對滿足，，則數(shù)對排在（）
A．第386位B．第193位C．第348位D．第174位
【答案】D【分析】
先求出的值，再根據(jù)數(shù)對的特點推出數(shù)對的位置
【詳解】
解：按規(guī)律把正整數(shù)組成的數(shù)對分組：第1組為（1，1），數(shù)對中兩數(shù)的和為2，共1個數(shù)對；第2組為（1，2），（2，1），數(shù)對中兩數(shù)和為3，共2個數(shù)對；第3組為（1，3），（2，2），（3，1），數(shù)對中兩數(shù)的和為4，共3個數(shù)；……，第組為，數(shù)對中兩數(shù)的和為，共個數(shù)，
由，得，
因為，所以，解得，
所以，
在所有數(shù)對中，兩數(shù)之和不超過19的有個，
所以在兩數(shù)和為20的第1個數(shù)（1，19），第2個為（2，18），第3個為（3，17），
所以數(shù)對（3，17）排在第174位，
故選：D
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：此題考查簡單的合情推理，考查等差數(shù)求和，解題的關(guān)鍵是由，得，解出的值，考查計算能力，屬于中檔題
例22．已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排列：，…，則第個“整數(shù)對”為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)“整數(shù)對”為，由已知可知點列的排列規(guī)律是的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大，可依次求得總對數(shù)，從而可得選項．
【詳解】
設(shè)“整數(shù)對”為，由已知可知點列的排列規(guī)律是的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大．
當(dāng)時只有1個；
當(dāng)時有2個；
當(dāng)時有3個；
…；當(dāng)時有個；
其上面共有個數(shù)對．
所以第個“整數(shù)對”為，第個“整數(shù)對”為，
故選：C．
【點睛】
本題考查知識遷移運(yùn)用：點列整數(shù)對，關(guān)鍵在于理解和探索其規(guī)律，屬于中檔題．
例23．將正整數(shù)排列如下：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
則圖中數(shù)出現(xiàn)在
A．第行列B．第行列C．第行列D．第行列
【答案】B
【分析】
計算每行首個數(shù)字的通項公式，再判斷出現(xiàn)在第幾列，得到答案．
【詳解】
每行的首個數(shù)字為：1，2，4，7，11…
利用累加法：
計算知：
數(shù)出現(xiàn)在第行列
故答案選B
【點睛】
本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，計算首數(shù)字的通項公式是解題的關(guān)鍵．
題型五：數(shù)列的最值問題
例24．（2022·北京市第十二中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小值為（）
A．B．C．D．【答案】A
【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
又，，，
即的最小值為．
故選：A．
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，則下列說法正確的是（）
A．此數(shù)列沒有最大項B．此數(shù)列的最大項是
C．此數(shù)列沒有最小項D．此數(shù)列的最小項是
【答案】B
【解析】令，則，
當(dāng)時，
當(dāng)時，，由雙勾函數(shù)的知識可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
所以當(dāng)即時，取得最大值，
所以此數(shù)列的最大項是，最小項為
故選：B．
例26．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在數(shù)列中，，（，），則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可得，
當(dāng)時，滿足上式，則．
因為，
所以，
所以，則，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
故選：C
例27．（2022·遼寧·高三階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為
所以．
設(shè)．
若有最小值，則有最小值，
令，則
所以當(dāng)或時﹐的最小值為．
故選：B
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則的最小值為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題意可知，，
則，
又在上遞減，在上遞增，
且，
時，；
時，，
故選：A．
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則數(shù)列中最大項的值為（）A．B．5C．6D．
【答案】B
【解析】解：，
，當(dāng)時，取到最大值5．
故選：B．
例30．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：由題意可得，
整理得，
當(dāng)時，不等式化簡為恒成立，所以，
當(dāng)時，不等式化簡為恒成立，所以，
綜上，，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故選：D
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））函數(shù)定義如下表，數(shù)列滿足，且對任意的自然數(shù)均有，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，，，，
以此類推可知，對任意的，，
，所以，.故選：B.
2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此規(guī)律得到的數(shù)列記為，其前n項和為，給出以下結(jié)論：①；②182是數(shù)列中的項；③；④當(dāng)n為偶數(shù)時，．其中正確的序號是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】C
【解析】數(shù)列的偶數(shù)項分別為2，8，18，32，50，，
通過觀察可知，同理可得，
所以,
因為，所以①正確，③錯誤；
由，解得，由，解得，
又因為，所以方程都無正整數(shù)解，所以182不是中的項，故②錯誤．
當(dāng)n為偶數(shù)時，，故④正確．
故選：C.
