2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題試卷(解析版)

這是一份2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題試卷(解析版)，共28頁。試卷主要包含了填空題，解答題解答應(yīng)寫出文字說明，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷 選擇題（共48分）
一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母填涂在答題卡上相應(yīng)的位置．
1. 下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根據(jù)立方根、無理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得．
解：A.，是有理數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；
B.是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
C.是無理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
D.是無理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了立方根、無理數(shù)與有理數(shù)，熟記無理數(shù)與有理數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
2. 如圖是由4個(gè)相同的小立方體堆成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（ ）

【答案】B
【解析】
根據(jù)俯視圖可確定主視圖的列數(shù)和小正方形的個(gè)數(shù)，即可解答
解:由俯視圖可得主視圖有 2 列組成，左邊一列由 2個(gè)小正方形組成，右邊一列由1個(gè)小正方形組成。
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，由幾何體的俯視圖可確定該幾何體的主視圖和左視圖，要熟練掌握．
3. 若一組數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差是（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 11
【答案】A
【解析】
根據(jù)方差的定義進(jìn)行求解，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，每個(gè)數(shù)都加3，所以波動(dòng)不會(huì)變，方差不變．
解：當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)數(shù)（或減去一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也加或減這個(gè)數(shù)，設(shè)原平均數(shù)為，現(xiàn)在的平均數(shù)為，
原來的方差，
現(xiàn)在的方差，
，
．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了方差的定義．當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)數(shù)（或減去一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也加或減這個(gè)數(shù)，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變；當(dāng)數(shù)據(jù)都乘以一個(gè)數(shù)（或除以一個(gè)數(shù)）時(shí)，平均數(shù)也乘以或除以這個(gè)數(shù)，方差變?yōu)檫@個(gè)數(shù)的平方倍．
4. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
利用同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方法則，積的乘方法則和完全平方公式分別計(jì)算，即可得出正確答案．
解：A．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
B．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
C．，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方，積的乘方和完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各項(xiàng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5. 2022年12月26日，成昆鐵路復(fù)線全線貫通運(yùn)營．據(jù)統(tǒng)計(jì)12月26日至1月25日，累計(jì)發(fā)送旅客萬人次．將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
解：萬，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．
6. 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．
解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故選D．
【點(diǎn)撥】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是記住“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)”．
7. 光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出答案.
解：如圖所示，，光線在空氣中也平行，

，.
，
，.
.
故選：C.
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).
8. 分式的值為0，則的值是（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
【答案】A
【解析】
根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．
解：∵分式的值為0，
∴，
解得，
故選A．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在和中，點(diǎn)E.F在上，，，添加下列條件仍無法證明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根據(jù)，可得，再根據(jù)全等三角形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
A.添加，可利用角邊角證明，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.添加，可利用邊角邊證明，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.添加，可利用角角邊證明，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.添加，無法證明，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：D
【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，則，可得，由此即可得到．
解：∵在等腰中，，，
∴，
由作圖方法可知，是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖，在中，，則（ ）

A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計(jì)算即可得到答案．
解：連接，如圖所示，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．
12. 已知拋物線的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A. B. C. D. （為實(shí)數(shù)）
【答案】C
【解析】
根據(jù)開口方向，與y軸交于負(fù)半軸和對(duì)稱軸為直線可得，，由此即可判斷A；根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷B.C；根據(jù)拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，可得拋物線的最小值為，由此即可判斷D．
解：∵拋物線開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，
∴，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，故A中結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
∵當(dāng)時(shí)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，故B中結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
∵當(dāng)時(shí)，，拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
又∵，
∴，故C中結(jié)論正確，符合題意；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，且拋物線開口向上，
∴拋物線的最小值為，
∴，
∴，故D中結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
第Ⅱ卷 非選擇題（共52分）
二、填空題（共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
13. 計(jì)算_________．
【答案】
【解析】
根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)等知識(shí)，掌握任何一個(gè)不為零的數(shù)的零次冪都是1是解題的關(guān)鍵．
14. 已知是完全平方式，則的值是_________．
【答案】
【解析】
根據(jù)，計(jì)算求解即可．
解：∵是完全平方式，
∴，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：．
15. 如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．