3．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））觀察數(shù)組，，，，，…，根據(jù)規(guī)律，可得第8個數(shù)組為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題可知數(shù)組的第一個數(shù)成等差數(shù)列，且首項為2，公差為1；
數(shù)組的第二個數(shù)成等比數(shù)列，且首項為2，公比為2．
因此第8個數(shù)組為，即．
故選：C.
4．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，，，，
，，，，
∴ 是周期為4的循環(huán)數(shù)列，在一個周期內(nèi)的積為：，
，前2022項之積為505個周期之積，
即；
故選：A.
5．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，，
所以數(shù)列是以周期為的數(shù)列，即.
故選：A
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】解：數(shù)列單調(diào)遞增，可得：，化為：.
∴.
由“”可得：，可得：.
∴“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的充要條件，故選：C.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意可得解得.
故選：A.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是（）
A．第2項B．第3項
C．第4項D．第5項
【答案】B
【解析】∵Sn＝n2－10n，
∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－9也適合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n＝，但n∈N*，
∴當(dāng)n＝3時，f(n)取最小值．
∴數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第3項．
故選：B
9．（2022·上海普陀·二模）數(shù)列的前項的和滿足，則下列選項中正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是常數(shù)列
B．若，則是遞增數(shù)列
C．若，則
D．若，則的最小項的值為
【答案】D【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
而不一定成立，故不一定是常數(shù)列，A錯誤；
由，顯然且，即不單調(diào)，B錯誤；
若，則，，故，偶數(shù)項為3，奇數(shù)項為，
而，C錯誤；
若，則，，故，偶數(shù)項為，奇數(shù)項為2，故的最小項的值為，D正確.
故選：D
10．（2022·北京四中三模）已知數(shù)列{}的通項為，則“”是“，”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意，數(shù)列的通項為，
則，
即，對恒成立，
當(dāng)時，取得最小值，所以，
所以“”是“，”的充分不必要條件.
故選：A.
二、多選題
11．（2022·河北·衡水第一中學(xué)高三階段練習(xí)）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是（）
A．此數(shù)列的第20項是200B．此數(shù)列的第19項是180
C．此數(shù)列偶數(shù)項的通項公式為D．此數(shù)列的前項和為
【答案】ABC
【解析】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項通項公式為，
奇數(shù)項是后一項減去后一項的項數(shù)，，故C正確；
由此可得，故A正確；，故B正確；
是一個等差數(shù)列的前項，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，
不可能有，故D錯誤．
故選：ABC．
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則數(shù)列中的項的值可能為（）
A．B．2C．D．
【答案】AC
【解析】由題意可得，
，
，
所以數(shù)列是周期為2的數(shù)列，
所以數(shù)列中的項的值可能為，．
故選：AC．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個選項中，不正確的是（）
A．?dāng)?shù)列，的一個通項公式是
B．?dāng)?shù)列的圖象是一群孤立的點
C．?dāng)?shù)列1，，1，，與數(shù)列，1，，1，是同一數(shù)列
D．?dāng)?shù)列，，是遞增數(shù)列
【答案】ACD
【解析】對于A，當(dāng)通項公式為時，，不符合題意，故選項A錯誤；
對于B，由數(shù)列的通項公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點，故選項B正確；
對于C，由于兩個數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項C錯誤；
對于D，數(shù)列，，是遞減數(shù)列，故選項D錯誤．故選：ACD．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是的前項和，，，則下列選項錯誤的是（）
A．B．
C．D．是以為周期的周期數(shù)列
【答案】AC
【解析】因為，，則，，，
以此類推可知，對任意的，，D選項正確；
，A選項錯誤；
，B選項正確；
，C選項錯誤.
故選：AC.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}中的項的值可能為（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】數(shù)列滿足，依次取代入計算得，，，，因此繼續(xù)下去會循環(huán)；數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，所有可能取值為，
故選：BC.
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列各數(shù)是的項的有（）
A．B．C．D．【答案】BD
【解析】因為數(shù)列滿足，，
；
；
；
數(shù)列是周期為3的數(shù)列，且前3項為，，3；
故選：．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書中記錄了一種三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，即現(xiàn)在著名的“楊輝三角”.如圖是一種變異的楊輝三角，它是將數(shù)列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成的，其中是集合中所有的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，即，，，，，…，則下列結(jié)論正確的是（）
A．第四行的數(shù)是17，18，20，24B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】利用來表示每一項，由題可知：
第一行：3（0，1）；
第二行：5（0，2），6（1，2）；
第三行：9（0，3），10（1，3），12（2，3）；
第四行：17（0，4），18（1，4），20（2，4），24（3，4），
故A正確.
表示第行的第項，則，故B正確.
由表示第行的第1項，則，故C錯誤.又表示第14行的第9項，所以，故D正確.
故選：ABD
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開始的正奇數(shù)，從第2行開始每個數(shù)是它肩上兩個數(shù)之和．則下列說法正確的是（）
A．第6行第1個數(shù)為192
B．第10行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為的等差數(shù)列
C．第10行前10個數(shù)的和為
D．?dāng)?shù)表中第2021行第2021個數(shù)為
【答案】ABD
【解析】數(shù)表中，每行是等差數(shù)列，且第一行的首項是1，公差為2，第二行的首項是4，公差為4，第三行的首項是12，公差為8，每行的第一個數(shù)滿足數(shù)列，每行的公差構(gòu)成一個以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，公差滿足數(shù)列.
對于選項A：由題可知，每行第一個數(shù)滿足下列關(guān)系：，所以第6行第1個數(shù)為，故A正確；
對于選項B：每行的公差構(gòu)成一個以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，故第10行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，選項B正確；
對于選項C：第10行的第一個數(shù)為，公差為，所以前10個數(shù)的和為：，故C錯誤；
對于選項D：數(shù)表中第2021行中第一個數(shù)為，第2021行的公差為，故數(shù)表中第2021行第2021個數(shù)為，選項D正確.
故選：ABD.
19．（2022·河北·石家莊實驗中學(xué)高三開學(xué)考試）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是（）
A．此數(shù)列的第20項是200B．此數(shù)列的第19項是182
C．此數(shù)列偶數(shù)項的通項公式為D．此數(shù)列的前項和為
【答案】AC【解析】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項通項公式為，奇數(shù)項是后一項減去后一項的項數(shù)，，由此可得，A正確；，B錯誤；C正確；是一個等差數(shù)列的前項，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不可能有，D錯．
故選：AC．
20．（2022·福建漳州·三模）已知數(shù)列{}的前n項和為，則下列說法正確的是（）．
A．是遞增數(shù)列B．是遞減數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列的最大項為和
【答案】BCD
【解析】解：因為，所以數(shù)列的最大項為和，故D正確；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，由，得，
兩式相減得：，
又，適合上式，
所以，故C正確；
因為，所以是遞減數(shù)列，故A錯誤，B正確；
故選：BCD
21．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（1，2，4，5，7，8與9互質(zhì)），則（）
A．若n為質(zhì)數(shù)，則B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增
C．?dāng)?shù)列的前5項和等于D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
【答案】AD
【解析】因為n為質(zhì)數(shù)，故小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為,
故此時，故A正確.
因為，所以，
故數(shù)列不是單調(diào)遞增，故B錯誤.
小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，
數(shù)目為，所以，前5項和為，
故C錯誤.
小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)為，
其數(shù)目為，
故，而，故數(shù)列為等比數(shù)列，
故D正確.
故選：AD.
三、填空題
22．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）能說明命題“若無窮數(shù)列滿足，則為遞增數(shù)列”為假命題的數(shù)列的通項公式可以為__________．
【答案】
【解析】因無窮數(shù)列滿足，當(dāng)時，，數(shù)列為遞增數(shù)列，給定命題是真命題，
當(dāng)時，，數(shù)列為遞減數(shù)列，給定命題是假命題，
因此，取，顯然有，，
所以.
故答案為：
23．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測）寫出一個符合下列要求的數(shù)列的通項公式：①是無窮數(shù)列；②是單調(diào)遞減數(shù)列；③.這個數(shù)列的通項可以是__________.
【答案】，答案不唯一.
【解析】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，，所以滿足3個條件的數(shù)列的通項公式可以是：.
故答案為：，答案不唯一.
24．（2022·海南·模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的數(shù)列的通項公式：__________．
①；②數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列；③數(shù)列是一個等比數(shù)列．【答案】（答案不唯一）
【解析】由③可知，（為非零常數(shù)），即，可得為等比數(shù)列，
由①可知，，
由②可知，，則，則，則，
所以，其中.
故答案為：（答案不唯一）.
25．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知，若對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】因為，且對于任意恒成立，
所以對于任意恒成立，即，
令，則，
因為，，，
且對于任意恒成立，
所以，即，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
26．（2022·天津市新華中學(xué)高三期末）在數(shù)列中，，則數(shù)列中的最大項的________ .
【答案】6或【解析】，令，解得，
即時，，
當(dāng)時，，
所以或最大，
所以或.
故答案為：6或7.
27．（2022·山西·模擬預(yù)測（理））數(shù)列中，已知，，，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】解：由題意知，
兩式相加得，因此，
所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，
令，則，
又由于，故.
故答案為：.
28．（2022·四川成都·三模（理））已知數(shù)列滿足，，則的值為______．
【答案】
【解析】由題設(shè)，則，而，
所以，，，，…
故是周期為4的數(shù)列且，，，，
所以.
故答案為：
29．（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，則___．【答案】
【解析】由，，可得，．
∴可得．所以數(shù)列的周期為3.
．
故答案為：.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多