【答案】
【解析】
根據(jù)“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)”得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且，即可得到結(jié)果．
解：在中，，，
，
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，此題充分利用了“平行四邊形的對(duì)邊相等且平行”的性質(zhì)．
16. 不等式組的所有整數(shù)解的和是_________．
【答案】7
【解析】
先分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，得到不等式組的解集，再確定整數(shù)解，最后求和即可．
解：，
由①得：，
∴，
解得：；
由②得：，
整理得：，
解得：，
∴不等式組的解集為：，
∴不等式組的整數(shù)解為：，，0，1，2，3，4；
∴，
故答案為：7
【點(diǎn)撥】本題考查的是求解一元一次不等式組的整數(shù)解，熟悉解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．
17. 如圖，在紙片中，，是邊上的中線，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)處時(shí)，恰好，若，則_________．

【答案】
【解析】
由，，是邊上的中線，可知，則，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，如圖，記與的交點(diǎn)為，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
解：∵，，是邊上的中線，
∴，
∴，
由翻折性質(zhì)可知，，，
∴，
如圖，記與的交點(diǎn)為，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，翻折的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正切．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
三、解答題（共5小題，共32分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
根據(jù)，，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行展開，再加減運(yùn)算，代值計(jì)算即可．
解：原式
．
當(dāng)，時(shí)，
原式
．
【點(diǎn)撥】本題考查了化簡(jiǎn)求值問題，完全平方公式、平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，掌握公式及法則是解題的關(guān)鍵．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
解：
方程兩邊同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是增根，
當(dāng)時(shí)，，
原方程的解為．
【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解法，屬于基本題型，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．
20. 2023年“五一”期間，涼山旅游景點(diǎn)，人頭攢動(dòng)，熱鬧非凡，州文廣旅局對(duì)本次“五一”假期選擇瀘沽湖、會(huì)理古城、螺髻九十九里、邛海滬山風(fēng)景區(qū)（以下分別用表示）游客人數(shù)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查情況繪制成如下不完整的兩幅統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)以上信息回答：
（1）本次參加抽樣調(diào)查的游客有多少人？
（2）將兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
（3）若某游客隨機(jī)選擇四個(gè)景區(qū)中的兩個(gè)，用列表或畫樹狀圖的方法，求他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的概率．
【答案】（1）600人
（2）見解析 （3）
【解析】
（1）用選擇B景區(qū)的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的游客人數(shù)；
（2）先求出選則C景區(qū)的人數(shù)和選擇A景區(qū)的人數(shù)占比，再求出選擇C景區(qū)的人數(shù)占比，最后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．
【小問1詳解】
解：人，
∴本次參加抽樣調(diào)查的游客有600人；
【小問2詳解】
解：由題意得，選擇C景區(qū)的人數(shù)為人，選擇A景區(qū)的人數(shù)占比為，
∴選擇C景區(qū)的人數(shù)占比為
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的結(jié)果數(shù)有3種，
∴他第一個(gè)景區(qū)恰好選擇的概率為．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，樹狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖和畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
21. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測(cè)速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．

（1）求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）；
（2）若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．
【解析】
（1）證明四邊形為矩形，可得，結(jié)合，，，可得，，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；
（2）先計(jì)算小型汽車的速度，再統(tǒng)一單位后進(jìn)行比較即可．
【小問1詳解】
解：∵點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，
∴，，而，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
由題意可得：，，，
∴，，
∴
【小問2詳解】
∵小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．
∴汽車速度為，
∵該隧道限速80千米/小時(shí)，
∴，
∵，
∴小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．
【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解俯角的含義，熟練的運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．
22. 如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】
（1）可證，從而可證四邊形是菱形，即可得證；
（2）可求，再證，可得，即可求解．
【小問1詳解】
證明：，
，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
．
【小問2詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
B卷（共50分）
四、填空題（共2小題，每小題5分，共10分）
23. 已知，則的值等于_________．
【答案】2023
【解析】
把化為：代入降次，再把代入求值即可．
解：由得：，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查的是代數(shù)式的求值，找到整體進(jìn)行降次是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，邊長為2的等邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在兩條射線上滑動(dòng)，若，則的最大值是_________．

【答案】##
【解析】
如圖所示，取的中點(diǎn)D，連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，再由可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為．
解：如圖所示，取的中點(diǎn)D，連接，
∵是邊長為2的等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值是解題的關(guān)鍵．
五、解答題（共4小題，共40分）
25. 涼山州雷波縣是全國少有的優(yōu)質(zhì)臍橙最適生態(tài)區(qū)．經(jīng)過近20年的發(fā)展，雷波臍橙多次在中國西部農(nóng)業(yè)博覽會(huì)上獲得金獎(jiǎng)，雷波縣也被譽(yù)名為“中國優(yōu)質(zhì)臍橙第一縣”，某水果商為了解雷波臍橙的市場(chǎng)銷售情況，購進(jìn)了雷波臍橙和資中血橙進(jìn)行試銷．在試銷中，水果商將兩種水果搭配銷售，若購買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；若購買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣．
（1）求雷波臍橙和資中血橙每千克各多少元？
（2）一顧客用不超過1440元購買這兩種水果共100千克，要求雷波臍橙盡量多，他最多能購買雷波臍橙多少千克？
【答案】（1）雷波臍橙和資中血橙每千克分別為18元，12元．
（2）最多能購買雷波臍橙40千克．
【解析】
（1）設(shè)雷波臍橙和資中血橙每千克分別為元，元，購買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；若購買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣，再建立方程組即可；
（2）設(shè)最多能購買雷波臍橙千克，根據(jù)顧客用不超過1440元購買這兩種水果共100千克，再建立不等式即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)雷波臍橙和資中血橙每千克分別為元，元，則
，
①+②得；，則③
把③代入①得：，
把③代入②得：，
∴方程組的解為：，
答：雷波臍橙和資中血橙每千克分別為18元，12元．
【小問2詳解】
設(shè)最多能購買雷波臍橙千克，則
，
∴，
解得：，
答：最多能購買雷波臍橙40千克．
【點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
26. 閱讀理解題：
閱讀材料：
如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．

證明：設(shè)，∵，∴，
易證
∴，
∴
∴，
若時(shí)，當(dāng)，則．
同理：若時(shí)，當(dāng)，則．
根據(jù)上述材料，完成下列問題：
如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，已知．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出的值；
（3）求直線的解析式．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
（1）首先求出點(diǎn)，然后設(shè)，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；
（2）首先根據(jù)，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后證明出四邊形是矩形，得到，然后由即可求出；
（3）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，然后利用求出，進(jìn)而得到，然后設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法將和代入求解即可．
【小問1詳解】
將代入得，，
∴，
∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
∴設(shè)，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴解得，，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)要大于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，
∴應(yīng)舍去，
∴，
∴，
∴將代入，解得；
∴反比例函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問3詳解】
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴解得，
∴，
∴，
∴設(shè)直線的解析式為，
∴將和代入得，，
∴解得，
∴直線的解析式為．
【點(diǎn)撥】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．
27. 如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，．

（1）求證：是的切線；
（2）若，求的半徑和的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）半徑為3，的長為
【解析】
（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；
（2）設(shè)的半徑為，則，，在中，利用勾股定理求解即可得；根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接，

弦，
，
，
，
，
，
，即，
，
又是的半徑，
是的切線．
【小問2詳解】
解：如圖，連接，

設(shè)的半徑為，則，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
所以的半徑為3，的長為．
【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
28. 如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．
①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；
②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）①當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②或或
【解析】
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)， 如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)， 如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為
【小問2詳解】
解：①∵拋物線解析式為，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
∵直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)
∴，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；
②設(shè)直線與x軸交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)C作于G，則
∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，
∴，即，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，
同理可證是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
綜上所述，點(diǎn)E坐標(biāo)為或或
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．